שיעור זה עוסק בפתרון תרגיל חקירת פונקציה הכולל נגזרת וניתוח תחומי עליה וירידה, חישובי נקודות קיצון, וחקר שיקוע הפונקציה. הדגש הוא על טיפול נכון בנגזרת של פונקציות שבריות ועל ניתוח גרפי של הפונקציה בהתאם לתוצאות הנגזרת.
להבין ולכתוב נכון תחום הגדרה של פונקציה.
לחשב נגזרת של פונקציה שברית באמצעות כללי הנגזרות.
למצוא נקודות קיצון על ידי פתרון משוואות נגזרת שווה לאפס.
לנתח תחומי עלייה וירידה של הפונקציה על פי סימני הנגזרת.
להסיק מסקנות לגבי התנהגות הפונקציה בהתבסס על ניתוח נגזרות וגרפים.
להבין מתי פתרון משוואה אינו ממשי עקב תוצאה דיסקרימיננטית שלילית.
הכרת תחום ההגדרה: מגדירים את תחום ההגדרה של הפונקציה על פי תנאי אי-אפסיות במונה ובמכנה.
חישוב הנגזרת: נגזרת פונקציה שברית נעשית באמצעות כלל המנה, הכולל נגזרת המונה והמכנה.
מציאת נקודות קיצון: משווים את הנגזרת לאפס לפתרון נקודות קיצון אפשריות.

תרגול קצר

חישוב תחום הגדרה לפונקציה שברית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = x חלקי 6 + 6 חלקי x + 1. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

תחום הגדרהפונקציה שברית

רמז: תחום ההגדרה מוגבל על ידי הערך שבו המכנה שווה לאפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: x שונה מ-0

המכנה הוא 6 ו-x. 6 אינו משתנה, אך x לא יכול להיות אפס כי הוא במכנה בשבר 6/x. לכן תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל-x=0.

חישוב נגזרת של פונקציה שברית

רמת קושי: בינוני

ממתין

חשב את הנגזרת של הפונקציה f(x) = (x/6) + (6/x) + 1.

נגזרתכללי נגזרה

רמז: השתמש בכלל הנגזרת של מנה ושל נגזרת חזקות של x.

פתרון מלא

תשובה סופית: f'(x) = 1/6 - 6/x²

נגזרת x/6 היא 1/6. נגזרת 6/x היא נגזרת 6*x^(-1) שהיא -6 * x^(-2) = -6 / x². נגזרת 1 היא 0. אז הנגזרת f'(x) = 1/6 - 6/x².

זיהוי תחומי עלייה וירידה של פונקציה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בהינת הנגזרת f'(x) = 1/6 - 6/x², מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

תחומי עלייה וירידהנגזרתחקירת פונקציה

רמז: בדוק את סימן f'(x) באזורים השונים של x והשתמש בציר המספרים.

פתרון מלא

תשובה סופית: הפונקציה עולה ב-(−∞,−6) ו-(6,∞), יורדת ב-(−6,0) ו-(0,6)

פתרון 1/6 - 6/x² > 0: 1/6 > 6/x² כפל ב-x² (x שונה מ-0): x² > 36 כלומר x > 6 או x < -6 אז הפונקציה עולה באזורים x > 6 ו-x < -6. הפונקציה יורדת בין -6 ל-6. תחומי עליה: (-∞, -6) ו-(6, ∞). תחומי ירידה: (-6, 0) ו-(0, 6).

ניתוח נקודות קיצון ודומיננטות פונקציה

רמת קושי: בגרות

ממתין

בהינת הנגזרת f'(x) = 1/6 - 6/x² של הפונקציה f, חשב את נקודות הקיצון ואת סוגן.

נקודות קיצוןנגזרתחקירת פונקציה

רמז: פתור f'(x)=0 למציאת x, ולאחר מכן בדוק סימני הנגזרת משמאל וימין לערכים אלו.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות קיצון ב-x=-6 (מקסימום) וב-x=6 (מינימום)

f'(x) = 0 1/6 - 6/x²=0 6/x² = 1/6 כפל ב-x²: 6 = x²/6 כפול 6: 36 = x² קיבלנו x=6 ו-x=-6 נקודות קיצון. בדיקת סימן f' משמאל וימין: עבור x < -6 , f' > 0 עולה בין -6 ל 6 , f' < 0 יורד עבור x > 6 , f' > 0 עולה לכן, ב-x=-6 נקודת מקסימום וב-x=6 נקודת מינימום.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת פונקציה ונגזרת

פתרון תרגיל חקירת פונקציה מסוג שברית

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא תחום ההגדרה המדויק / הנגזרת של f(x) / ניידות ונקודות קיצון / תחומי עלייה וירידה של f
נתון 1
נתון 1
f(x) = x/6 + 6/x + 1
נתון 2
x שונה מ-0 (תחום הגדרה ראשוני)
רעיון
הרעיון המרכזי
ננתח תחום הגדרה, נחשב נגזרת ונחלק את ציר המספרים לפי נקודות בהן הנגזרת מתאפסת כדי לבדוק סימנים
נוסחה
נגזרת x/6 היא 1/6; נגזרת 6/x היא -6/x^2; נגזרת 1 היא 0.
f'(x) = 1/6 - 6 / x^2f'(x) = (1)/(6) - (6)/(x^2)
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
פתור 1/6 - 6/x^2=0 למציאת x.
פתור 1/6 - 6/x^2=0 למציאת x.
1/6 - 6 / x^2 = 0x^2 = 36
תוצאה
מסיימים בתשובה
קבע שהפונקציה עולה מחוץ לקטע [-6,6] ויורדת בתוכו.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתונים ראשוניים

מה עושים

התחילו מהגדרת הפונקציה וגדרו את תחום ההגדרה ההתחלתי.

