השיעור עוסק בניתוח פתרון שאלה אנליטית הכוללת מעגל, מציאת רדיוס, נקודות חיתוך, משוואת משיק וחישוב שטח במשולש.
לזהות נתוני מעגל ומשוואת המעגל
לחשב רדיוס מעגל באמצעות נקודות חיתוך
למצוא נקודות חיתוך של קוטר המקביל לציר
לחשב משוואת משיק לנקודה על המעגל
לחישוב שטח משולש בנוי מנקודות ציר ונקודות חיתוך
הגדרת המעגל ונתונים: הוגדרה משוואת המעגל ומרכזו על פי המשוואה ונותרו נקודות חיתוך עם ציר ה-X.
חישוב הרדיוס: שימוש בנוסחת המרחק בין הנקודה על הציר לבין מרכז המעגל כדי למצוא את רדיוס המעגל.
מציאת נקודות קוטר מקביל לציר X: קוטר המעגל המקביל לציר ה-X עובר דרך נקודות C ו-D עם אותו ערך Y (12).
משוואת המשיק בנקודה B: חישוב משוואת המשיק במגע בנקודה B על המעגל וחתיכתו עם ציר ה-Y.

תרגול קצר

מציאת הרדיוס של המעגל

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה משוואת המעגל (X-5)^2 + (Y-12)^2 = R^2. נקודת החיתוך עם ציר ה-X היא (10,0). חשב את הרדיוס R של המעגל.

מרחקרדיוסמעגלחיתוך ציר

רמז: השתמש בנוסחת המרחק בין נקודת המרכז (5,12) לנקודת החיתוך (10,0) כדי למצוא את הרדיוס.

פתרון מלא

תשובה סופית: 13

חישוב הרדיוס הוא המרחק בין (5,12) ל-(10,0): R = sqrt((10-5)^2 + (0-12)^2) R= sqrt(25 + 144) = sqrt(169) = 13

מציאת נקודות החיתוך של קוטר מקביל לציר ה-X

רמת קושי: בינוני

ממתין

קוטר המעגל המקביל לציר ה-X חותך את המעגל בנקודות C ו-D. מצא את נקודות החיתוך C ו-D.

מעגלמשוואותנקודות חיתוךקוטרמקביל לציר

רמז: מאחר שהקו מקביל לציר ה-X, ערך ה-Y של הנקודות קבוע ב-12. הצב Y=12 במשוואת המעגל וחסר X.

פתרון מלא

תשובה סופית: C(18,12), D(-8,12)

נחליף Y=12 במשוואת המעגל: (x-5)^2 + (12-12)^2 = 13^2 (x-5)^2 = 169 x-5 = ±13 x = 18 או x = -8 לכן, הנקודות הן C(18,12), D(-8,12)

מציאת משוואת המשיק בנקודה B

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתון נקודה B על המעגל. מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה B וחשב את חיתוך המשיק עם ציר ה-Y.

משיקשיפועחיתוך צירנקודה על המעגל

רמז: המשיק הוא ישר המאונך לרדיוס בנקודה B. חשב קודם את שיפוע הקו ממרכז המעגל ל-B, ואז שיפוע המשיק ההפכי נגדי.

פתרון מלא

תשובה סופית: y = (5/12)x - 50/12, חיתוך עם ציר Y בנקודה (0, -4.166)

נחשב שיפוע הרדיוס: m_r = (12-0)/(5-10) = 12/(-5) = -12/5 שיפוע המשיק הוא ההפכי הנגדי: m_s = 5/12 משוואת המשיק בנקודה B(10,0): y - 0 = 5/12 (x - 10) y = (5/12) x - 50/12 חיתוך עם ציר ה-Y (x=0): y = -50/12 ≈ -4.166

חישוב שטח המשולש OEB

רמת קושי: בגרות

ממתין

הנקודות O(0,0), E(0,-4.166) ו-B(10,0) יוצרות משולש. חשב את שטח המשולש.

שטחמשולשנקודות צירים

רמז: הבסיס הוא המרחק בין O ל-B והגובה הוא המרחק בין O ל-E על ציר Y.

פתרון מלא

תשובה סופית: 20.87

בחישוב שטח משולש: בסיס = 10 גובה = 4.166 שטח = (בסיס * גובה)/2 = (10 * 4.166)/2 = 20.83 ≈ 20.87

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל 3 – מעגל, קוטר ומשיק

שלבים לפתרון שאלה אנליטית עם מעגל וישר

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא א) רדיוס המעגל / ב) נקודות C ו-D של הקוטר המקביל לציר ה-X / ג) משוואת המשיק במגע
נתון 1
נתון 1
משוואת המעגל (X-5)^2 + (Y-12)^2 = R^2
נתון 2
נקודת חיתוך המעגל עם ציר ה-X היא (10,0)
נתון 3
הקו CD הוא קוטר במעגל ומקביל לציר ה-X
רעיון
הרעיון המרכזי
מחשבים את הרדיוס באמצעות מרחק מהמרכז לנקודת חיתוך; משייכים ערך Y לקוטר המקביל ומחשבים נקודות X;
נוסחה
מקבלים רדיוס R לאחר שימוש בנוסחת המרחק
R = sqrt( (10-5)^2 + (0-12)^2 )R = sqrt((10-5)^2 + (0-12)^2)R = (10-5)^2 + (0-12)^2
משוואה
השווה Y של הקוטר המקביל לציר ה-X (Y=12) במשוואת המעגל וחסר X
השווה Y של הקוטר המקביל לציר ה-X (Y=12) במשוואת המעגל וחסר X
(x-5)^2 = 169
פישוט
חשב שיפוע הרדיוס, החלף את השיפוע בערך ההפכי הנגדי, וכתוב משוואת ישר
חשב שיפוע הרדיוס, החלף את השיפוע בערך ההפכי הנגדי, וכתוב משוואת ישר
m_r = (12-0)/(5-10) = -12/5m_s= 5/12

