בשיעור זה לומדים כיצד לחשב נקודות קיצון בפונקציה נתונה, לחשב את הנגזרת, למצוא משוואות המשיקים ולחקור את נקודת המפגש שלהם.
להבין משמעות נקודת קיצון בפונקציה
לחזור על חוקים לחישוב נגזרות של פונקציות שורשיות ופונקציות פולינומיות
לחשב משוואות משיקים בנקודות נתונות
לבצע חישובים אנליטיים כדי למצוא נקודת מפגש של שני ישרים
הגדרת הפונקציה והתחום: הפונקציה המוגדרת היא y שווה שורש x פחות x, עם תחום x גדול שווה 0.
חישוב הנגזרת והנקודות קיצון: מחשב את הנגזרת של הפונקציה, מוצא נקודת מקסימום על ידי מציאת x שמקיימת f'(x)=0.
חישוב משוואות המשיקים בנקודות נתונות: מחברים שני קווים משיקים: אחד בנקודת המקסימום ושני בנקודה נוספת a=(1,0).
מציאת נקודת המפגש בין שני המשיקים: משווים את משוואות המשיקים כדי למצוא נקודת מפגש חותך בנקודה P.

תרגול קצר

מציאת נקודת מקסימום של פונקציה שורשית

רמת קושי: קל

ממתין

פונקציה מוגדרת על ידי y שווה שורש של x פחות x. מצא את נקודת המקסימום שלה בתחום x>=0.

נגזרותנקודות קיצון

רמז: חשב את הנגזרת, מצא היכן הנגזרת שווה ל-0, ודא שהנקודה בתחום הנתון.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת המקסימום היא ב x=1/4, y=1/4.

נגזור את y לרמות הבאות: הנגזרת f'(x) היא 1 חלקי 2 כפול שורש x פחות 1. שווים ל-0 ונפתור: 1/(2√x) - 1 = 0. נעביר ונכפיל: 1/(2√x)=1. כפל ב-2√x: 1=2√x. נחלק: √x=1/2. בריבוע: x=1/4. x=0.25 בתחום. נמצא y: y=√(0.25) - 0.25=0.5 - 0.25=0.25. הנקודה היא (1/4 , 1/4).

משוואות משיקים לנקודות נתונות

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה הפונקציה y שווה שורש x פחות x. מצא את משוואות המשיקים בנקודות (1/4, 1/4) ו-(1,0).

משיקיםנגזרות

רמז: חשב את הנגזרת כדי לקבל שיפוע בכל נקודה, השתמש בנוסחת ישר משיק.

פתרון מלא

תשובה סופית: משוואות המשיקים הן y=1/4 ו- y= -0.5x + 0.5.

נגזרת הפונקציה היא 1/(2√x) פחות 1. בשתי הנקודות: בנקודה 1/4 השיפוע הוא 1/(2*0.5) - 1=1 - 1=0. בנקודה 1 השיפוע הוא 1/(2*1) -1=0.5 -1= -0.5. משוואת הישר בנקודה (1/4,1/4): y-1/4=0(x-1/4) => y=1/4. משוואת הישר בנקודה (1,0): y-0 = -0.5 (x-1) => y = -0.5x + 0.5.

מציאת נקודת המפגש בין שני המשיקים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

מצא את נקודת החיתוך בין שני המשיקים לנקודות (1/4,1/4) ו-(1,0) מהתרגיל הקודם.

משיקיםחיתוך ישרים

רמז: שווה בין המשוואות את ערך y ופתור עבור x.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת החיתוך היא (0.5 , 0.25).

משווים y=1/4 ו- y= -0.5x + 0.5: 1/4 = -0.5x + 0.5. מעבירים: -0.5x = 1/4 - 0.5= -0.25. מכפילים ב- -2: x = 0.5. מציבים ב y=1/4: הנקודה היא (0.5, 0.25).

חקירת פונקציה ונגזרת

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה הפונקציה y שווה שורש x פחות x. חקור את הפונקציה למציאת נקודות קיצון, מצא משוואות משיקים בנקודות אלו ובנקודה נוספת נתונה, ומצא את נקודת מפגש המשיקים.

שאלון חורףנגזרתמשיקים

רמז: חשב נגזרת, נקודות קיצון, שיפועי הישרים ומשוואות ישרים, והשווה משוואות לניתוח החיתוך.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת המקסימום: (1/4, 1/4). משוואות המשיקים: y=1/4 ו- y= -0.5x + 0.5. נקודת מפגש המשיקים: (0.5 , 0.25).

ראשית, נגזור ונמצא נקודת קיצון ב x=1/4. נחשב y בx=1/4. נמצא את שיפועי המשיקים בנקודה זו ובנקודה (1,0). נחשב משוואות משנה ונמצא את נקודת המפגש בין המשיקים.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל משיקים ונקודות קיצון

פונקציה y = שורש x - x

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודת המקסימום של הפונקציה / משוואות המשיקים בנקודת המקסימום ובנקודה (1,0) / נקודת
נתון 1
פונקציה y שווה שורש x פחות x
נתון 2
תחום x גדול שווה 0
נתון 3
נתון 3
נקודה a = (1,0)
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את הנגזרת כדי למצוא נקודת קיצון, נמצא משוואות ישר המשיק בכל נקודה, ונמצא את נקודת המפגש בין
נוסחה
נבצע פעולות אלגבריות לפתרון x.
sqrt(x) = 1/2x = 1/4sqrt(x) = 1/2 => x = 1/4x = (1)/(2) => x = (1)/(4)
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
נתונה הפונקציה y=√x - x עם x≥0.
נתונה הפונקציה y=√x - x עם x≥0.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת פונקציה ותחום

מה עושים

נתונה הפונקציה y=√x - x עם x≥0.