למה

חשוב להגדיר איפה הפונקציה מוגדרת לפני כל חישוב נוסף.

f(x) = x חלקי 6 + 6 חלקי x + 1, x שונה מ-0.

בחירת שיטה

מצא את הנגזרת נכון

מה עושים

חשב את נגזרת הפונקציה תוך שימוש בכלל הנגזרת של פונקציות שבריות.

למה

הנגזרת מאפשרת ניתוח התנהגות הפונקציה, כולל נקודות קיצון.

נשתמש בכלל המנה ונפעל לחישוב נגזרת של x/6 ו-6/x.

זכור שנגזרת קבוע כפול x^n היא קבוע כפול n כפול x בחזקת n פחות 1.

בניית משוואה

חשב את הנגזרת

מה עושים

נגזרת x/6 היא 1/6; נגזרת 6/x היא -6/x^2; נגזרת 1 היא 0.

למה

חישוב הצחפה הנגזרת לפי החוקים.

f'(x) = 1/6 - 6/x^2.

נוסחה / הצבה

f'(x) = 1/6 - 6 / x^2f'(x) = (1)/(6) - (6)/(x^2)

פתרון

מצא נקודות קיצון

מה עושים

פתור 1/6 - 6/x^2=0 למציאת x.

למה

נקודות הקיצון הן שם הנגזרת מתאפסת.

כפול x^2: x^2 / 6 = 6 x^2 = 36 x = ±6.

נוסחה / הצבה

1/6 - 6 / x^2 = 0x^2 = 36x = +6 או x = -61/6 - 6/x^2 = 0x = 6 או x = -6

אל תשכח לבדוק תחום הגדרה!

פתרון

בדוק סימני נגזרת סביב נקודות

מה עושים

בדוק תחומים (-∞, -6), (-6, 0), (0, 6) ו-(6, ∞) להצבת ערכי מבחן ולמצוא אם הנגזרת חיובית או שלילית.

למה

לגלות אם הפונקציה עולה או יורדת באזורים אלו.

השמת ערכים: f' > 0 באזורים x < -6 ו-x > 6, f' < 0 בין -6 ל-6.

ערך 0 לא שייך לתחום.

תשובה

סיכום תחומי עליה וירידה

מה עושים

קבע שהפונקציה עולה מחוץ לקטע [-6,6] ויורדת בתוכו.

למה

זיהוי מדויק של התנהגות הפונקציה על הציר.

הפונקציה עולה ב-(−∞,−6) וב-(6,∞), יורדת ב-(−6,0) וב-(0,6).

פתרונות כלליים

חישוב תחום הגדרה לפונקציה שברית: המכנה הוא 6 ו-x. 6 אינו משתנה, אך x לא יכול להיות אפס כי הוא במכנה בשבר 6/x. לכן תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל-x=0.
חישוב נגזרת של פונקציה שברית: נגזרת x/6 היא 1/6. נגזרת 6/x היא נגזרת 6*x^(-1) שהיא -6 * x^(-2) = -6 / x². נגזרת 1 היא 0. אז הנגזרת f'(x) = 1/6 - 6/x².
זיהוי תחומי עלייה וירידה של פונקציה: פתרון 1/6 - 6/x² > 0: 1/6 > 6/x² כפל ב-x² (x שונה מ-0): x² > 36 כלומר x > 6 או x < -6 אז הפונקציה עולה באזורים x > 6 ו-x < -6. הפונקציה יורדת בין -6 ל-6. תחומי עליה: (-∞, -6) ו-(6, ∞). תחומי ירידה: (-6, 0) ו-(0, 6).
ניתוח נקודות קיצון ודומיננטות פונקציה: f'(x) = 0 1/6 - 6/x²=0 6/x² = 1/6 כפל ב-x²: 6 = x²/6 כפול 6: 36 = x² קיבלנו x=6 ו-x=-6 נקודות קיצון. בדיקת סימן f' משמאל וימין: עבור x < -6 , f' > 0 עולה בין -6 ל 6 , f' < 0 יורד עבור x > 6 , f' > 0 עולה לכן, ב-x=-6 נקודת מקסימום וב-x=6 נקודת מינימום.

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

ו2. שאלון 803 - פתרון מלא קיץ 16 מועד א - תרגיל 4 - ניגזרת וחקירת פונקציה - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

חקירת פונקציה ונגזרת

מפת פתרון

למצוא תחום ההגדרה המדויק / הנגזרת של f(x) / ניידות ונקודות קיצון / תחומי עלייה וירידה של f

נתון 1

x שונה מ-0 (תחום הגדרה ראשוני)

הרעיון המרכזי

נגזרת x/6 היא 1/6; נגזרת 6/x היא -6/x^2; נגזרת 1 היא 0.

נבנה משוואה

פתור 1/6 - 6/x^2=0 למציאת x.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתונים ראשוניים

מצא את הנגזרת נכון

חשב את הנגזרת

מצא נקודות קיצון

בדוק סימני נגזרת סביב נקודות

סיכום תחומי עליה וירידה

פתרונות כלליים