שיעור המתמקד בפתרון תרגיל מורכב במעגל הכולל חישוב רדיוס, שיפוע ישר, משוואת ישרים, ומציאת שטח משולש באמצעות נוסחאות גאומטריות ואלגבריות.
לזהות ולשרטט מעגל לפי נתונים גאומטריים.
חישוב רדיוס מעגל מהמרכז ונקודה על המעגל.
חישוב שיפוע של משיק למעגל וניצב לו.
שימוש במשפט עורשיק למציאת שיפועים ניצבים.
כתיבת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
חישוב שטח משולש באמצעות נוסחת שטח וחתכים במערכת צירים.
הכרת הנתונים ומעגל נקודותי: הצגה ושרטוט מעגל עם מרכז נתון וניתוח השאלה לגבי הרדיוס והמשיק.
חישוב רדיוס המעגל: חישוב המרחק בין המרכז לנקודה על המעגל כחישוב רדיוס המעגל.
חישוב שיפועים ומציאת נקודות עם משפט עורשיק ושיטת הדילוגים: מציאת שיפוע המשיק, שיפוע ניצב לו, ושימוש בשיטת הדילוגים למציאת נקודות נוספות על הישר.

תרגול קצר

חישוב רדיוס מעגל מנקודות

רמת קושי: קל

ממתין

נתון מרכז מעגל בנקודה (3,5) ונקודה על המעגל A(1,8). חשבו את רדיוס המעגל.

מעגלמרחקרדיוס

רמז: השתמשו בנוסחת המרחק בין שתי נקודות במישור הקרטזי.

פתרון מלא

תשובה סופית: רדיוס המעגל הוא שורש 13.

נחשב את המרחק בין המרכז (3,5) לנקודה A(1,8) לפי הנוסחה: R = שורש((3-1)^2 + (5-8)^2) = שורש(4 + 9) = שורש(13)

מציאת נקודת החיתוך עם הישר המשיק

רמת קושי: בינוני

ממתין

ישירות דרך נקודה B עם קואורדינטות (5,2) ישר מקביל לציר X. הישר המשיק למעגל בעל שיפוע 2/3. מצאו את נקודת החיתוך C בין הישר המשיק לישר המקביל לציר X.

ישרותחיתוךשיפוע

רמז: ה-Y של נקודה C שווה ל-Y של נקודה B (2). הציבו Y = 2 במשוואת המשיק כדי למצוא את X.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת החיתוך C היא (-8, 2).

הישר המשיק: y = (2/3)x + 7.333. מכיוון ש-C שייכת לישר המקביל לציר X דרך B, Y=2. נציב במשוואת המשיק: 2 = (2/3)x + 7.333. נפשט ונמצא את ערך x: (2/3)x = 2 - 7.333 = -5.333. x = (-5.333) * (3/2) = -8.

חישוב שטח משולש ישר זווית במערכת צירים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונות הנקודות A(1,8), B(5,2), ו-C(-8,2). חשבו את שטח המשולש ABC.

שטחמשולשמרחק

רמז: המשולש הוא ישר זווית בנקודה B. חשבו את אורכי הניצבים AB ו-BC ואז חשבו שטח בעזרת נוסחת שטח משולש ישר זווית.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח המשולש ABC הוא כ-47 יחידות מרובעות.

אורך AB = מרחק בין A ל-B = שורש((5-1)^2 + (2-8)^2) = שורש(16 + 36) = שורש(52). אורך BC = מרחק בין B ל-C = שורש((-8-5)^2 + (2-2)^2) = שורש(169 + 0) = 13. שטח = (AB * BC) / 2 = (שורש52 * 13) / 2 ≈ (7.21 * 13)/2 = 46.87. ניתן להעריך את השטח כ-47 יחידות מרובעות.

תרגיל משולב - ניתוח מעגל, שיפועים ושטחים

רמת קושי: בגרות

ממתין

בהינתן מעגל עם מרכז ב-(3,5) ונקודה A על המעגל ב-(1,8), ומשיק למעגל בנקודה A, חשבו: א. את רדיוס המעגל. ב. את השיפוע של המשיק בנקודה A. ג. את נקודת החיתוך C בין המשיק לישר המקביל לציר X שעובר דרך נקודת B (5,2). ד. את שטח המשולש ABC שבו B ו-C כפי שהוגדרו.

מעגלשיפועשטחבגרות

רמז: א. חשבו את רדיוס ככל מרחק בין המרכז לנקודה A. ב. השתמשו במשפט השרטוטים ובחישוב שיפוע ניצב. ג. הציבו y=2 במשוואת הישר המשיק כדי למצוא x. ד. השתמשו בנוסחאות מרחק ושטח משולש ישר זווית.

פתרון מלא

תשובה סופית: א. שורש 13 ב. שיפוע המשיק 2/3 ג. נקודת C (-8, 2) ד. שטח המשולש כ-47 יחידות מרובעות.

