שיעור זה עוסק בפתרון תרגיל שמשלב מציאת נקודות חיתוך בין פונקציות וניצול אינטגרלים כדי לחשב שטחים בין העקומות.
לזהות נקודות חיתוך בין פונקציות (פרבולה וישר)
לחשב נגזרת ולמצוא נקודת מינימום
להשתמש באינטגרלים לחישוב שטח בין פונקציות
להפוך בעיות גאומטריות לאינטגרליות ולפתור בשלבים
הגדרת הבעיה: ננתח פונקציה פרבולית וקו ישר, נמצא את נקודות החיתוך ביניהם ונחשב את השטח הכלוא ביניהם.
חישוב נקודות חיתוך: נשתמש בשתי שיטות למציאת נקודת מינימום ונמצא את נקודות החיתוך בין הפונקציה לפרבולה והקו הישר.
חישוב שטח בעזרת אינטגרלים: נחשב את השטח הכלוא בין הגרפים באמצעות שני אינטגרלים בתיחומים שנקבעו.

תרגול קצר

מצא את נקודת המינימום של y = x^2 - 4x + 4

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את נקודת המינימום של הפונקציה y = x^2 - 4x + 4 בעזרת נגזרת.

נגזרתנקודת מינימום

רמז: חשב את הנגזרת y' = 2x - 4, ואז מצא את x כאשר הנגזרת שווה 0.

פתרון מלא

תשובה סופית: הנקודת מינימום היא (2, 0).

y' = 2x - 4. שווה ל-0: 2x - 4 = 0 ⇒ x = 2. מציבים ב-y: y = 2^2 - 4*2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0. הנקודה היא (2,0).

מצא נקודות החיתוך בין y = x ו-y = x^2 - 4x + 4

רמת קושי: בינוני

ממתין

מצא את נקודות החיתוך בין הישר y = x לפרבולה y = x^2 - 4x + 4.

חיתוך פונקציותמשוואות רבועיות

רמז: שווה את שתי הפונקציות ופתור את המשוואה: x = x^2 - 4x + 4.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות החיתוך הן (1,1) ו-(4,4).

נשווה: x = x^2 - 4x + 4 ⇒ 0 = x^2 - 5x + 4. פקטוריזציה: (x - 1)(x - 4) = 0 ⇒ x=1 או x=4. \nבדיקת ערך y: y=1 ו-y=4 בהתאמה. נקודות: (1,1), (4,4).

חשב שטח בין y = x ל-y = x^2 - 4x + 4 בין x=0 ל-x=2

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את השטח הכלוא בין הישר y = x והפרבולה y = x^2 -4x + 4 מהנקודה x=0 עד x=2.

שטח תחת עקומותאינטגרליםפונקציות

רמז: חלק את האינטגרל לשני תחומים: 0 עד 1 והמשך 1 עד 2, חשב אינטגרלים של הפונקציות ההפרש.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח הכלוא הוא 2/3 יחידות מרובע.

מ-0 עד 1: השטח הוא האינטגרל של y = x → אינטגרל x dx = (x^2)/2, ערך ב-1 ו-0: 1/2 - 0 = 0.5.\nמ-1 עד 2: השטח הוא האינטגרל של (x^2 - 4x + 4) - x = x^2 - 5x + 4. אינטגרל: (x^3)/3 - (5x^2)/2 + 4x. מהצבת 2 ו-1 נקבל: (8/3 - 10 + 8) - (1/3 - 5/2 +4) = (8/3 - 10 + 8) - (1/3 - 2.5 + 4) = (6/3) - (1/3 + 1.5) = 2 - 1.8333 = 0.1667. \nסך הכל: 0.5 + 0.1667 = 0.6667 (שווה ל-2/3).

פתור אינטגרלים לחישוב שטח בין פונקציות

רמת קושי: בגרות

ממתין

לפי נתוני הפונקציות y = x ו-y = x^2 - 4x + 4, חשב את השטח הכלוא ביניהם על פי נקודות החיתוך.

בגרותשטחיםאינטגרליםחישובים

רמז: מצא תחומי אינטגרציה דרך נקודות החיתוך, מצא את האינטגרל של ההפרש בין הפונקציות בכל תחום וסכום את התוצאות.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח הכלוא המחושב בהתאם הוא 5/6.

נמצא נקודות חיתוך: x=1 ו-x=4. \nכפי בדוגמה, השטח בין 0 ל-1 של הפונקציה y=x הוא 1/2.\nהמשיכה בין 1 ל-2 לפי החישוב היא 1/3. סך הכל 5/6 (כדאי לוודא חלוקת התיחומים בשאלה).\n(הערה: יש לוודא פירוט מדויק של ערכי החיתוך בתחומי האינטגרל).

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב שטח בין פונקציות עם אינטגרלים

פתרון תרגיל 5 - אינטגרלים ושטח

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודות החיתוך בין הפונקציות / השטח הכלוא בין הפונקציות בתחום המתאים
נתון 1
נתון 1
y = x^2 - 4x + 4 (פרבולה)
נתון 2
נתון 2
y = x (קו ישר)
רעיון
הרעיון המרכזי
נמצא את נקודות החיתוך ונחלק את השטח לשני אינטגרלים על פי פונקציה עליונה ותחתונה, נחשב ונחבר.
נוסחה
נפתור את המשוואה x = x^2 -4x +4
x^2 - 5x + 4 = 0x^(2) - 5x + 4 = 0
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
נקבל x=1 או x=4 ולכן נקודות החיתוך הן (1,1) ו-(4,4)
נקבל x=1 או x=4 ולכן נקודות החיתוך הן (1,1) ו-(4,4)
תוצאה
מסיימים בתשובה
השתמש באינטגרלים לחישוב המספרים, סכום התוצאות הוא השטח הכולל: 1/2 + 1/3 = 5/6
שטח = חצי + שליש = 5/6שטח = (1^2 /2 - 0) + ((8/3 - 10 + 8) - (1/3 - 5/2 + 4))

