בשיעור זה נלמדים כללי הגזירה לפונקציות שונות, חקר פונקציה הכולל מציאת שיפוע, נקודות קיצון, ותחומי עלייה וירידה תוך הקפדה על תחומי הגדרה.
להבין את חוקי הגזירה לפונקציות עם חזקה, שורשים ומכנים
לנתח פונקציות לגבי נקודות קיצון באמצעות נגזרת ראשונה
למצוא תחומי עלייה וירידה של פונקציה באמצעות בדיקת סימני נגזרת
להכיר מדוע תחומי הגדרה הם חשובים בחקר פונקציה
חוקי גזירה בסיסיים: הצגה של חוקי הגזירה לפונקציות שונים כולל מספרים, חזקות, שורש, וחילוק.
חקר הפונקציה - מציאת נקודות ושיפוע: הגדרת תחום ההגדרה, חישוב השיפוע בנקודה, קביעת המשוואה הישרה בנקודה.
חקר נקודות קיצון: בדיקת פתרון של נגזרת שווה אפס לקבלת נקודות קיצון, הסבר מתי אין נקודות קיצון
תחומי עלייה וירידה: בדיקת סימני נגזרת בנקודות בתחום ההגדרה כדי לדעת תחומי עלייה וירידה

תרגול קצר

גזירת פונקציה עם שורש וחזקה

רמת קושי: קל

ממתין

גזור את הפונקציה f(x) = 3 חלקי 2 שורש x.

נגזרתשורשיםחזקה

רמז: זכור שורש x הוא x בחזקת חצי והשתמש בכלל החזקה של נגזרת.

פתרון מלא

תשובה סופית: f'(x) = -3/4 * x^(-3/2)

נמיר את הפונקציה ל- f(x) = 3 / (2 * x^(1/2)) = (3/2) * x^(-1/2). נגזור: f'(x) = (3/2) * (-1/2) * x^(-3/2) = -3/4 * x^(-3/2).

מציאת שיפוע בנקודה

רמת קושי: בינוני

ממתין

מצא את השיפוע של הפונקציה f(x) = 3 חלקי 2 שורש x בנקודה x=4.

נגזרתשיפועהצבה

רמז: חשב את הנגזרת ואז הצב x=4.

פתרון מלא

תשובה סופית: שיפוע בנקודה x = 4 הוא -3/32

כפי שנמצא, f'(x) = -3/4 * x^(-3/2). הצב x=4: f'(4) = -3/4 * (4)^(-3/2) = -3/4 * (1/8) = -3/32.

חקירת הפונקציה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

לפי הנגזרת f'(x) = 3 חלקי 2 שורש x, פרט את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) = 3 חלקי 2 שורש x.

חקירת פונקציהתחומי עלייה וירידהנגזרת

רמז: הצבת ערכים חיוביים בתוך תחום ההגדרה, ואל תשכח לבדוק סימני נגזרת.

פתרון מלא

תשובה סופית: הפונקציה עולה תמיד בתחום ההגדרה x > 0

תחום ההגדרה הוא x > 0. נבדוק כמה ערכים: x=1, f'(1) = 3/2 >0; x=4, f'(4) = 3/4 >0. הנגזרת חיובית בכל התחום, לכן הפונקציה עולה כל הזמן בתחום שלה.

מציאת נקודות קיצון ותחומים

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = 3 חלקי 2 שורש x. האם קיימות נקודות קיצון? הגדר את תחומי העלייה והירידה.

נקודות קיצוןתחומי עלייה וירידהבגרות

רמז: פתור f'(x) = 0 ונתבונן בתוצאה. בדוק סימני נגזרת.

פתרון מלא

תשובה סופית: אין נקודות קיצון. הפונקציה עולה תמיד עבורה x>0.

פתור: f'(x) = 3 חלקי 2 שורש x = 0. אין פתרון ממשי ולכן אין נקודות קיצון. עם זאת, בודקים סימני נגזרת בטווח x>0, וגילינו שהנגזרת חיובית תמיד. לכן, הפונקציה עולה תמיד בתחום ההגדרה.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון מתקדם לחקירת הפונקציה f(x) = 3 חלקי 2 שורש x

איך למצוא נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודות קיצון (אם יש) / תחומי עלייה וירידה
נתון 1
נתון 1
f(x) = 3 חלקי 2 שורש x
נתון 2
נתון 2
תחום ההגדרה: x > 0
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את הנגזרת, נמצא פתרון f'(x)=0 ונבדוק סימני נגזרת בתחומים הרלוונטיים.
נוסחה
נמיר ונחשב את הנגזרת של הפונקציה עם שורש.
f'(x) = -3/4 times x to the power -3/2f'(x) = -3/4 x^(-3/2)f'(x) = -(3)/(4) x^(-(3)/(2))
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
נבדוק למתי הנגזרת שווה לאפס.
נבדוק למתי הנגזרת שווה לאפס.
-3/4 times x to power -3/2 equals zero-3/4 x^(-3/2) = 0
תוצאה
מסיימים בתשובה
הפונקציה עולה כל הזמן, ואין נקודות קיצון.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת הפונקציה והתחום

מה עושים

פונקציה נתונה ותחום ההגדרה x>0.

