בשיעור זה נלמד כיצד לחשב אינטגרל של הפרש בין פונקציות בקביעת שטח בין פונקציה ומשיק, באמצעות זיהוי נקודות חיתוך, מציאת משיק, וביצוע אינטגרל מוגבל.
לזהות נקודות חיתוך בין פונקציות
לחשב משיק ופירוש השיפוע שלו
להבין כיצד להגדיר תחום אינטגרציה
לבצע אינטגרל של הפרש פונקציות בגבולות נתונים
ליישם את חוקי האינטגרל בשטח בין שני גרפים
הכרת הפונקציות והנקודות: התלמידים מתרגלים זיהוי נקודות חיתוך וקריאת גרפים, כולל משיק ופונקציה פרבולית.
חישוב משיק: חישוב שיפוע המשיק בנקודה B וקבלת משוואת הישר המשיק.
חישוב האינטגרל והשטח: הכנת הביטויים לחישוב האינטגרל בין פונקציית המשיק לפרבולה וחישוב האינטגרל בגבולות שנקבעו.

תרגול קצר

חישוב נקודות חיתוך של פרבולה עם ציר ה- X

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה פונקציה פרבולית y = -x^2 + 2x + 3. מצא את נקודות החיתוך שלה עם ציר ה- x.

נקודות חיתוךפרבולה

רמז: פותר משוואה ריבועית y=0 כדי למצוא את x.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות החיתוך הן (-1,0) ו-(3,0).

נשווה -x^2 + 2x + 3 = 0 ונפתור כדי למצוא x: x^2 - 2x - 3 = 0, גוף הפירוק (x-3)(x+1) = 0. לכן x=3 או x=-1.

מציאת משוואת משיק בנקודה

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה הפונקציה y = -x^2 + 2x + 3 ונקודה B עם x=-1. מצא את משוואת הישר המשיק לפונקציה בנקודה B.

משיקנגזרת

רמז: חשב את הנגזרת כדי לקבל שיפוע המשיק בנקודה ואז השתמש במשוואת ישר.

פתרון מלא

תשובה סופית: משוואת המשיק היא y=4x+4.

נגזרת הפונקציה היא y' = -2x + 2. בנקודה x=-1 השיפוע הוא -2(-1)+2=4. הערך y(-1) = -1 + (-2) +3 = 0. משוואת הישר: y - 0 = 4(x + 1) → y=4x+4.

חישוב שטח בין פרבולה למשיק

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את השטח הכלוא בין הפונקציה y = -x^2 + 2x + 3 לבין הישר המשיק לה בנקודה x=-1, בין x=-1 ל- x=3.

אינטגרליםשטח בין גרפים

רמז: חשב את האינטגרל של ההפרש בין הפונקציה לישר המשיק בתחום הנתון.

פתרון מלא

תשובה סופית: 16 חלקי 3

אינטגרל בין -1 ל-3 של (פונקציה - משיק) dx. בעצם אינטגרל של [-x^2 + 2x + 3 - (4x + 4)] = -x^2 - 2x - 1. אינטגרל זה = [-x^3/3 - x^2 - x] משילוב גבולות -1 ל-3. החישוב נתן שטח 16/3.

שטח בין פונקציות - אינטגרל

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונות הפונקציה y= -x^2 + 2x + 3 והישר המשיק לה בנקודה x=-1. מצא את השטח הכלוא בין הפונקציה למשיק בטווח x=[-1,3].

אינטגרליםגרפיםבגרות

רמז: מצא את משוואת המשיק, כתוב את ביטוי ההפרש, חשב אינטגרל בגבולות.

