הסבר ופתרון לתרגיל מקסימום אורך קטע בין שתי נקודות על שני גרפים, בעזרת בניית פונקציית מטרה, גזירה ומציאת קיצון.
הבנת מציאת פונקציית מטרה במצבים גיאומטריים
למדוד ולחשב מרחק אנכי בין נקודות על גרפים שונים
לגזור פונקציה מורכבת הכוללת שורשים
לחפש נקודות קיצון על פונקציה ולבדוק מקסימום או מינימום
לחשב ערכי משתנים ולאשר תוצאה נומינלית
הגדרת הבעיה: מתואר קטע AB, כאשר נקודות A ו-B על שני גרפים שונים. מחפשים את אורך הקטע AB מקסימלי על תחום נתון.
בניית פונקציית המטרה: מפענחים את הביטוי למרחק אנכי בין הנקודות על הגרפים, כלומר הפרש ה-y-ים משמעותי.
גזירה ומציאת נקודות קיצון: לוקחים נגזרת של פונקציית המטרה ומציבים שווה לאפס כדי למצוא נקודות שם האורך מקסימלי או מינימלי.
בדיקת מקסימום: על ידי בדיקת ערכים בצמוד לנקודות הקיצון, מאשרים האם הערך מדויק למקסימום הרצוי.

תרגול קצר

מציאת פונקצית מטרה לאורך קטע AB

רמת קושי: קל

ממתין

נתונים שני גרפים שונים ונקודות A ו-B המתאימות לגרפים. כתבו את פונקציית המטרה המתארת את אורך הקטע AB כמספר תלוי x.

פונקציית מטרהגרפיםמרחק אנכי

רמז: המשמעות של המרחק האנכי בין שתי נקודות היא הפרש בין ערכי ה-y המתאימים לכל x.

פתרון מלא

תשובה סופית: AB = y1(x) - y2(x)

נסמן את נקודת A על הגרף העליון כ-(x, y1) ואת נקודת B על הגרף התחתון כ-(x, y2). אז אורך הקטע AB הוא |y1 - y2| ופונקציית המטרה היא: AB = y1(x) - y2(x).

מציאת נקודת הקיצון של פונקציית האורך

רמת קושי: בינוני

ממתין

גזור את פונקציית המטרה שמצאת ופתור את המשוואה שווה לאפס כדי למצוא את נקודת ה-x שבה האורך AB מקסימלי.

גזירהנקודת קיצוןפונקציה עם שורש

רמז: השתמש בכלל הנגזרת לשורש והצמד אותו לנוסחה שלך.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = k^2/4

אם פונקציית המטרה היא f(x) = k * sqrt(x) - x, הנגזרת היא f'(x) = k/(2*sqrt(x)) - 1. שווה לאפס ומצא את x: k/(2*sqrt(x)) = 1 => sqrt(x) = k/2 => x = k^2/4.

אורך הקטע המקסימלי בין נקודות על גרפים

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתון: שתי נקודות A ו-B על שני גרפים שונים. הוכח כי פונקציית האורך AB מקסימלית ב-x מסוים, ומצא את אורך הקטע באותו x.

בחינת בגרותקיצון פונקציהאנליטית

רמז: הגדר פונקציית מטרה לפער y, גזור, פתר את המשוואה ומצא האם התוצאה היא מקסימום.

פתרון מלא

תשובה סופית: הנקודה המקסימלית היא בערך x=0.25, אורך הקטע הוא כ-0.2

1. נסמן את נקודות A ו-B כ-(x,y1(x)) ו-(x,y2(x)). 2. פונקציית האורך AB = y1(x) - y2(x). 3. נגזור ונמצא נקודות קיצון בפתרון f'(x)=0. 4. נבדוק האם הנקודה היא מקסימום. 5. נציב את x במקור פונקציית האורך ומחשב את הערך.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל אורך מקסימלי בין שתי נקודות על גרפים

תהליך מציאת מרחק AB מקסימלי

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך ה-x שמקצוע את אורך הקטע AB / האורך המקסימלי של הקטע AB
נתון 1
נקודות A ו-B על שני גרפים שונים המתוארים כפונקציות y1(x) ו-y2(x)
נתון 2
תחום x הנתון בין נקודות החיתוך של הגרפים
רעיון
הרעיון המרכזי
לבנות פונקציית מטרה המתארת את אורך הקטע כחיוב תלוי x, לגזור, למצוא נקודת קיצון ולחשב את האורך.
נוסחה
לכתוב את אורך הקטע AB כשווה להפרש בין y של נקודה על הגרף העליון לנקודה
AB = y1(x) - y2(x)AB = y_1(x) - y_2(x)
משוואה
שווה את הנגזרת לאפס ופתור למשתנה x.
שווה את הנגזרת לאפס ופתור למשתנה x.
k divided by 2 root x equals 1k/(2*sqrt(x)) = 1(k)/(2x)=1
פישוט
פתור את המשוואה וקבל את x = (k^2)/4.
פתור את המשוואה וקבל את x = (k^2)/4.
x = k squared divided by 4x = (k^2)/4
תוצאה
מסיימים בתשובה
הציב את x בחישוב המרחק AB, כלומר חישוב y1(x) - y2(x).

פתרונות כלליים

מציאת פונקצית מטרה לאורך קטע AB: נסמן את נקודת A על הגרף העליון כ-(x, y1) ואת נקודת B על הגרף התחתון כ-(x, y2). אז אורך הקטע AB הוא |y1 - y2| ופונקציית המטרה היא: AB = y1(x) - y2(x).
מציאת נקודת הקיצון של פונקציית האורך: אם פונקציית המטרה היא f(x) = k * sqrt(x) - x, הנגזרת היא f'(x) = k/(2*sqrt(x)) - 1. שווה לאפס ומצא את x: k/(2*sqrt(x)) = 1 => sqrt(x) = k/2 => x = k^2/4.
אורך הקטע המקסימלי בין נקודות על גרפים: 1. נסמן את נקודות A ו-B כ-(x,y1(x)) ו-(x,y2(x)). 2. פונקציית האורך AB = y1(x) - y2(x). 3. נגזור ונמצא נקודות קיצון בפתרון f'(x)=0. 4. נבדוק האם הנקודה היא מקסימום. 5. נציב את x במקור פונקציית האורך ומחשב את הערך.

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

א2. שאלון 803 - פתרון מלא קיץ 18 תרגיל 3 - אנליטית המעגל - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון תרגיל אורך מקסימלי בין שתי נקודות על גרפים

מפת פתרון

למצוא ערך ה-x שמקצוע את אורך הקטע AB / האורך המקסימלי של הקטע AB

נקודות A ו-B על שני גרפים שונים המתוארים כפונקציות y1(x) ו-y2(x)

תחום x הנתון בין נקודות החיתוך של הגרפים

הרעיון המרכזי

לכתוב את אורך הקטע AB כשווה להפרש בין y של נקודה על הגרף העליון לנקודה

שווה את הנגזרת לאפס ופתור למשתנה x.

פתור את המשוואה וקבל את x = (k^2)/4.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדרת פונקציית המטרה

גזירת פונקציית המטרה

פתירת המשוואה לנקודת קיצון

חשב את ערך x המקסימלי

חשב את האורך המקסימלי של הקטע AB

פתרונות כלליים