פתרון מלא של תרגיל מתמטיקה בנושא המעגל הישר והמשיקים מתוך שאלון 803 בקורס חזרות לבגרות 3 יחידות.
להבין ולסמנן את מרכיבי המעגל במשוואה שלו
לחשב רדיוס מעגל באמצעות מרחק בין נקודות
למצוא משוואת המשיק למעגל בנקודה נתונה
להבין שיפוע של רדיוס ומשיק ולמצוא משוואת הישר
למצוא נקודות חיתוך של ישרים ולקבוע ערכים לפי תנאים גאומטריים
מציאת רדיוס המעגל ומרכזו: שרטוט המעגל ונקודותיו, חישוב הרדיוס על בסיס מרחק בין הנקודה A למרכז המעגל.
כתיבת משוואת המעגל: כתיבת המשוואה הרגילה של המעגל לפי מרכז ורדיוס שנמצאו.
מציאת נקודה B: חישוב נקודה B על המעגל על פי נתונים ואמצעי דילוגים בין נקודות לצירים.
מציאת משוואת המשיק בנקודה A: חישוב השיפוע של הרדיוס, ושימוש בשיפוע המאונך למציאת משוואת המשיק בנקודה A.

תרגול קצר

מציאת רדיוס המעגל

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה נקודה A (3,-6) והמרכז (8,4) של המעגל. חשב את רדיוס המעגל.

מרחקמעגלרדיוס

רמז: השתמש בנוסחת המרחק בין שתי נקודות.

פתרון מלא

תשובה סופית: 5 שורש 5

הרדיוס הוא המרחק בין נקודה A לנקודת המרכז. נחשב: |8-3|=5, |4-(-6)|=10, מרחק = שורש(5^2 + 10^2) = שורש(25 + 100) = שורש(125) = 5 שורש 5.

מציאת משוואת המעגל

רמת קושי: בינוני

ממתין

כתוב את משוואת המעגל עם מרכז ב-(8,4) ורדיוס 5 שורש 3.

מעגלמשוואת מעגל

רמז: השתמש במשוואת המעגל (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2.

פתרון מלא

תשובה סופית: (x-8)^2 + (y-4)^2 = 75

משוואת המעגל היא (x-8)^2 + (y-4)^2 = (5 שורש 3)^2 = 75.

מציאת משוואת המשיק במעגל בנקודה נתונה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הנקודה A היא (3,-6) על המעגל שמרכזו (8,4). מצא את משוואת המשיק במעגל בנקודה A.

משיקשיפועמעגל

רמז: חשב את שיפוע הרדיוס, השיפוע של המשיק הוא השווה למנוגד הופכי של שיפוע הרדיוס.

פתרון מלא

תשובה סופית: y = -1/2 x - 9/2

שיפוע הרדיוס m = (4 - (-6)) / (8 - 3) = 10 / 5 = 2. שיפוע המשיק הוא -1/2. משוואת המשיק: y - (-6) = -1/2 (x - 3), כלומר y + 6 = -1/2 x + 3/2. פונקציית המשיק היא y = -1/2 x - 9/2.

חישוב נקודת החיתוך בין ישר למשיק במעגל

רמת קושי: בגרות

ממתין

הישר המקביל לציר Y עובר דרך נקודה B (-3,6). מצא את נקודת החיתוך C בין הישר למשיק שנמצא במעלה קודם.

משיקישרחיתוך

רמז: לישר מקביל לציר Y יש x קבוע. הצב את הערך במשוואת המשיק ומצא y.

פתרון מלא

תשובה סופית: (-3, -3)

הישר מקביל לציר Y הוא x = -3. בהצבה במשוואת המשיק y = -1/2 x - 9/2 מקבלים y = -1/2 * (-3) - 9/2 = 3/2 - 9/2 = -3. לכן נקודת החיתוך C היא (-3, -3).

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל אנליטית - מעגל, משיק ונקודות

מציאת רדיוס, משוואת המשיק ונקודות חיתוך

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא רדיוס המעגל / משוואת המעגל / משוואת המשיק בנקודה A / נקודת החיתוך C בין ישר למשיק
נתון 1
נקודה A (3,-6) על המעגל
נתון 2
מרכז המעגל (8,4)
נתון 3
ישר מקביל לציר Y דרך נקודה B
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב רדיוס בעזרת מרחק בין נקודות, נכתוב את משוואת המעגל, נמצא שיפוע הרדיוס ומשוואת המשיק, ונשתמש
נוסחה
חשב שיפוע הרדיוס, מצא שיפוע משיק והכנס לנוסחה של ישר.
m הרדיוס = (4+6)/(8-3) = 10/5 = 2m המשיק = -1/2משוואת המשיק: y + 6 = -1/2 (x - 3)
משוואה
הכנס את מרכז המעגל והרדיוס למשוואת המעגל.
הכנס את מרכז המעגל והרדיוס למשוואת המעגל.
(x - 8)^2 + (y - 4)^2 = (5 שורש 3)^2 = 75
פישוט
הציב את x=-3 במשוואת המשיק ומצא y.
הציב את x=-3 במשוואת המשיק ומצא y.
x = -3y = -1/2 * (-3) - 9/2 = -3

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתונים ראשוניים

מה עושים

ניתן נקודות: A, המרכז, וישר מקביל לציר Y דרך B.

