השיעור עוסק בחזרות על חישוב אינטגרלים של פונקציות פולינומיות, חישוב נקודות חיתוך, מציאת נקודות קיצון, ויישום אינטגרלים לחישוב שטח בין עקומות.
להכיר וליישם חוקי האינטגרציה לפונקציות מחזקה
למצוא נקודות חיתוך של פונקציה עם ציר ה-Y
למצוא נקודות קיצון על ידי נגזרת ראשונה
לחלק שטח בין עקומות לחשבון של אינטגרל
להשתמש במחשבון מדעי לחישוב ערכי אינטגרלים מספריים
אינטגרלים ופונקציות פולינומיות: תזכורת על חישוב אינטגרלים של פונקציות מספריות ופונקציות מחזקה.
חיתוך הפונקציה עם הצירים: מציאת נקודת חיתוך עם ציר ה-Y על ידי הצבת x=0
נקודות קיצון ונגזרות: מציאת נקודות קיצון על ידי חישוב וניהול משוואת הנגזרת שווה לאפס
חישוב השטח באמצעות אינטגרל: חישוב השטח בין פונקציות באמצעות אינטגרל מהחסם השמאלי לימני של ההפרש בין הפונקציות

תרגול קצר

אינטגרל פונקציה פולינומית פשוטה

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל של הפונקציה f(x) = 3x^2 + 2x - 1 בין x=0 ל-x=2.

אינטגרלפונקציה פולינומית

רמז: אינטגרל מפונקציית חזקות הוא חזקות בחזקה +1 חלקי החזקה החדשה, עבור כל איבר בנפרד.

פתרון מלא

תשובה סופית: 8 + 4 - 2 - (0) = 10

נחשב אינטגרל של כל איבר ונעשה חישוב גבולות. אינטגרל של 3x^2 הוא x^3 חלקי 1 = x^3. אינטגרל של 2x הוא x^2. אינטגרל של -1 הוא -x. נחשב בערכים 2 ו-0 ונחסר.

מציאת נקודות קיצון ונקודת חיתוך

רמת קושי: בינוני

ממתין

כיצד למצוא את נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) = 2x^3 − 9x^2 + 12x − 6?

נגזרתנקודות קיצון

רמז: נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס כדי למצוא נקודות מתאימות.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות הקיצון הן ב-x=1 וב-x=2

נגזור: f'(x) = 6x^2 − 18x + 12. נחפש פתרונות למשוואה 6x^2 − 18x + 12 = 0. נחלק ב-6: x^2 − 3x + 2 = 0. הפתרונות הם x=1 ו-x=2.

חישוב שטח בין פונקציה לציר X באמצעות אינטגרל

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את השטח בין העקומה y=2x^3−9x^2+12x לבין הישר y=−6 בין x=1 ל-x=2.

אינטגרלשטח בין עקומות

רמז: חשב את האינטגרל מההפרש בין הפונקציה לישר על הפונקציה התחתונה בין הגבולות.

פתרון מלא

תשובה סופית: 4.5

נמצא את הפונקציה למעלה פחות הפונקציה למטה: (2x^3−9x^2+12x)−(−6) = 2x^3−9x^2+12x+6. נחשב אינטגרל בין 1 ל-2. ∫_1^2 (2x^3−9x^2+12x+6) dx = [2x^4/4 − 9x^3/3 + 12x^2/2 + 6x]_1^2 = [x^4/2 − 3x^3 + 6x^2 + 6x]_1^2. נחשב ערכים ונחסר, נקבל את השטח = 4.5.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון חישוב שטח בין פונקציה וקו ישר

תרשים זרימה לפתרון תרגיל אינטגרלים – חישוב שטח

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא שטח בין הפונקציה לבין הישר בתחום הנתון
נתון 1
נתון 1
פונקציה y=2x^3−9x^2+12x
נתון 2
נתון 2
קו ישר y=−6
נתון 3
נתון 3
תחום אינטגרציה x=1 עד x=2
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את האינטגרל של ההפרש בין הפונקציה לישר מהגבול התחתון לעליון.
נוסחה
נגדיר אינטגרל של הביטוי בין x=1 ל-x=2
int from 1 to 2 of (2x^3 - 9x^2 + 12x + 6) dx_1^2 (2x^(3) - 9x^(2) + 12x + 6) dx
משוואה
פישוט הביטוי למינוס מינוס
פישוט הביטוי למינוס מינוס
פישוט
מחשב אינטגרל של כל איבר בנפרד עם גבולות
מחשב אינטגרל של כל איבר בנפרד עם גבולות
2 x^4 /4 - 9 x^3 /3 + 12 x^2 /2 + 6 x

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתון פונקציה וקו ישר

מה עושים

נתונים הפונקציה y=2x^3−9x^2+12x והקו הישר y=−6 בין x=1 ל-2

למה

נדרש לחשב שטח בין הקו לפונקציה בתחום זה.

