שיעור זה עוסק בפתרון בעיית קיצון במתמטיקה על פי תרגיל 6 משאלון 803 חורף 2017. נלמדים שלבי פתרון מלאים החל מהגדרת המשתנים, יצירת פונקציית השטח, מציאת הנגזרת, חישוב נקודת המקסימום ובדיקת קיומה.
להבין כיצד לבנות מודל מתמטי לבעיית קיצון של מלבן
להציג פונקציה המתארת את שטח המלבן לפי המשתנה העצמאי X
לאתר את נקודות הקיצון של פונקציה על ידי נגזרת
לבדוק אם נקודת הקיצון היא מקסימום או מינימום באמצעות בדיקת סימן הנגזרת משני צידי הנקודה
לתרגל תהליך פתרון מלא וכתיבה מתמטית מסודרת
הכנת הנתונים והגדרת המשתנים: הגדרת משתנה X, פירוק המלבן לגדלים ויצירת ביטויים מתמטיים המתארים את הגדלים השונים במלבן חדש
קביעת פונקציית השטח: ניסוח פונקציית השטח של המלבן החדש כפונקציה של X, ופישוט הביטוי
חישוב הנגזרת ומציאת נקודת קיצון: גזירה של פונקציית השטח, פתרון משוואת הנגזרת השווה לאפס למציאת נקודת הקיצון
בדיקת מקסימום בעזרת נגזרת: בדיקת סימני הנגזרת משני צידי X=27 כדי לוודא שמדובר בנקודת מקסימום

תרגול קצר

חישוב שטח מלבן חדש בהתאם ל-X

רמת קושי: קל

ממתין

נתון מלבן שהרוחב שלו הוא 12 סנטימטרים וההיקף שלו 60 סנטימטרים. אם לרוחב המלבן הוסיפו 2 כפול X סנטימטרים ולגובה המלבן הפחיתו X סנטימטרים, כתבו את פונקציית השטח של המלבן החדש כפונקציה של X.

קיצוןשטח מלבן

רמז: השתמשו בנוסחה לשטח מלבן: שטח = אורך כפול רוחב, הגדירו את אורך המלבן החדש כ-60 פחות X, והרוחב החדש כ-12 ועוד 2X.

פתרון מלא

תשובה סופית: S(X) = 720 + 108X - 2X²

המשוואה לשטח היא S = (60 - X)(12 + 2X). נשתמש בהכפלה כדי לפשט ולקבל S = 720 + 108X - 2X בריבוע.

מציאת נקודת קיצון בפונקציית שטח

רמת קושי: בינוני

ממתין

פונקציית השטח של מלבן מוגדרת כ S(X) = 720 + 108X - 2X². חישבו את הנגזרת של S לפי X ומצאו את ערך X עבורו השטח מקסימלי.

נגזרתקיצוןחישוב נקודת מקסימום

רמז: נגזרת פונקציה ריבועית S(X) = 720 + 108X - 2X² היא S'(X) = 108 - 4X. מצאו את X כך ש-S'(X) = 0.

פתרון מלא

תשובה סופית: X = 27

S'(X) = 108 - 4X השוואה ל-0: 108 - 4X = 0 4X = 108 X = 27

בדיקת נקודת מקסימום באמצעות סימני הנגזרת

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בדקו האם נקודת X=27 היא נקודת מקסימום על ידי בדיקת סימן הנגזרת S'(X)() משני צידי X=27 עבור פונקציית השטח S(X) = 720 + 108X - 2X².

נגזרתקיצוןבדיקת נקודת קיצון

רמז: החליפו ערכים קטנים וגדולים מ-27 בנגזרת כדי לבדוק את השינוי בסימן.

פתרון מלא

תשובה סופית: X=27 היא נקודת מקסימום

עבור X=26, S'(26) = 108 - 4*26 = 108 - 104 = 4 (חיובי) עבור X=28, S'(28) = 108 - 4*28 = 108 - 112 = -4 (שלילי) הנגזרת עוברת ממצב חיובי למצב שלילי – סימן נקודת מקסימום.

פתרון בעיית קיצון מלבן – בגרות

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתון מלבן שהרוחב שלו 12 סנטימטרים וההיקף שלו 60 סנטימטרים. מוסיפים 2X לסנטימטרים לרוחב ומפחיתים X מהאורך. כתבו את פונקציית השטח החדשה, גזרו ומצאו את ערך X שיגרום לשטח להיות מקסימלי.