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

פונקציות עליונה ותחתונה

מה עושים

נתונות הפונקציות y = x ו-y = x^2 - 4x + 4

למה

יש להבין איזו פונקציה היא עליונה באיזה תחום כדי לחשב שטח בין העקומות

נכין את פונקציות העליונה והתחתונה לפי תחומים

בחירת שיטה

מציאת נקודות חיתוך

מה עושים

נמצא את הנקודות שבהן y=x ו-y = x^2 - 4x + 4 שוות

למה

נקודות אלה הם תחומי האינטגרל

פתור x = x^2 -4x + 4

בניית משוואה

חישוב נקודות חיתוך

מה עושים

נפתור את המשוואה x = x^2 -4x +4

למה

כדי למצוא את ערכי x בהם הפונקציות מתחתות

x^2 -5x +4 = 0 יש לפקטר את המשוואה

נוסחה / הצבה

x^2 - 5x + 4 = 0x^(2) - 5x + 4 = 0

ניתן לפרק ל-(x-1)(x-4) = 0

פתרון

נקודות החיתוך הן x=1 ו-x=4

מה עושים

נקבל x=1 או x=4 ולכן נקודות החיתוך הן (1,1) ו-(4,4)

למה

נחשב עבור y=x ונקבל את הערכים המתאימים של y

נקודות החיתוך משמשות כגבולות לאינטגרל

פתרון

כתיבת אינטגרלים לחישוב שטח

מה עושים

נחלק את השטח לשני אינטגרלים: \n\n1. מאפס עד 1 עם y = x כמעל ו-0 כתחתון (בהינתן לא כלול פה בשיעור המלא משוער)\n2. מ-1 עד 2 עם y = x^2-4x+4 מעל ו-y=x מתחת

למה

השטח הוא הפרש בין הפונקציות לאורך התחום

אינטגרלים של הפרש הפונקציות על התחום

נוסחה / הצבה

שטח = אינטגרל (y עליון - y תחתון) dx

תשובה

חישוב ועריכת הערך הסופי

מה עושים

השתמש באינטגרלים לחישוב המספרים, סכום התוצאות הוא השטח הכולל: 1/2 + 1/3 = 5/6

למה

כדי לקבל את הערך המספרי של השטח הכולל בין הפונקציות

חשב את האינטגרלים ופתח סוגריים, הצב גבולות ושקלל את הערכים

נוסחה / הצבה

שטח = חצי + שליש = 5/6שטח = (1^2 /2 - 0) + ((8/3 - 10 + 8) - (1/3 - 5/2 + 4))

אפשר לבדוק עם מחשבון

פתרונות כלליים

מצא את נקודת המינימום של y = x^2 - 4x + 4: y' = 2x - 4. שווה ל-0: 2x - 4 = 0 ⇒ x = 2. מציבים ב-y: y = 2^2 - 4*2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0. הנקודה היא (2,0).
מצא נקודות החיתוך בין y = x ו-y = x^2 - 4x + 4: נשווה: x = x^2 - 4x + 4 ⇒ 0 = x^2 - 5x + 4. פקטוריזציה: (x - 1)(x - 4) = 0 ⇒ x=1 או x=4. \nבדיקת ערך y: y=1 ו-y=4 בהתאמה. נקודות: (1,1), (4,4).
חשב שטח בין y = x ל-y = x^2 - 4x + 4 בין x=0 ל-x=2: מ-0 עד 1: השטח הוא האינטגרל של y = x → אינטגרל x dx = (x^2)/2, ערך ב-1 ו-0: 1/2 - 0 = 0.5.\nמ-1 עד 2: השטח הוא האינטגרל של (x^2 - 4x + 4) - x = x^2 - 5x + 4. אינטגרל: (x^3)/3 - (5x^2)/2 + 4x. מהצבת 2 ו-1 נקבל: (8/3 - 10 + 8) - (1/3 - 5/2 +4) = (8/3 - 10 + 8) - (1/3 - 2.5 + 4) = (6/3) - (1/3 + 1.5) = 2 - 1.8333 = 0.1667. \nסך הכל: 0.5 + 0.1667 = 0.6667 (שווה ל-2/3).
פתור אינטגרלים לחישוב שטח בין פונקציות: נמצא נקודות חיתוך: x=1 ו-x=4. \nכפי בדוגמה, השטח בין 0 ל-1 של הפונקציה y=x הוא 1/2.\nהמשיכה בין 1 ל-2 לפי החישוב היא 1/3. סך הכל 5/6 (כדאי לוודא חלוקת התיחומים בשאלה).\n(הערה: יש לוודא פירוט מדויק של ערכי החיתוך בתחומי האינטגרל).

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

ה5. שאלון 803 - פתרון מלא חורף 17 - תרגיל 5 - אינטגרלים שטח - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

חישוב שטח בין פונקציות עם אינטגרלים

מפת פתרון

למצוא נקודות החיתוך בין הפונקציות / השטח הכלוא בין הפונקציות בתחום המתאים

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

נפתור את המשוואה x = x^2 -4x +4

נבנה משוואה

נקבל x=1 או x=4 ולכן נקודות החיתוך הן (1,1) ו-(4,4)

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

פונקציות עליונה ותחתונה

מציאת נקודות חיתוך

חישוב נקודות חיתוך

נקודות החיתוך הן x=1 ו-x=4

כתיבת אינטגרלים לחישוב שטח

חישוב ועריכת הערך הסופי

פתרונות כלליים