פתרון מלא

תשובה סופית: 16/3

כפי שנמצא, משוואת המשיק היא y=4x+4. ההפרש הוא f(x)-g(x) = (-x^2 + 2x +3) - (4x + 4) = -x^2 - 2x -1. האינטגרל בין -1 ל-3 מוביל לשטח 16/3.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

כיצד לחשב שטח בין פונקציה למשיק

תהליך חישוב אינטגרל אינטגרלית של הפרש פונקציות

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא מציאת משוואת הישר המשיק בנקודה B / חישוב השטח בין הפונקציה למשיק בין x=-1 ל-1 לפי
נתון 1
נתון 1
פונקציה פרבולית y= -x^2 + 2x + 3
נתון 2
נקודה A (1,4)
נתון 3
נתון 3
נקודה B עם x=-1
רעיון
הרעיון המרכזי
נמצא את משוואת המשיק על ידי חישוב השיפוע, ואז נחשב את האינטגרל של ההפרש בין הפונקציה למשיק בתחום
נוסחה
חשב נגזרת הפונקציה והצבה ב-x של נקודת B.
m = y'(-1) = -2*(-1) + 2 = 4m = y'(-1) = -2(-1) + 2 = 4
משוואה
הצבת נתוני נקודה ושיפוע במשוואת הישר.
הצבת נתוני נקודה ושיפוע במשוואת הישר.
y - 0 = 4(x + 1) => y = 4x + 4
פישוט
נחשב אינטגרל של הפרש הפונקציות בין הגבולות.
נחשב אינטגרל של הפרש הפונקציות בין הגבולות.
_-1^(1) ( (-x^2 + 2x + 3) - (4x + 4) ) dx

חישוב האינטגרל ופישוט

מה עושים

פשט את הביטוי וחישב את האינטגרל.

למה

לקבל את הערך המספרי של השטח.

הפונקציה מתפשטת ל: -x^2 - 2x - 1. אינטגרל X^n = X^{n+1}/(n+1).

נוסחה / הצבה

[-x^3/3 - x^2 - x] evaluated from -1 to 1_-1^(1) (-x^2 - 2x - 1) dx = [-x^3/3 - x^2 - x]_-1^(1)[-(x^3)/(3) - x^(2) - x ]_-1^(1)

הצבה בגבולות וחישוב ערך סופי.

פתרונות כלליים

חישוב נקודות חיתוך של פרבולה עם ציר ה- X: נשווה -x^2 + 2x + 3 = 0 ונפתור כדי למצוא x: x^2 - 2x - 3 = 0, גוף הפירוק (x-3)(x+1) = 0. לכן x=3 או x=-1.
מציאת משוואת משיק בנקודה: נגזרת הפונקציה היא y' = -2x + 2. בנקודה x=-1 השיפוע הוא -2(-1)+2=4. הערך y(-1) = -1 + (-2) +3 = 0. משוואת הישר: y - 0 = 4(x + 1) → y=4x+4.
חישוב שטח בין פרבולה למשיק: אינטגרל בין -1 ל-3 של (פונקציה - משיק) dx. בעצם אינטגרל של [-x^2 + 2x + 3 - (4x + 4)] = -x^2 - 2x - 1. אינטגרל זה = [-x^3/3 - x^2 - x] משילוב גבולות -1 ל-3. החישוב נתן שטח 16/3.
שטח בין פונקציות - אינטגרל: כפי שנמצא, משוואת המשיק היא y=4x+4. ההפרש הוא f(x)-g(x) = (-x^2 + 2x +3) - (4x + 4) = -x^2 - 2x -1. האינטגרל בין -1 ל-3 מוביל לשטח 16/3.

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

ו3. שאלון 803 - פתרון מלא קיץ 16 מועד א - תרגיל 5 - אינטגרלים שטח - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

כיצד לחשב שטח בין פונקציה למשיק

מפת פתרון

למצוא מציאת משוואת הישר המשיק בנקודה B / חישוב השטח בין הפונקציה למשיק בין x=-1 ל-1 לפי

נתון 1

נקודה A (1,4)

נתון 3

הרעיון המרכזי

חשב נגזרת הפונקציה והצבה ב-x של נקודת B.

הצבת נתוני נקודה ושיפוע במשוואת הישר.

נחשב אינטגרל של הפרש הפונקציות בין הגבולות.

פתרון מפורט

זיהוי נקודות ונתונים

חישוב נקודת חיתוך B

מציאת השיפוע בנקודה B

כתיבת משוואת הישר המשיק

כתיבת ביטוי האינטגרל לחישוב שטח

חישוב האינטגרל ופישוט

פתרונות כלליים