למה

חשוב להגדיר תחומי הגדרה לפני חקר הפונקציה.

f(x) = 3 חלקי 2 שורש x; התחום הוא כל x גדול מ-0.

זכור לבדוק תחומים שבהם הפונקציה מוגדרת

בחירת שיטה

מציאת נקודות קיצון

מה עושים

נחשב את הנגזרת ונמצא איפה היא שווה לאפס.

למה

נקודות קיצון הן נקודות בהן הנגזרת מתאפסת.

נגדיר f'(x) ונפתור f'(x) = 0.

נוסחה / הצבה

f'(x) = -3/4 times x to the power -3/2f'(x) = - 3/4 x^(-3/2)f'(x) = -(3)/(4) x^(-(3)/(2))

היזהר בתחומי הגדרה כדי לא לחפש פתרונות לא נכונים

בניית משוואה

חישוב הנגזרת המדויקת

מה עושים

נמיר ונחשב את הנגזרת של הפונקציה עם שורש.

למה

כדי לבצע חישובים נוספים נחוץ ביטוי ברור לנגזרת.

f(x) = (3/2) * x^(-1/2), לכן f'(x) = (3/2) * (-1/2) * x^(-3/2) = -3/4 * x^(-3/2).

נוסחה / הצבה

f'(x) = -3/4 times x to the power -3/2f'(x) = -3/4 x^(-3/2)f'(x) = -(3)/(4) x^(-(3)/(2))

נגזרות של פונקציות חזקה הן הכרחיות לחישוב שיפועים

פתרון

בדיקת פתרון f'(x) = 0

מה עושים

נבדוק למתי הנגזרת שווה לאפס.

למה

נקודות שיפוע אפס הן נקודות קיצון פוטנציאליות.

f'(x) = -3/4 * x^{-3/2} שווה 0 רק אם המונה 0, אך 3/4 ≠ 0 ולכן אין פתרון אמיתי.

נוסחה / הצבה

-3/4 times x to power -3/2 equals zero-3/4 x^(-3/2) = 0-(3)/(4) x^(-(3)/(2)) = 0

מכאן שמסקנה שאין נקודות קיצון

פתרון

בדיקת סימני נגזרת בתחומי ההגדרה

מה עושים

ממירים ערכי בדיקה בתחומי x ונבדוק סימני נגזרת

למה

הנגזרת מראה האם הפונקציה עולה או יורדת בתחום

למשל עבור x=1, f'(1) = שלילי או חיובי? עבור x=4, f'(4) = ?

ערכים חיוביים מצביעים על עלייה, שליליים על ירידה

תשובה

מסקנות מהחקר

מה עושים

הפונקציה עולה כל הזמן, ואין נקודות קיצון.

למה

הנגזרת חיובית לאורך תחום ההגדרה ואינה מתאפסת.

f(x) עולה תמיד בתחום x>0, ללא נקודות קיצון.

אל תשכח לשקול תחומי הגדרה בפעולות החישוב

פתרונות כלליים

גזירת פונקציה עם שורש וחזקה: נמיר את הפונקציה ל- f(x) = 3 / (2 * x^(1/2)) = (3/2) * x^(-1/2). נגזור: f'(x) = (3/2) * (-1/2) * x^(-3/2) = -3/4 * x^(-3/2).
מציאת שיפוע בנקודה: כפי שנמצא, f'(x) = -3/4 * x^(-3/2). הצב x=4: f'(4) = -3/4 * (4)^(-3/2) = -3/4 * (1/8) = -3/32.
חקירת הפונקציה: תחום ההגדרה הוא x > 0. נבדוק כמה ערכים: x=1, f'(1) = 3/2 >0; x=4, f'(4) = 3/4 >0. הנגזרת חיובית בכל התחום, לכן הפונקציה עולה כל הזמן בתחום שלה.
מציאת נקודות קיצון ותחומים: פתור: f'(x) = 3 חלקי 2 שורש x = 0. אין פתרון ממשי ולכן אין נקודות קיצון. עם זאת, בודקים סימני נגזרת בטווח x>0, וגילינו שהנגזרת חיובית תמיד. לכן, הפונקציה עולה תמיד בתחום ההגדרה.

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

ב3. שאלון 803 - פתרון מלא קיץ 18 מועד א - תרגיל 4 - ניגזרת וחקירת פונקציה - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון מתקדם לחקירת הפונקציה f(x) = 3 חלקי 2 שורש x

מפת פתרון

למצוא נקודות קיצון (אם יש) / תחומי עלייה וירידה

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

נמיר ונחשב את הנגזרת של הפונקציה עם שורש.

נבנה משוואה

נבדוק למתי הנגזרת שווה לאפס.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדרת הפונקציה והתחום

מציאת נקודות קיצון

חישוב הנגזרת המדויקת

בדיקת פתרון f'(x) = 0

בדיקת סימני נגזרת בתחומי ההגדרה

מסקנות מהחקר

פתרונות כלליים