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתוני המעגל והנקודות

מה עושים

נתוני משוואת המעגל ונקודות החיתוך ידועים

למה

יש להבין מהם הערכים שיוכלו לעזור בחישובים

נתוני המעגל כוללים מרכז, נקודות חיתוך וקו מקביל לציר X

בחירת שיטה

חישוב הרדיוס באמצעות נקודות

מה עושים

חשב את המרחק בין מרכז המעגל לנקודת החיתוך על ציר ה-X

למה

הרדיוס הוא המרחק בין המרכז לכל נקודה על המעגל

משתמשים בנוסחת מרחק בין שתי נקודות במישור

המרחק בין שתי נקודות הוא שורש סכום ריבועי ההפרשים

בניית משוואה

כתיבת משוואת המעגל והחישוב עם ערכי X ו-Y

מה עושים

מקבלים רדיוס R לאחר שימוש בנוסחת המרחק

למה

מכיוון ש-R^2 הוא ערך במשוואת המעגל, נוכל לרשום את R

המעגל מוגדר ב-(X-5)^2 + (Y-12)^2 = R^2

נוסחה / הצבה

R = sqrt( (10-5)^2 + (0-12)^2 )R = sqrt((10-5)^2 + (0-12)^2)R = (10-5)^2 + (0-12)^2

חשב את החסרונות/הפרשים בין נקודות

פתרון

מציאת נקודות הקוטר C ו-D

מה עושים

השווה Y של הקוטר המקביל לציר ה-X (Y=12) במשוואת המעגל וחסר X

למה

הקו מקביל לציר X - Y קבוע ונשמר בקוטר

פותר משוואה ריבועית בנוגע ל-X ובודק אילו נקודות נופלות על המעגל

נוסחה / הצבה

(x-5)^2 = 169

קח שורש ריבועי לקבלת שתי נקודות X

פתרון

משוואת המשיק בנקודה B

מה עושים

חשב שיפוע הרדיוס, החלף את השיפוע בערך ההפכי הנגדי, וכתוב משוואת ישר

למה

משיק הוא ישר המאונך לרדיוס בנקודה B

משתמש בנוסחת שיפוע ומכניס נקודה למשוואת ישר

נוסחה / הצבה

m_r = (12-0)/(5-10) = -12/5m_s= 5/12y - 0 = 5/12 (x -10)y - 0 = (5/12)(x - 10)m_r = (12-0)/(5-10) = -(12)/(5)

זכור שמשיק מאונך לרדיוס

פתרון

חישוב שטח המשולש OEB

מה עושים

חשב שטח משולש עם בסיס בגודל 10 וגובה 4.166

למה

שטח משולש שווה למחצית מכפלת הבסיס בגובה

השטח מחושב על פי נקודות O, E ו-B ועל ידי שימוש בערכי נקודות החיתוך

נוסחה / הצבה

שטח = (10 * 4.166) / 2 = 20.87שטח = (10 x 4.166)/(2) = 20.87

בסיס הוא אורך בין O ל-B, גובה הוא המרחק ב-Y בין O ל-E

פתרונות כלליים

מציאת הרדיוס של המעגל: חישוב הרדיוס הוא המרחק בין (5,12) ל-(10,0): R = sqrt((10-5)^2 + (0-12)^2) R= sqrt(25 + 144) = sqrt(169) = 13
מציאת נקודות החיתוך של קוטר מקביל לציר ה-X: נחליף Y=12 במשוואת המעגל: (x-5)^2 + (12-12)^2 = 13^2 (x-5)^2 = 169 x-5 = ±13 x = 18 או x = -8 לכן, הנקודות הן C(18,12), D(-8,12)
מציאת משוואת המשיק בנקודה B: נחשב שיפוע הרדיוס: m_r = (12-0)/(5-10) = 12/(-5) = -12/5 שיפוע המשיק הוא ההפכי הנגדי: m_s = 5/12 משוואת המשיק בנקודה B(10,0): y - 0 = 5/12 (x - 10) y = (5/12) x - 50/12 חיתוך עם ציר ה-Y (x=0): y = -50/12 ≈ -4.166
חישוב שטח המשולש OEB: בחישוב שטח משולש: בסיס = 10 גובה = 4.166 שטח = (בסיס * גובה)/2 = (10 * 4.166)/2 = 20.83 ≈ 20.87

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

ה3. שאלון 803 - פתרון מלא חורף 17 - תרגיל 3 - אנליטית הישר והמעגל - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון תרגיל 3 – מעגל, קוטר ומשיק

מפת פתרון

למצוא א) רדיוס המעגל / ב) נקודות C ו-D של הקוטר המקביל לציר ה-X / ג) משוואת המשיק במגע

נתון 1

נקודת חיתוך המעגל עם ציר ה-X היא (10,0)

הקו CD הוא קוטר במעגל ומקביל לציר ה-X

הרעיון המרכזי

מקבלים רדיוס R לאחר שימוש בנוסחת המרחק

השווה Y של הקוטר המקביל לציר ה-X (Y=12) במשוואת המעגל וחסר X

חשב שיפוע הרדיוס, החלף את השיפוע בערך ההפכי הנגדי, וכתוב משוואת ישר

פתרון מפורט

נתוני המעגל והנקודות

חישוב הרדיוס באמצעות נקודות

כתיבת משוואת המעגל והחישוב עם ערכי X ו-Y

מציאת נקודות הקוטר C ו-D

משוואת המשיק בנקודה B

חישוב שטח המשולש OEB

פתרונות כלליים