בשיעור זה נלמד איך לפתור בעיית קיצון למציאת נקודת מינימום להיקף מלבן, על פי ביטוי תלוי X, באמצעות גזירת פונקציה ובדיקת תנאי מינימום.
להבין את הגדרת בעיית קיצון בהקשר של היקף מלבן
להכיר את דרך יצירת ביטוי היקף כפונקציה של משתנה אחד
לחשב נגזרת של פונקציה עם שורש
לפתור משוואת נגזרת שווה לאפס למציאת נקודת הקיצון
לבדוק אם הנקודה היא מינימום באמצעות הצבה בערכים בסביבה
הגדרת הבעיה: נגדיר את פונקציית ההיקף של מלבן כתלות ב-X, כאשר אחד מממדי המלבן הוא X והשני הוא 10 פחות שורש X.
חישוב הנגזרת ומציאת נקודת מינימום: נגזור את פונקציית ההיקף ונשווה לאפס כדי למצוא את נקודת ה-X בה ההיקף הוא קיצוני. לאחר מכן נבדוק אם היא נקודת מינימום.
בדיקת מינימום: נציב ערכים קטנים וגדולים יותר מאשר נקודת האיזון שהתקבלה ונבדוק את סימן הנגזרת כדי לוודא שהפונקציה יורדת משמאל ועולה מימין, להעיד על מינימום.

תרגול קצר

מציאת היקף מינימלי של מלבן כפונקציה של X

רמת קושי: קל

ממתין

נתון מלבן שממד אחד שלו הוא x, וממד שני הוא 10 פחות שורש x. מצא את הערך של x שיעניק למלבן היקף מינימלי.

קיצוןהיקףנגזרתשורשבעיית קיצון

רמז: כתוב את היקף המלבן כפונקציה של x, נגזר, פתר משוואה ונבדוק מינימום.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = 0.25

היקף המלבן הוא P = 2x + 2(10 - √x) = 2x + 20 - 2√x. נגזור: P' = 2 - (2 * 1)/(2√x) = 2 - 1/√x. נמצא נקודה קריטית: 2 - 1/√x = 0 => 1/√x = 2 => √x = 1/2 => x = 1/4 = 0.25. נבדוק ערכים בסביבה נקבל מינימום.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון בעיית קיצון - היקף מינימלי של מלבן

חשוב לעבור צעד צעד בכל שלב לפתירת בעיית קיצון

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא הערך של x הממזער את היקף המלבן
נתון 1
מלבן עם ממדים x ו-10 פחות שורש של x
רעיון
הרעיון המרכזי
נגדיר את פונקציית ההיקף, נגזור אותה, נמצא נקודות קריטיות ונבדוק את נקודת המינימום.
נוסחה
הצג את היקף המלבן כפונקציה המתוארת באורך ובגובה
P = 2x + 2 (10 - sqrt(x))P = 2x + 2(10 - √x)P = 2x + 2(10 - x)
משוואה
השווה את הנגזרת לאפס ופתור עבור x
השווה את הנגזרת לאפס ופתור עבור x
2 - 1 / sqrt(x) = 02 - 1/√x = 02 - (1)/(x) = 0
פישוט
הסק ש-x שווה 0.25
הסק ש-x שווה 0.25
תוצאה
מסיימים בתשובה
בדוק את סימן הנגזרת סביב x = 0.25
בדיקה
בדיקה קצרה
- הבנת ההגדרה והגדרת הפונקציה
- חישוב נגזרת נכון של פונקציית שורש
- זהירות: שגיאה בחישוב נגזרת של שורש X

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

היקף המלבן כפונקציה של x

מה עושים

הצג את היקף המלבן כפונקציה המתוארת באורך ובגובה

למה

לפשט כתלות במשתנה אחד וליצור ביטוי פונקציונלי נוח

היקף = 2x + 2(10 - שורש x)

נוסחה / הצבה

P = 2x + 2 (10 - sqrt(x))P = 2x + 2(10 - √x)P = 2x + 2(10 - x)

זכור שצדדים בצדדים שמטפלים בשורש

בחירת שיטה

מצא נקודת קיצון על ידי גזירה

מה עושים

חשב נגזרת פונקציית ההיקף ופתור P' = 0

למה

נקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס הן נקודות קיצון פוטנציאליות

נחשב נגזרת ונשווה לאפס

נוסחה / הצבה

P' = 2 - 1 / sqrt(x)P' = 2 - 1 / √xP' = 2 - (1)/(x)

הקפד על חישוב הנגזרת של שורש x

בניית משוואה

פתור את משוואת הנגזרת שווה לאפס

מה עושים

השווה את הנגזרת לאפס ופתור עבור x

למה

כדי למצוא נקודת קיצון שיש בה פתרון מתאים

2 - 1 / √x = 0 => √x = 1/2 => x = 1/4

נוסחה / הצבה

2 - 1 / sqrt(x) = 02 - 1/√x = 02 - (1)/(x) = 0

פנה לנוסחאות לפתרון שורשים ונקודות קריטיות

פתרון

חשב את x הממזער את ההיקף

מה עושים

הסק ש-x שווה 0.25

למה

זוהי נקודת הקיצון שעלינו לבדוק

x = 0.25

חשב ערך מספרי מדויק

בדיקה

ודא שזו נקודת מינימום

מה עושים

בדוק את סימן הנגזרת סביב x = 0.25

למה

כדי לוודא שנקודה זו היא מינימום ולא מקסימום או נקודת פיתול

P'(0.24) < 0, P'(0.26) > 0 => מינימום

נבחן ערכים קצרים לפני ואחרי הנקודה

פתרונות כלליים

מציאת היקף מינימלי של מלבן כפונקציה של X: היקף המלבן הוא P = 2x + 2(10 - √x) = 2x + 20 - 2√x. נגזור: P' = 2 - (2 * 1)/(2√x) = 2 - 1/√x. נמצא נקודה קריטית: 2 - 1/√x = 0 => 1/√x = 2 => √x = 1/2 => x = 1/4 = 0.25. נבדוק ערכים בסביבה נקבל מינימום.

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

ג5. שאלון 803 - פתרון מלא חורף 18 - תרגיל 6 - בעית קיצון - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון בעיית קיצון - היקף מינימלי של מלבן

מפת פתרון

למצוא הערך של x הממזער את היקף המלבן

מלבן עם ממדים x ו-10 פחות שורש של x

הרעיון המרכזי

הצג את היקף המלבן כפונקציה המתוארת באורך ובגובה

השווה את הנגזרת לאפס ופתור עבור x

הסק ש-x שווה 0.25

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

היקף המלבן כפונקציה של x

מצא נקודת קיצון על ידי גזירה

פתור את משוואת הנגזרת שווה לאפס

חשב את x הממזער את ההיקף

ודא שזו נקודת מינימום

פתרונות כלליים