פתרון שאלה 4 מתוך שאלון 803, שבה נמצאות נקודות קיצון של פונקציה נתונה, ניגזרת הפונקציה, מציאת ערכי הפונקציה בנקודות הקיצון, חקירת פונקציה וחישוב שטח בין פונקציה לבין ישר.
לחשב נגזרת של פונקציה פולינומיאלית
למצוא נקודות קיצון על ידי פתרון משוואות לנגזרת ראשונה
לחקור ערכי הפונקציה בנקודות קיצון לכיוון נקודות מינימום ומקסימום
להגדיר משוואת ישר לפי נקודות ולחשב שיפוע
לחשב שטח תחום מוגבל על ידי פונקציה וישר באמצעות אינטגרל מוגדר
ניתוח פונקציה ונקודות קיצון: מוצגת הפונקציה x בריבוע מינוס 6x בריבוע ועוד 9x, מוצאת את הנגזרת, ומאתרת את נקודות הקיצון על ידי פתרון נגזרת שווה 0.
מציאת משוואת ישר ומחשוב השטח בין פונקציה וישר: הגדרת ישר שעובר דרך נקודות מכובדות בגרף, חישוב שיפוע המשוואה, והגדרת אינטגרל לחשבון השטח בין הפונקציה לישר בטווח נתון.

תרגול קצר

חישוב נגזרת ופונקציה בנקודות קיצון

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = - x בשלישית + 6 x בריבוע - 9 x. חשב את הנגזרת של הפונקציה, מצא את נקודות הקיצון על ידי פתרון f'(x) = 0, והערך של הפונקציה בכל נקודת קיצון.

נגזרתנקודות קיצוןפונקציות פולינומיאליות

רמז: חשב את הנגזרת על ידי חוקי חזקות, הפוך למשוואה שווה לאפס, פתר אותה למציאת x, הצב ב-f(x)

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות קיצון ב-x=1 עם ערך f(x)=-4, וב-x=3 עם ערך f(x)=0

הנגזרת היא f'(x) = -3x^2 + 12x - 9. מדרוש לפתור: -3x^2 + 12x -9 = 0 ⇨ x^2 - 4x + 3 = 0 פתרון משוואת הריבוע מספק x=1 ו-x=3. חשוב: שים לב שהנגזרת מתאימה לחישובים. נציב ב-f(x): f(1) = -1 + 6 -9 = -4, f(3) = -27 + 54 - 27 = 0

מציאת משוואת ישר בין נקודות

רמת קושי: בינוני

ממתין

יש נקודות A=(0,0) ו-B=(1,4). מצא את משוואת הישר העוברת ביניהן.

משוואת ישרשיפוע

רמז: חשב קודם את השיפוע m = (y2 - y1)/(x2 - x1), ואז השתמש בנוסחה y-y1 = m(x-x1)

פתרון מלא

תשובה סופית: y = 4x

m = (4-0)/(1-0) = 4. משוואת הישר y - 0 = 4 (x - 0), כלומר y = 4x

חישוב שטח בין פונקציה לינארית לפונקציה פולינומית

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את השטח המוגבל בין הישר y=4x לבין הפונקציה f(x) = x בשלישית - 6 x בריבוע + 9 x בתחום x ∈ [-1, 0].

אינטגרל מוגדרשטח בין פונקציות

רמז: קבע מי הפונקציה העליונה ומי התחתונה בטווח, חשב את ההפרש, והשתמש באינטגרל מוגדר.

פתרון מלא

תשובה סופית: 19/4

הפונקציה העליונה היא y=4x, התחתונה היא f(x) = x³ - 6x² + 9x. נחשב אינטגרל מ-(-1) עד 0 של [4x - (x³ -6x² + 9x)] dx שזה האינטגרל של 4x - x³ + 6x² - 9x = -x³ + 6x² - 5x. נחשב אינטגרל לאיבריה: ∫(-x³) dx = -x⁴/4 ∫6x² dx = 2x³ ∫-5x dx = -5x²/2 נחשב בין -1 ל-0: F(0) = 0 F(-1) = -(-1)^4/4 + 2(-1)^3 -5(-1)^2/2 = -1/4 - 2 - 5/2 = -1/4 -2 -2.5 = -4.75 השטח = F(0) - F(-1) = 0 - (-4.75) = 4.75 = 19/4

פתרון שאלת שטח אינטגרלי

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = -x³ + 6x² - 9x והישר y = 4x בתחום מ־1 עד 0. מצא את השטח בין הפונקציה לישר בטווח הנתון.

אינטגרל מוגדרשטחפונקציה פולינומית

רמז: זהה את הפונקציה העליונה והתחתונה, הקם אינטגרל מוגדר, ושאל את התוצאה לאחר חישוב אינטגרלים באיברים.

פתרון מלא

תשובה סופית: 19/4

כפי שניתן לראות, הישר y = 4x הוא הפונקציה העליונה בתחום [-1,0]. שטח זה שווה לאינטגרל: ∫_-1^0 (4x - f(x)) dx = ∫_-1^0 (4x - (-x³ + 6x² - 9x)) dx = ∫_-1^0 (4x + x³ - 6x² + 9x) dx = ∫_-1^0 (x³ - 6x² + 13x) dx. חישוב אינטגרל מוביל לתוצאה של 19/4.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון לתרגיל חישוב שטח בין פונקציה וישר

שטח בין הפונקציה f(x) = -x³+6x²-9x לישר y=4x בטווח [-1,0]

