בלמידה זו נזכיר וניישם נגזרות פונקציה, נפתור משוואות נגזרת לשם מציאת נקודות קיצון, נבחן תחום הגדרה וננתח על בסיס סימני הנגזרת עלייה וירידה של הפונקציה.
להכיר ולהשתמש בנגזרות בסיסיות של פונקציות חזקות ומנה
למצוא נקודות קיצון של פונקציה על ידי פתרון המשוואה נגזרת שווה אפס
לבדוק את תחום ההגדרה ולבחון את סימני נגזרת בסביבת הנקודות
לנתח את סוג הנקודה (מינימום/מקסימום) באמצעות הצבה בנגזרת בגבולות הסמוכים
תזכורת על נגזרות: הוגדרו נגזרות של ביטויים שונים, כמו נגזרת של מספר, מספר כפול x, מספר כפול x בחזקה, וחלקים עם פונקציות שורש ומנה. כמו כן, הוזכר תחום ההגדרה המתאים לכל פונקציה.
מציאת נקודות קיצון: הועלתה פונקציה y=0.5x^2+8/x, ונדרשה מציאת נקודות הקיצון שלה על ידי נגזרת, פתרון המשוואה, הצבה ובדיקת סימני הנגזרת בסביבה של הנקודות.
בדיקת סוגי נקודות: נסקרו נקודות מינימום ומקסימום אפשריות לפי סימני הנגזרת בשכנות נקודות הקיצון ותבניות העלייה והירידה בפונקציה.

תרגול קצר

חישוב נגזרת פונקציה נתונה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה y=0.5x^2+8/x. חשב את הנגזרת שלה y'.

נגזרותפונקציהבסיס

רמז: השתמש בכלל הנגזרת של חזקות ושל פונקציה מנה.

פתרון מלא

תשובה סופית: y' = x - 8/x^2

נגזרת 0.5x^2 היא 0.5 כפול 2 כפול x = x. נגזרת 8/x היא נגזרת 8 כפול x בחזקה -1 שהיא -8x^-2 = -8/x^2. לכן y' = x - 8/x^2.

מציאת נקודות קיצון

רמת קושי: בינוני

ממתין

פתח את המשוואה y' = 0 למציאת נקודות הקיצון של הפונקציה y=0.5x^2+8/x.

נקודות קיצוןפתרון משוואהאמצעי

רמז: כפל את שני האגפים ב-x בריבוע כדי להפוך את המכנה למכפיל.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = 2

y' = x - 8/x^2 = 0. כופלים ב-x^2: x^3 - 8 = 0. לכן x^3 = 8. הפתרון x = 2.

ניתוח סוגי נקודות קיצון

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בעזרת הצבה בנגזרת ערוך טבלה של סימני y' עבור ערכי x: 1, 2, 3 וכיצד מתקבל סוג נקודת הקיצון ב-x=2.

ניתוחנקודות קיצוןמתקדם

רמז: חשב את y' בכל נקודה והשווה את הסימן כדי לראות אם הנגזרת עוברת מ' + ' ל' - ' או להפך.

פתרון מלא

תשובה סופית: x=2 נקודת מינימום

y'(1) = 1 - 8 = -7 (שלילי), y'(2) = 2 - 8/4 = 2 - 2 = 0, y'(3) = 3 - 8/9 ≈ 3 - 0.89 = 2.11 (חיובי). הנגזרת עוברת משלילי לאפס לחיובי - נקודת מינימום ב-x=2.

בחינת נקודות מינימום ומקסימום

רמת קושי: בגרות

ממתין

בהינתן y=0.5x^2 + 8/x, מצא את נקודות הקיצון ובדוק איזו מהן היא נקודת מינימום.

בגרותנקודות קיצוןבחינה

רמז: חשב את הנגזרת y' ונציב ערכים סביב כדי לזהות את הסימנים.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת מינימום ב-x=2

y'=x - 8/x^2. פתרון y'=0 הוא x=2. עבור x=1 y' שלילי, עבור x=3 y' חיובי; לכן מעבר מנגזרת שלילית לחיובית מצביע על מינימום ב-x=2.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מציאת נקודות קיצון לפונקציה y=0.5x^2+8/x

כיצד למצוא נקודות קיצון על ידי נגזרת וניתוח סימנים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודות קיצון (x,y) / סוגי נקודות הקיצון
נתון 1
נתון 1
y = 0.5x בחזקת 2 + 8 חלקי x
נתון 2
תחום ההגדרה: x ≠ 0
רעיון
הרעיון המרכזי
מצא את הנגזרת, פתר את y'=0, הצב את הפתרונות בפונקציה, ובחן את סימני הנגזרת סביב נקודות אלו.
נוסחה
חשב את y' עבור x=1, 2, 3
y'(1) = 1 - 8 = -7y'(3) = 3 - 8/9 ≈ 2.11
משוואה
פתור את המשוואה y' = x - 8/x² = 0
פתור את המשוואה y' = x - 8/x² = 0
x - 8/x^2 = 0כפול x^2: x^3 - 8 = 0x^3 = 8x = 2x - 8 / x^2 = 0
פישוט
חישוב ערך y ב-x=2 בפונקציה y=0.5x²+8/x
חישוב ערך y ב-x=2 בפונקציה y=0.5x²+8/x
y = 0.5 * 2^2 + 8 / 2 = 6y = 0.5*(2)^2 + 8 / 2 = 6
תוצאה
מסיימים בתשובה
נקודת הקיצון היא מינימום ב-x=2, y=6