למה

אלה הבסיס לכל החישובים בתרגיל.

נקודות המעגל והישרים מוכרות וחשובות.

בחירת שיטה

חישוב רדיוס המעגל

מה עושים

חשב את המרחק בין מרכז המעגל לנקודה A.

למה

המרחק הוא הרדיוס של המעגל.

שימוש בנוסחת המרחק בין שתי נקודות.

rho = שורש ( (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 )

בניית משוואה

כתיבת משוואת המעגל

מה עושים

הכנס את מרכז המעגל והרדיוס למשוואת המעגל.

למה

משוואת המעגל נותנת ייצוג אלגברי לנקודות על המעגל.

משוואה סטנדרטית (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2.

נוסחה / הצבה

(x - 8)^2 + (y - 4)^2 = (5 שורש 3)^2 = 75

פתרון

מציאת משוואת המשיק בנקודה A

מה עושים

חשב שיפוע הרדיוס, מצא שיפוע משיק והכנס לנוסחה של ישר.

למה

משיק מאונך לרדיוס בנקודה על המעגל.

שיפוע המשיק הוא ההופכי השלילי של שיפוע הרדיוס.

נוסחה / הצבה

m הרדיוס = (4+6)/(8-3) = 10/5 = 2m המשיק = -1/2משוואת המשיק: y + 6 = -1/2 (x - 3)

פתרון

מציאת נקודת החיתוך עם ישר מקביל לציר Y

מה עושים

הציב את x=-3 במשוואת המשיק ומצא y.

למה

אין שינוי בערך x בישר מקביל לציר Y.

נמצא את נקודת C שחולקת את הישר ומשיק המעגל.

נוסחה / הצבה

x = -3y = -1/2 * (-3) - 9/2 = -3

המקום בו עובר הישר המקביל לציר Y על המשיק.

תשובה

סיכום התוצאות

מה עושים

רדיוס המעגל הוא 5 שורש 3; משוואת המעגל היא (x-8)^2+(y-4)^2=75; משוואת המשיק היא y = -1/2 x - 9/2; נקודת החיתוך C היא (-3,-3).

למה

כן כל התוצאות שנדרשו בחזרה של השאלה.

פתרון מלא וברור לתרגיל הקיץ.

פתרונות כלליים

מציאת רדיוס המעגל: הרדיוס הוא המרחק בין נקודה A לנקודת המרכז. נחשב: |8-3|=5, |4-(-6)|=10, מרחק = שורש(5^2 + 10^2) = שורש(25 + 100) = שורש(125) = 5 שורש 5.
מציאת משוואת המעגל: משוואת המעגל היא (x-8)^2 + (y-4)^2 = (5 שורש 3)^2 = 75.
מציאת משוואת המשיק במעגל בנקודה נתונה: שיפוע הרדיוס m = (4 - (-6)) / (8 - 3) = 10 / 5 = 2. שיפוע המשיק הוא -1/2. משוואת המשיק: y - (-6) = -1/2 (x - 3), כלומר y + 6 = -1/2 x + 3/2. פונקציית המשיק היא y = -1/2 x - 9/2.
חישוב נקודת החיתוך בין ישר למשיק במעגל: הישר מקביל לציר Y הוא x = -3. בהצבה במשוואת המשיק y = -1/2 x - 9/2 מקבלים y = -1/2 * (-3) - 9/2 = 3/2 - 9/2 = -3. לכן נקודת החיתוך C היא (-3, -3).

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

ו1. שאלון 803 - פתרון מלא קיץ 16 מועד א - תרגיל 3 - אנליטית הישר והמעגל - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון תרגיל אנליטית - מעגל, משיק ונקודות

מפת פתרון

למצוא רדיוס המעגל / משוואת המעגל / משוואת המשיק בנקודה A / נקודת החיתוך C בין ישר למשיק

נקודה A (3,-6) על המעגל

מרכז המעגל (8,4)

ישר מקביל לציר Y דרך נקודה B

הרעיון המרכזי

חשב שיפוע הרדיוס, מצא שיפוע משיק והכנס לנוסחה של ישר.

הכנס את מרכז המעגל והרדיוס למשוואת המעגל.

הציב את x=-3 במשוואת המשיק ומצא y.

פתרון מפורט

נתונים ראשוניים

חישוב רדיוס המעגל

כתיבת משוואת המעגל

מציאת משוואת המשיק בנקודה A

מציאת נקודת החיתוך עם ישר מקביל לציר Y

סיכום התוצאות

פתרונות כלליים