קיצוןמלבןבגרות

רמז: הגדירו את האורך והרוחב החדשים לפי X, חשבו את פונקציית השטח, גזרו אותה ומצאו את ה-X שבו הנגזרת שווה לאפס, ואז בדקו סימני הנגזרת לצדדים.

פתרון מלא

תשובה סופית: X = 27 מקסימום השטח

רוחב: 12 + 2X אורך: (היקף המקורי 60) פחות X → 60 - X שטח: S = (60 - X)(12 + 2X) = 720 + 108X - 2X² נגזרת: S'(X) = 108 - 4X פתרון לנגזרת שווה לאפס: 108 - 4X = 0 → X = 27 בדיקת סימני נגזרת מראה שנקודה זו היא מקסימום.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון בעיית קיצון של שטח מלבן

שלבים מפורטים לפתרון תרגיל 6 משאלון 803 חורף 17

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך ה-X שיגרום לשטח המלבן להיות מקסימלי
נתון 1
רוחב המלבן המקורי: 12 ס״מ
נתון 2
היקף המלבן המקורי: 60 ס״מ
נתון 3
רוחב חדש: 12 + 2X ס״מ
רעיון
הרעיון המרכזי
נגדיר את פונקציית השטח כפונקציה של X, נגזור אותה ונמצא את ערך ה-X שעבורו הנגזרת שווה לאפס.
נוסחה
פתחו את הביטוי ופשטו כדי לקבל פונקציה ריבועית S(X) = 720 + 108X - 2X².
S(X) = 720 + 108X - 2X^2
משוואה
פתרו את המשוואה 108 - 4X = 0 כדי למצוא את X = 27.
פתרו את המשוואה 108 - 4X = 0 כדי למצוא את X = 27.
108 - 4X = 0X = 27108 - 4X = 0 => X = 27
פישוט
גזרו את פונקציית השטח כדי לקבל S'(X) = 108 - 4X.
גזרו את פונקציית השטח כדי לקבל S'(X) = 108 - 4X.
S'(X) = 108 - 4X

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

מה עושים

בדקו סימני הנגזרת משני צידי X=27 כדי לאשר שמדובר במקסימום: הנגזרת חיובית ב-26 ושלילית ב-28.

למה

שינוי סימן הנגזרת מפרט חיובי לשלילי מעיד על נקודת מקסימום.

פתרונות כלליים

חישוב שטח מלבן חדש בהתאם ל-X: המשוואה לשטח היא S = (60 - X)(12 + 2X). נשתמש בהכפלה כדי לפשט ולקבל S = 720 + 108X - 2X בריבוע.
מציאת נקודת קיצון בפונקציית שטח: S'(X) = 108 - 4X השוואה ל-0: 108 - 4X = 0 4X = 108 X = 27
בדיקת נקודת מקסימום באמצעות סימני הנגזרת: עבור X=26, S'(26) = 108 - 4*26 = 108 - 104 = 4 (חיובי) עבור X=28, S'(28) = 108 - 4*28 = 108 - 112 = -4 (שלילי) הנגזרת עוברת ממצב חיובי למצב שלילי – סימן נקודת מקסימום.
פתרון בעיית קיצון מלבן – בגרות: רוחב: 12 + 2X אורך: (היקף המקורי 60) פחות X → 60 - X שטח: S = (60 - X)(12 + 2X) = 720 + 108X - 2X² נגזרת: S'(X) = 108 - 4X פתרון לנגזרת שווה לאפס: 108 - 4X = 0 → X = 27 בדיקת סימני נגזרת מראה שנקודה זו היא מקסימום.

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

ה6. שאלון 803 - פתרון מלא חורף 17 - תרגיל 6 - בעית קיצון - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון בעיית קיצון של שטח מלבן

מפת פתרון

למצוא ערך ה-X שיגרום לשטח המלבן להיות מקסימלי

רוחב המלבן המקורי: 12 ס״מ

היקף המלבן המקורי: 60 ס״מ

רוחב חדש: 12 + 2X ס״מ

הרעיון המרכזי

פתחו את הביטוי ופשטו כדי לקבל פונקציה ריבועית S(X) = 720 + 108X - 2X².

פתרו את המשוואה 108 - 4X = 0 כדי למצוא את X = 27.

גזרו את פונקציית השטח כדי לקבל S'(X) = 108 - 4X.

פתרון מפורט

הגדרת משתנים על פי הבעיה

בניית פונקציית השטח

פישוט פונקציית השטח

חישוב הנגזרת

מציאת נקודת הקיצון

בדיקת סוג נקודת הקיצון

פתרונות כלליים