שיעור המתמקד בפתרון בעיית קיצון הנוגעת לחשבון שטחים במלבן הכולל צורות פנימיות, תוך ניתוח פונקציית השטח וקביעת ערך המינימום שלה.
להבין כיצד לממש בעיית קיצון באמצעות הצבת משתנה ובניית פונקציית שטח
לחשב שטחים של צורות גיאומטריות בתוך מלבן עם נתונים משתנים
לגזור פונקציה ולהשתמש בנגזרת לשם מציאת נקודת קיצון
להבין כיצד להשתמש במחשבון כדי לאמת תוצאות חישוביות
הצגת הבעיה הגיאומטרית: הצגת מלבן עם צורות פנימיות המסומנות על ידי נקודות המגדירות משולשים שונים ושימוש במשתנה X לציון מידות חסרות.
בניית פונקציית השטח: חישוב שטחי ארבעת המשולשים לפי המשתנה X והצגת שטח כולל כתלות ב-X.
מציאת נקודת קיצון: גזירת פונקציית השטח וחיפוש נקודת מינימום על פי הנגזרת והשימוש במחשבון לבדיקה וחיזוק התוצאה.

תרגול קצר

מציאת נקודת מינימום של פונקציית שטח

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה פונקציית השטח A(X) = 2X בריבוע פחות 16X ועוד 60. מצא את ערך ה-X שבו השטח A(X) הוא מינימלי.

קיצוןנגזרתפונקציות ריבועיות

רמז: חשב את הנגזרת של הפונקציה, אפס אותה, ופתור עבור X.

פתרון מלא

תשובה סופית: X = 4

נגזרת הפונקציה היא A'(X) = 4X - 16.\nנשווה לאפס: 4X - 16 = 0 \nנוסיף 16 לכל צד: 4X = 16 \nנחלק ב-4: X = 4.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל קיצון – פונקציית שטח במלבן

מציאת ערך המינימום של פונקציית השטח A(X)

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך X שגורם למינימום פונקציית A(X)
נתון 1
נתון 1
פונקציית השטח: A(X) = 2X בריבוע פחות 16X ועוד 60
רעיון
הרעיון המרכזי
למצוא נקודת קיצון על ידי חישוב הנגזרת, השוואתה לאפס ופתרונה.
נוסחה
יש לנו פונקציית השטח A(X) = 2X בריבוע פחות 16X ועוד 60
A(X) = 2X^2 - 16X + 60A(X) = 2X^(2) - 16X + 60
משוואה
מציבים בנגזרת את האפס ומקבלים משוואה: 4X - 16 = 0
מציבים בנגזרת את האפס ומקבלים משוואה: 4X - 16 = 0
4X - 16 = 0
פישוט
4X = 16, ולכן X = 4
4X = 16, ולכן X = 4
תוצאה
מסיימים בתשובה
נגזרת שנייה היא 4, חיובית ולכן זה מינימום
A''(X) = 4
בדיקה
בדיקה קצרה
- הבנת הצורה הגיאומטרית ומדידת המשתנים
- הבנת בניית פונקציית השטח
- זהירות: שכחה להשוות את הנגזרת לאפס

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפונקציה הנתונה

מה עושים

יש לנו פונקציית השטח A(X) = 2X בריבוע פחות 16X ועוד 60

למה

משום שהיא מתארת את השטח כתלות ב-X

נתונה פונקציה ריבועית המייצגת שטח

נוסחה / הצבה

A(X) = 2X^2 - 16X + 60A(X) = 2X^(2) - 16X + 60

זכור שפונקציה ריבועית פתוחה כלפי מעלה כאשר המונה בביטוי 2 הוא חיובי

בחירת שיטה

מציאת נקודת קיצון

מה עושים

נחשב את הנגזרת של A(X) ונציב שווה לאפס

למה

כדי למצוא נקודת מינימום או מקסימום בפונקציה

נגזרת הפונקציה 4X - 16 שווה לאפס

נוסחה / הצבה

A'(X) = 4X - 16

פתור משוואה פשוטה כדי למצוא ערך X קריטי

בניית משוואה

שוויון הנגזרת לאפס

מה עושים

מציבים בנגזרת את האפס ומקבלים משוואה: 4X - 16 = 0

למה

השוואת הנגזרת לאפס נותנת את נקודת הקיצון

נפתור את המשוואה לקבלת ערך X

נוסחה / הצבה

4X - 16 = 0

העבר את 16 לצד שני וחלק ב-4

פתרון

חשב את ערך X

מה עושים

4X = 16, ולכן X = 4

למה

זו נקודת הקיצון של הפונקציה

נקודת המינימום נמצאת ב-X שווה 4

זכור לבדוק את סוג נקודת הקיצון

בדיקה

אימות סוג נקודת הקיצון

מה עושים

נגזרת שנייה היא 4, חיובית ולכן זה מינימום

למה

נגזרת שנייה חיובית מלמדת על נקודת מינימום

הפונקציה מגיעה למינימום ב-X=4

נוסחה / הצבה

A''(X) = 4

נגזרת שנייה חיובית => מינימום

תשובה

תוצאה סופית

מה עושים

ערך X הממזער את השטח הוא 4

למה

לכן השטח קטן במקסימום בנקודה זו

X = 4 הוא הפתרון המבוקש

פתרונות כלליים

מציאת נקודת מינימום של פונקציית שטח: נגזרת הפונקציה היא A'(X) = 4X - 16.\nנשווה לאפס: 4X - 16 = 0 \nנוסיף 16 לכל צד: 4X = 16 \nנחלק ב-4: X = 4.

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

ו4. שאלון 803 - פתרון מלא קיץ 16 מועד א - תרגיל 6 - בעית קיצון - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון תרגיל קיצון – פונקציית שטח במלבן

מפת פתרון

למצוא ערך X שגורם למינימום פונקציית A(X)

נתון 1

הרעיון המרכזי

יש לנו פונקציית השטח A(X) = 2X בריבוע פחות 16X ועוד 60

מציבים בנגזרת את האפס ומקבלים משוואה: 4X - 16 = 0

4X = 16, ולכן X = 4

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

הפונקציה הנתונה

מציאת נקודת קיצון

שוויון הנגזרת לאפס

חשב את ערך X

אימות סוג נקודת הקיצון

תוצאה סופית

פתרונות כלליים