בשיעור זה נלמד כיצד לפתור בעיות במעגלים במערכת צירים עם משוואת המעגל, נזהה נקודות חיתוך עם צירי ה-XY, נמצא משוואת משיקים ונחשב היקפים בגיאומטריה אנליטית.
לזהות מרכז ורדיוס של מעגל ממשוואה
למצוא נקודות חיתוך של המעגל עם צירי ה-XY
למצוא נקודות על המעגל באמצעות הצבה במשוואת המעגל
לחשב שיפועים במשיק למעגל
למצוא משוואת ישר משיק למעגל בנקודה נתונה
לחלק בעיות לגזרים ולהשתמש במרחקים גיאומטריים
לחשב היקף צורה על פי נקודות במערכת הצירים
משוואת המעגל: ניתוח משוואת המעגל ומציאת מרכז ורדיוס.
חיתוך המעגל עם ציר ה-X: מציאת נקודות החיתוך עם ציר ה-X על ידי הצבת Y=0.

תרגול קצר

מציאת מרכז ורדיוס מהמשוואה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה משוואת המעגל (X-3)² + Y² = 25. מצא את מרכז המעגל ואת הרדיוס.

מעגלמרכזרדיוס

רמז: המרכז הוא הנקודה שמופיעה בנוסחה לפני ה-X וה-Y באגפים החיוביים, והרדיוס הוא השורש של המספר בצד ימין.

פתרון מלא

תשובה סופית: מרכז (3,0), רדיוס 5

המרכז הוא (3,0) כי זה משתנה ההזזה במשוואת המעגל. הרדיוס הוא השורש של 25, כלומר 5.

חישוב נקודות חיתוך עם ציר ה-X

רמת קושי: בינוני

ממתין

עבור המעגל הנתון במשוואה (X-3)² + Y² = 25, חישב את נקודות החיתוך שלו עם ציר ה-X.

מעגלחיתוך ציר X

רמז: כדי למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה-X הציב Y=0 במשוואת המעגל.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות החיתוך (8,0) ו(-2,0)

הצבה Y=0 נותנת (X-3)² = 25. נפתור שורש: X-3= ±5 → X=8 או X=-2. נקודות החיתוך הן (8,0) ו(-2,0).

מציאת משוואת המשיק בנקודה על המעגל

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה נקודה C על המעגל בה X=-1 ו-Y שצריך למצוא מהמשוואה (X-3)² + Y² = 25. מצא את Y המתאים ואז את משוואת הישר המשיק במעגל בנקודה זו.

משיקשיפועמעגל

רמז: 1. הצב X=-1 במשוואת המעגל וחישב Y. 2. מצא שיפוע הרדיוס בין מרכז המעגל לנקודה 3. שיפוע המשיק הוא ההופכי והמנוגד לשיפוע הרדיוס 4. השתמש בנוסחת ישר משיק עם הנקודה והמשיפוע.

פתרון מלא

תשובה סופית: משוואת המשיק: y + 3 = -4/3 (x + 1)

מחישוב המשוואה Y²=25-(X-3)²=25-( -1-3)²=25-16=9, ולכן Y=±3. לפי מיקום הנקודה הזונה בחר Y=-3. שיפוע הרדיוס=(0-(-3))/(3-(-1))=3/4, שיפוע המשיק הוא ההופכי והמנוגד: -4/3. בעזרת נקודה (-1,-3) ומשיפוע -4/3 משוואת המשיק היא y+3 = -4/3(x+1).

חישוב היקף צורה במערכת צירים

רמת קושי: בגרות

ממתין

בתרגיל מתקבלת צורה בעלת קודקודים B, M, C, D על מערכת הצירים. המרחק בין נקודות D ו-C הוא 15, המרחק בין B ל-M גם 15, ועוד החלקים הקטנים 5 ו-10. חשב את ההיקף הכולל של הצורה BMCD.

היקףמרחקיםגיאומטריה אנליטית

רמז: ההיקף הוא סכום כל הצלעות. השתמש בנוסחת המרחק בין נקודות במישור והוסף את כל הצלעות בהתאם.