בחירת שיטה

נמצא הפרש הפונקציות

מה עושים

מחשבים y הפונקציה מינוס y הקו ישר

למה

שטח מוגדר כאינטגרל של ההפרש בין שתי הפונקציות

(2x בשלישית פחות 9x בריבוע ועוד 12x) פחות (−6)

בניית משוואה

פישוט הביטוי לאינטגרל

מה עושים

פישוט הביטוי למינוס מינוס

למה

כדי לבצע אינטגרציה נוח לפשט את הביטוי

2x^3 - 9x^2 + 12x + 6

בניית משוואה

כתיבת האינטגרל

מה עושים

נגדיר אינטגרל של הביטוי בין x=1 ל-x=2

למה

חישוב השטח נעשה באמצעות אינטגרל מוגדר

∫_1^2 (2x^3−9x^2+12x+6) dx

נוסחה / הצבה

int from 1 to 2 of (2x^3 - 9x^2 + 12x + 6) dx_1^2 (2x^(3) - 9x^(2) + 12x + 6) dx

פתרון

האינטגרציה של הפונקציה

מה עושים

מחשב אינטגרל של כל איבר בנפרד עם גבולות

למה

לפי חוקי אינטגרציה של פונקציות חזקתיות

2x^4/4 - 9x^3/3 + 12x^2/2 + 6x מתחום 1 עד 2

נוסחה / הצבה

2 x^4 /4 - 9 x^3 /3 + 12 x^2 /2 + 6 x

פתרון

הצבת גבולות וחישוב התוצאה

מה עושים

מחשב ערך האינטגרל ב-x=2 ומ- x=1 ואז מחסר

למה

חישוב הערך המספרי של השטח בין הגבולות

(8 - 24 + 24 + 12) - (0.5 -3 + 6 + 6) = 20 - 15.5 = 4.5

פתרונות כלליים

אינטגרל פונקציה פולינומית פשוטה: נחשב אינטגרל של כל איבר ונעשה חישוב גבולות. אינטגרל של 3x^2 הוא x^3 חלקי 1 = x^3. אינטגרל של 2x הוא x^2. אינטגרל של -1 הוא -x. נחשב בערכים 2 ו-0 ונחסר.
מציאת נקודות קיצון ונקודת חיתוך: נגזור: f'(x) = 6x^2 − 18x + 12. נחפש פתרונות למשוואה 6x^2 − 18x + 12 = 0. נחלק ב-6: x^2 − 3x + 2 = 0. הפתרונות הם x=1 ו-x=2.
חישוב שטח בין פונקציה לציר X באמצעות אינטגרל: נמצא את הפונקציה למעלה פחות הפונקציה למטה: (2x^3−9x^2+12x)−(−6) = 2x^3−9x^2+12x+6. נחשב אינטגרל בין 1 ל-2. ∫_1^2 (2x^3−9x^2+12x+6) dx = [2x^4/4 − 9x^3/3 + 12x^2/2 + 6x]_1^2 = [x^4/2 − 3x^3 + 6x^2 + 6x]_1^2. נחשב ערכים ונחסר, נקבל את השטח = 4.5.

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

ב4. שאלון 803 - פתרון מלא קיץ 18 מועד א - תרגיל 5 - אינטגרלים שטח - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון חישוב שטח בין פונקציה וקו ישר

מפת פתרון

למצוא שטח בין הפונקציה לבין הישר בתחום הנתון

נתון 1

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

נגדיר אינטגרל של הביטוי בין x=1 ל-x=2

פישוט הביטוי למינוס מינוס

מחשב אינטגרל של כל איבר בנפרד עם גבולות

פתרון מפורט

נתון פונקציה וקו ישר

נמצא הפרש הפונקציות

פישוט הביטוי לאינטגרל

כתיבת האינטגרל

האינטגרציה של הפונקציה

הצבת גבולות וחישוב התוצאה

פתרונות כלליים