א. רדיוס = שורש 13. ב. שיפוע המשיק הוא ההופכי המנוגד לשיפוע מהמרכז לנקודה A, כלומר 2/3. ג. נקודת החיתוך C היא (-8, 2), על ידי הצבה y=2 במשוואת הישר המשיק. ד. שטח המשולש ABC מחושב באמצעות אורכי הניצבים AB ו-BC: כ-47 יחידות מרובעות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל: חישוב רדיוס ומשוואת המשיק במעגל

שלבי פתרון מפורטים לתרגיל חישוב רדיוס ומשוואת ישר משיק למעגל

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא רדיוס המעגל / שיפוע הישר המשיק בנקודה A / משוואת הישר המשיק בנקודה A
נתון 1
מרכז המעגל: (3,5)
נתון 2
נקודה על המעגל: A (1,8)
רעיון
הרעיון המרכזי
לחישוב הרדיוס נחשב את המרחק בין המרכז לנקודה A, ולאחר מכן נשתמש במשפט עזר לשיפוע המשיק ולהפוך לו
נוסחה
נשתמש בנוסחה y - y1 = m(x - x1) עם נקודה A ושיפוע המשיק.
y - 8 = (2/3)(x - 1)y - 8 = (2)/(3)(x - 1)
משוואה
נחשב שיפוע הקו המרכז ל-A.
נחשב שיפוע הקו המרכז ל-A.
m = (8 - 5) / (1 - 3) = 3 / (-2) = -3/2m = (y2 - y1) / (x2 - x1)m = (8 - 5)/(1 - 3)
פישוט
נקבע את נקודת המרכז (3,5) ונקודה A (1,8) על המעגל.
נקבע את נקודת המרכז (3,5) ונקודה A (1,8) על המעגל.
תוצאה
מסיימים בתשובה
נפתח ונפשט לקבלת y = 2/3 x + b.
y = (2/3)x + 22/3y = (2)/(3)x + (22)/(3)

פישוט משוואת הישר

מה עושים

נפתח ונפשט לקבלת y = 2/3 x + b.

למה

כדי לקבל משוואה מוכרת עם משוואת ישר במישור.

y = (2/3)x + (8 - 2/3) = (2/3)x + 22/3.

נוסחה / הצבה

y = (2/3)x + 22/3y = (2)/(3)x + (22)/(3)

תשובות ניתנות גם בצורה מפושטת עשרונית.

פתרונות כלליים

חישוב רדיוס מעגל מנקודות: נחשב את המרחק בין המרכז (3,5) לנקודה A(1,8) לפי הנוסחה: R = שורש((3-1)^2 + (5-8)^2) = שורש(4 + 9) = שורש(13)
מציאת נקודת החיתוך עם הישר המשיק: הישר המשיק: y = (2/3)x + 7.333. מכיוון ש-C שייכת לישר המקביל לציר X דרך B, Y=2. נציב במשוואת המשיק: 2 = (2/3)x + 7.333. נפשט ונמצא את ערך x: (2/3)x = 2 - 7.333 = -5.333. x = (-5.333) * (3/2) = -8.
חישוב שטח משולש ישר זווית במערכת צירים: אורך AB = מרחק בין A ל-B = שורש((5-1)^2 + (2-8)^2) = שורש(16 + 36) = שורש(52). אורך BC = מרחק בין B ל-C = שורש((-8-5)^2 + (2-2)^2) = שורש(169 + 0) = 13. שטח = (AB * BC) / 2 = (שורש52 * 13) / 2 ≈ (7.21 * 13)/2 = 46.87. ניתן להעריך את השטח כ-47 יחידות מרובעות.
תרגיל משולב - ניתוח מעגל, שיפועים ושטחים: א. רדיוס = שורש 13. ב. שיפוע המשיק הוא ההופכי המנוגד לשיפוע מהמרכז לנקודה A, כלומר 2/3. ג. נקודת החיתוך C היא (-8, 2), על ידי הצבה y=2 במשוואת הישר המשיק. ד. שטח המשולש ABC מחושב באמצעות אורכי הניצבים AB ו-BC: כ-47 יחידות מרובעות.

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

א3. שאלון 803 - פתרון מלא קיץ 18 תרגיל 4 - ניגזרת וחקירת פונקציה - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון תרגיל: חישוב רדיוס ומשוואת המשיק במעגל

מפת פתרון

למצוא רדיוס המעגל / שיפוע הישר המשיק בנקודה A / משוואת הישר המשיק בנקודה A

מרכז המעגל: (3,5)

נקודה על המעגל: A (1,8)

הרעיון המרכזי

נשתמש בנוסחה y - y1 = m(x - x1) עם נקודה A ושיפוע המשיק.

נחשב שיפוע הקו המרכז ל-A.

נקבע את נקודת המרכז (3,5) ונקודה A (1,8) על המעגל.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתוני מרכז ונקודה על המעגל

חישוב רדיוס המעגל

חישוב שיפוע קואורדינטות מרכז ו-A

שיפוע הישר המשיק

כתיבת משוואת הישר המשיק

פישוט משוואת הישר

פתרונות כלליים