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת הפונקציה ותחום ההגדרה

מה עושים

נתונה הפונקציה y=0.5x²+8/x עם תחום x שונה מאפס

למה

חשוב לשמור על תחום בו הפונקציה מוגדרת כדי למנוע שגיאות בחישוב

הפונקציה היא שילוב של פונקציה חזקה ומנה, ולכן לא מוגדרת ב-x=0

בחירת שיטה

חשב את הנגזרת y'

מה עושים

נגזר כל אגף בנפרד: נגזרת 0.5x² ועוד נגזרת 8/x

למה

הנגזרת משמשת למציאת נקודות קיצון כאשר שווה ל-0

הנגזרת של 0.5x² היא x, נגזרת 8/x היא -8/x²

זכור כלל נגזרת פונקציית חזקה ומנה

בניית משוואה

קבע y' שווה 0 ופתור

מה עושים

פתור את המשוואה y' = x - 8/x² = 0

למה

פתרון המשוואה נותן נקודות קיצון לפי x

כופל ב-x²: x³ - 8 = 0 ⇒ x³=8 ⇒ x=2

נוסחה / הצבה

x - 8/x^2 = 0כפול x^2: x^3 - 8 = 0x^3 = 8x = 2x - 8 / x^2 = 0

פתרון

הצבת נקודות x בפונקציה y

מה עושים

חישוב ערך y ב-x=2 בפונקציה y=0.5x²+8/x

למה

כדי לקבל את נקודת הקיצון המלאה (x,y)

y(2) = 0.5*2² + 8/2 = 2 + 4 = 6

נוסחה / הצבה

y = 0.5 * 2^2 + 8 / 2 = 6y = 0.5*(2)^2 + 8 / 2 = 6y = 0.5 x 2^2 + (8)/(2) = 6

פתרון

בדיקת סימני הנגזרת סביב הנקודה

מה עושים

חשב את y' עבור x=1, 2, 3

למה

כדי לדעת אם הנקודה היא מינימום או מקסימום לפי שינוי הסימן

y'(1) = 1 - 8 = -7 (שלילי), y'(3) = 3 - 8/9 ≈ 2.11 (חיובי)

נוסחה / הצבה

y'(1) = 1 - 8 = -7y'(3) = 3 - 8/9 ≈ 2.11

סימן שלילי לפנ/**יה חיובי לאחר מצביע על מינימום

תשובה

קביעת סוג נקודת הקיצון

מה עושים

נקודת הקיצון היא מינימום ב-x=2, y=6

למה

שינוי סימן הנגזרת משלילי לחיובי מראה מינימום

לכן, נקודת המינימום היא ב-(2,6)

פתרונות כלליים

חישוב נגזרת פונקציה נתונה: נגזרת 0.5x^2 היא 0.5 כפול 2 כפול x = x. נגזרת 8/x היא נגזרת 8 כפול x בחזקה -1 שהיא -8x^-2 = -8/x^2. לכן y' = x - 8/x^2.
מציאת נקודות קיצון: y' = x - 8/x^2 = 0. כופלים ב-x^2: x^3 - 8 = 0. לכן x^3 = 8. הפתרון x = 2.
ניתוח סוגי נקודות קיצון: y'(1) = 1 - 8 = -7 (שלילי), y'(2) = 2 - 8/4 = 2 - 2 = 0, y'(3) = 3 - 8/9 ≈ 3 - 0.89 = 2.11 (חיובי). הנגזרת עוברת משלילי לאפס לחיובי - נקודת מינימום ב-x=2.
בחינת נקודות מינימום ומקסימום: y'=x - 8/x^2. פתרון y'=0 הוא x=2. עבור x=1 y' שלילי, עבור x=3 y' חיובי; לכן מעבר מנגזרת שלילית לחיובית מצביע על מינימום ב-x=2.

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

א4. שאלון 803 - פתרון מלא קיץ 18 תרגיל 5 - אינטגרלים שטח - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מציאת נקודות קיצון לפונקציה y=0.5x^2+8/x

מפת פתרון

למצוא נקודות קיצון (x,y) / סוגי נקודות הקיצון

נתון 1

תחום ההגדרה: x ≠ 0

הרעיון המרכזי

חשב את y' עבור x=1, 2, 3

פתור את המשוואה y' = x - 8/x² = 0

חישוב ערך y ב-x=2 בפונקציה y=0.5x²+8/x

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדרת הפונקציה ותחום ההגדרה

חשב את הנגזרת y'

קבע y' שווה 0 ופתור

הצבת נקודות x בפונקציה y

בדיקת סימני הנגזרת סביב הנקודה

קביעת סוג נקודת הקיצון

פתרונות כלליים