פתרון מלא

תשובה סופית: ההיקף הכולל של הצורה BMCD הוא 45

התקבל היקף: 15 + 15 + 5 + 10 = 45. שימו לב לכל הצלעות שהצורה כוללת.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון חישוב נקודה על מעגל ומשוואת משיק

מציאת נקודת Y במשוואת מעגל ופיתוח משוואת ישר משיק

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך Y בנקודה C על המעגל / משוואת ישר המשיק בנקודה C
נתון 1
נתון 1
משוואת המעגל (X-3)² + Y² = 25
נתון 2
נקודת X בנקודה C היא -1
רעיון
הרעיון המרכזי
הצבת X בנוסחת המעגל למציאת Y, חישוב שיפוע הרדיוס, חישוב שיפוע המשיק, כתיבת משוואת הישר המשיק.
נוסחה
חשב את השיפוע בין המרכז (3,0) לנקודה C (-1, Y)
m רדיוס שווה ל Y פחות 0 חלקי מינוס 1 פחות 3m רדיוס = (Y - 0)/(-1 - 3)m_r = (Y - 0)/(-1 - 3)
משוואה
יש משוואת המעגל ונקודה C עם X ידוע
יש משוואת המעגל ונקודה C עם X ידוע
פישוט
פשט את המשוואה וחשב Y^2 = 9, לכן Y=±3
פשט את המשוואה וחשב Y^2 = 9, לכן Y=±3
Y בחזקת 2 = 25 פחות 16 שווה 9Y^2 = 25 - 16 = 9
תוצאה
מסיימים בתשובה
נסמן נקודת C ונכתב את המשוואה y - y1 = m(x - x1) עם שיפוע ומשתנה
y פחות Y שווה m משיק כפול (x ועוד 1)y - Y = m משיק(x + 1)

כתיבת משוואת הישר המשיק

מה עושים

נסמן נקודת C ונכתב את המשוואה y - y1 = m(x - x1) עם שיפוע ומשתנה

למה

כך נקבל משוואת הישר המשיק בצורה מדויקת

החלף בנוסחה את הנקודה והשיפוע וחישוב המשוואה

נוסחה / הצבה

y פחות Y שווה m משיק כפול (x ועוד 1)y - Y = m משיק(x + 1)y - Y = m_משיק(x + 1)

הישמר בחתימת השיפוע והנקודה במשוואה

פתרונות כלליים

מציאת מרכז ורדיוס מהמשוואה: המרכז הוא (3,0) כי זה משתנה ההזזה במשוואת המעגל. הרדיוס הוא השורש של 25, כלומר 5.
חישוב נקודות חיתוך עם ציר ה-X: הצבה Y=0 נותנת (X-3)² = 25. נפתור שורש: X-3= ±5 → X=8 או X=-2. נקודות החיתוך הן (8,0) ו(-2,0).
מציאת משוואת המשיק בנקודה על המעגל: מחישוב המשוואה Y²=25-(X-3)²=25-( -1-3)²=25-16=9, ולכן Y=±3. לפי מיקום הנקודה הזונה בחר Y=-3. שיפוע הרדיוס=(0-(-3))/(3-(-1))=3/4, שיפוע המשיק הוא ההופכי והמנוגד: -4/3. בעזרת נקודה (-1,-3) ומשיפוע -4/3 משוואת המשיק היא y+3 = -4/3(x+1).
חישוב היקף צורה במערכת צירים: התקבל היקף: 15 + 15 + 5 + 10 = 45. שימו לב לכל הצלעות שהצורה כוללת.

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

ד2. שאלון 803 - פתרון מלא קיץ 17 מועד ב - תרגיל 3 - אנליטית הישר - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון חישוב נקודה על מעגל ומשוואת משיק

מפת פתרון

למצוא ערך Y בנקודה C על המעגל / משוואת ישר המשיק בנקודה C

נתון 1

נקודת X בנקודה C היא -1

הרעיון המרכזי

חשב את השיפוע בין המרכז (3,0) לנקודה C (-1, Y)

יש משוואת המעגל ונקודה C עם X ידוע

פשט את המשוואה וחשב Y^2 = 9, לכן Y=±3

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

משוואת המעגל ונקודת X

מציאת Y בנקודה C

חישוב Y

חישוב שיפוע הרדיוס ל-C

חישוב שיפוע המשיק

כתיבת משוואת הישר המשיק

פתרונות כלליים