למה

להבין את הפונקציה עליה נעבוד ולהגדיר את התחום החוקי שלה.

הפונקציה מפורשת והיסודות להמשך החישובים מוכנים.

בחירת שיטה

חישוב נגזרת וציוד נקודות קיצון

מה עושים

נחשב את הנגזרת ונשווה לאפס כדי למצוא נקודות קיצון.

למה

נקודת מקסימום היא איפה שהנגזרת שווה לאפס.

הנגזרת היא 1/(2√x) פחות 1. שווים ל-0 ומנסים למצוא x.

נוסחה / הצבה

1 / (2 * sqrt(x)) - 1 = 01/(2√x) - 1 = 0(1)/(2x) - 1 = 0

פתרון משוואות שורש דורש ריבוע בשלב ביניים.

בניית משוואה

פתרון משוואה לנקודת קיצון

מה עושים

נבצע פעולות אלגבריות לפתרון x.

למה

מציאת ערך x המדויק לנקודת הקיצון.

נשים לב ש√x = 1/2, ולכן x = 1/4.

נוסחה / הצבה

sqrt(x) = 1/2x = 1/4sqrt(x) = 1/2 => x = 1/4x = (1)/(2) => x = (1)/(4)

פתרון

חישוב ערך הפונקציה בנקודת הקיצון

מה עושים

נחשב y ב x=1/4.

למה

לקבל את ערך הפונקציה בנקודת המקסימום.

y = √(1/4) - 1/4 = 1/2 - 1/4 = 1/4.

נוסחה / הצבה

y = sqrt(1/4) - 1/4 = 1/2 - 1/4 = 1/4y = (1)/(4) - (1)/(4) = (1)/(2) - (1)/(4) = (1)/(4)

פתרון

חישוב שיפועי המשיקים בנקודות נתונות

מה עושים

נגזור ונחשב שיפוע בנקודות x=1/4 ו-x=1.

למה

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה.

f'(x) = 1/(2√x) - 1. עבור x=1/4 השיפוע הוא 0. עבור x=1 השיפוע הוא -0.5.

נוסחה / הצבה

f'(x) = 1 / (2 * sqrt(x)) - 1f'(1/4) = 0f'(1) = -0.5f'(x) = 1/(2√x) - 1f'(1/4)=0

פתרון

מציאת משוואות משיקים

מה עושים

הכנסת נקודות ומקדמי שיפוע לנוסחת ישר משיק.

למה

משוואות הישר מאפשרות חקירת הפונקציה וניתוח חיתוכים.

משוואת המשיק בנקודת המקסימום: y=1/4. בנקודה (1,0): y = -0.5x + 0.5.

נוסחה / הצבה

y - y0 = m(x - x0)משוואות:y = 1/4y = -0.5x + 0.5y=1/4

פתרונות כלליים

מציאת נקודת מקסימום של פונקציה שורשית: נגזור את y לרמות הבאות: הנגזרת f'(x) היא 1 חלקי 2 כפול שורש x פחות 1. שווים ל-0 ונפתור: 1/(2√x) - 1 = 0. נעביר ונכפיל: 1/(2√x)=1. כפל ב-2√x: 1=2√x. נחלק: √x=1/2. בריבוע: x=1/4. x=0.25 בתחום. נמצא y: y=√(0.25) - 0.25=0.5 - 0.25=0.25. הנקודה היא (1/4 , 1/4).
משוואות משיקים לנקודות נתונות: נגזרת הפונקציה היא 1/(2√x) פחות 1. בשתי הנקודות: בנקודה 1/4 השיפוע הוא 1/(2*0.5) - 1=1 - 1=0. בנקודה 1 השיפוע הוא 1/(2*1) -1=0.5 -1= -0.5. משוואת הישר בנקודה (1/4,1/4): y-1/4=0(x-1/4) => y=1/4. משוואת הישר בנקודה (1,0): y-0 = -0.5 (x-1) => y = -0.5x + 0.5.
מציאת נקודת המפגש בין שני המשיקים: משווים y=1/4 ו- y= -0.5x + 0.5: 1/4 = -0.5x + 0.5. מעבירים: -0.5x = 1/4 - 0.5= -0.25. מכפילים ב- -2: x = 0.5. מציבים ב y=1/4: הנקודה היא (0.5, 0.25).
חקירת פונקציה ונגזרת: ראשית, נגזור ונמצא נקודת קיצון ב x=1/4. נחשב y בx=1/4. נמצא את שיפועי המשיקים בנקודה זו ובנקודה (1,0). נחשב משוואות משנה ונמצא את נקודת המפגש בין המשיקים.

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

ה4. שאלון 803 - פתרון מלא חורף 17 - תרגיל 4 - ניגזרת וחקירת פונקציה - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון תרגיל משיקים ונקודות קיצון

מפת פתרון

למצוא נקודת המקסימום של הפונקציה / משוואות המשיקים בנקודת המקסימום ובנקודה (1,0) / נקודת

פונקציה y שווה שורש x פחות x

תחום x גדול שווה 0

נתון 3

הרעיון המרכזי

נבצע פעולות אלגבריות לפתרון x.

נבנה משוואה

נתונה הפונקציה y=√x - x עם x≥0.

פתרון מפורט

הגדרת פונקציה ותחום

חישוב נגזרת וציוד נקודות קיצון

פתרון משוואה לנקודת קיצון

חישוב ערך הפונקציה בנקודת הקיצון

חישוב שיפועי המשיקים בנקודות נתונות

מציאת משוואות משיקים

פתרונות כלליים