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא השטח בין שתי הפונקציות בתחום הנתון
נתון 1
נתון 1
פונקציה: f(x) = -x³ + 6x² - 9x
נתון 2
נתון 2
ישר: y = 4x
נתון 3
תחום אינטגרציה: x מ-1- עד 0
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את האינטגרל המוגדר של ההפרש בין הפונקציה העליונה (ישר) לפונקציה התחתונה בתחום.
נוסחה
כתיבת אינטגרל תחום עם הפרש הפונקציות
אינטגרל ממינוס 1 ל-0 של (4x+ x בשלישית- 6 x בריבוע+ 9 x) דx∫_-1^0 (4x + x³ - 6x² + 9x) dx
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
חישוב אינטגרלים לכל איבר ועריכת הביטוי
חישוב אינטגרלים לכל איבר ועריכת הביטוי
וכו׳

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפונקציה והישר

מה עושים

רישום הפונקציה והישר הנתונים

למה

משום שהשטח הוא בין שני גרפים אלו

פונקציה f(x) = -x³ + 6x² -9x, ישר y=4x בטווח [-1,0]

בחירת שיטה

זיהוי הפונקציה העליונה והתחתונה

מה עושים

קביעת הפונקציה העליונה היא y=4x, התחתונה היא f(x)

למה

השטח הוא הפונקציה העליונה פחות התחתונה

מזהים שרשימה y=4x מעל f(x) בתחום הנתון

בניית משוואה

כתיבת הביטוי לאינטגרל

מה עושים

כתיבת אינטגרל תחום עם הפרש הפונקציות

למה

לחשב את השטח יש להשתמש באינטגרל מוגדר

∫_-1^0 [4x - (-x³ + 6x² - 9x)] dx

נוסחה / הצבה

אינטגרל ממינוס 1 ל-0 של (4x+ x בשלישית- 6 x בריבוע+ 9 x) דx∫_-1^0 (4x + x³ - 6x² + 9x) dx

הפרש פונקציות הוא עליונה פחות תחתונה

פתרון

אינטגרציה ופישוט

מה עושים

חישוב אינטגרלים לכל איבר ועריכת הביטוי

למה

כדי לקבל ביטוי מספרי סופי של השטח

האינטגרל: ∫_(-1)^0 -x⁴/4 + 2x³ - 5x²/2 dx שימוש בנוסחאות אינטגרציה סטנדרטיות

נוסחה / הצבה

אינטגרל של x³ הוא x חזקת 4 חלקי 4, אינטגרל של x² x חזקה 3וכו׳

להקפיד על הגבולות והמינוס

תשובה

חישוב ערך סופי

מה עושים

חשב את ערך הפונקציה ב-0 וב-(-1) והוצא הפרש

למה

כדי לקבל את השטח המבוקש

F(0) - F(-1) = 0 - (-19/4) = 19/4

התשובה היא שטח חיובי

פתרונות כלליים

חישוב נגזרת ופונקציה בנקודות קיצון: הנגזרת היא f'(x) = -3x^2 + 12x - 9. מדרוש לפתור: -3x^2 + 12x -9 = 0 ⇨ x^2 - 4x + 3 = 0 פתרון משוואת הריבוע מספק x=1 ו-x=3. חשוב: שים לב שהנגזרת מתאימה לחישובים. נציב ב-f(x): f(1) = -1 + 6 -9 = -4, f(3) = -27 + 54 - 27 = 0
מציאת משוואת ישר בין נקודות: m = (4-0)/(1-0) = 4. משוואת הישר y - 0 = 4 (x - 0), כלומר y = 4x
חישוב שטח בין פונקציה לינארית לפונקציה פולינומית: הפונקציה העליונה היא y=4x, התחתונה היא f(x) = x³ - 6x² + 9x. נחשב אינטגרל מ-(-1) עד 0 של [4x - (x³ -6x² + 9x)] dx שזה האינטגרל של 4x - x³ + 6x² - 9x = -x³ + 6x² - 5x. נחשב אינטגרל לאיבריה: ∫(-x³) dx = -x⁴/4 ∫6x² dx = 2x³ ∫-5x dx = -5x²/2 נחשב בין -1 ל-0: F(0) = 0 F(-1) = -(-1)^4/4 + 2(-1)^3 -5(-1)^2/2 = -1/4 - 2 - 5/2 = -1/4 -2 -2.5 = -4.75 השטח = F(0) - F(-1) = 0 - (-4.75) = 4.75 = 19/4
פתרון שאלת שטח אינטגרלי: כפי שניתן לראות, הישר y = 4x הוא הפונקציה העליונה בתחום [-1,0]. שטח זה שווה לאינטגרל: ∫_-1^0 (4x - f(x)) dx = ∫_-1^0 (4x - (-x³ + 6x² - 9x)) dx = ∫_-1^0 (4x + x³ - 6x² + 9x) dx = ∫_-1^0 (x³ - 6x² + 13x) dx. חישוב אינטגרל מוביל לתוצאה של 19/4.

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

ז4. שאלון 803 - פתרון מלא חורף 16 - תרגיל 4 - ניגזרת וחקירת פונקציה - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון לתרגיל חישוב שטח בין פונקציה וישר

מפת פתרון

למצוא השטח בין שתי הפונקציות בתחום הנתון

נתון 1

נתון 2

תחום אינטגרציה: x מ-1- עד 0

הרעיון המרכזי

כתיבת אינטגרל תחום עם הפרש הפונקציות

נבנה משוואה

חישוב אינטגרלים לכל איבר ועריכת הביטוי

פתרון מפורט

הפונקציה והישר

זיהוי הפונקציה העליונה והתחתונה

כתיבת הביטוי לאינטגרל

אינטגרציה ופישוט

חישוב ערך סופי

פתרונות כלליים