מרכז למידה
רמת 3 יח"ל שאלון 382
וידאו · חזרות ופתרון בחינות
תוכן הקורס
ז2. שאלון 803 - פתרון מלא חורף 16 - תרגיל 2 - אנליטית הישר - ארז כהן
ז3. שאלון 803 - פתרון מלא חורף 16 - תרגיל 3 - אנליטית הישר והמעגל - ארז כהן
ז4. שאלון 803 - פתרון מלא חורף 16 - תרגיל 4 - ניגזרת וחקירת פונקציה - ארז כהן
ז5. שאלון 803 - פתרון מלא חורף 16 - תרגיל 5 - אינטגרלים שטח - ארז כהן
ז6. שאלון 803 - פתרון מלא חורף 16 - תרגיל 6 - בעית קיצון - ארז כהן
ז6. תרגיל קיצון עם פונקציות ריבועיות ומרחק אנכי
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה y = -0.5 x^2 + 1 והישר y = -x. הנקודה A נמצאת על הישר והנקודה B על הפונקציה כך שהקטע AB מקביל לציר ה-Y. מצא את ערך ה-x של A כך שאורך הקטע AB יהיה מינימלי.
רמז: השתמש במשתנה אחד לתיאור נקודות A ו-B, הבטא את המרחק האנכי ביניהן, גזור ומצא מינימום.
תשובה סופית: x של A = 1, אורך AB המינימלי = 0.5
נסמן T את ה-x של הנקודה A. הנקודה A היא (T, -T) כי היא על הישר y=-x. הנקודה B היא (T, -0.5 T^2 +1) על הפונקציה. המרחק האנכי הוא הפרש ה-y: |(-T) - (-0.5 T^2 +1)| = |0.5 T^2 - T +1|. נשאר למזער את הביטוי D = 0.5 T^2 - T +1. נגזור: D' = T - 1. נשתווה ל-0: T - 1 = 0, נקבל T=1. נבדוק שהנגזרת השנייה D'' = 1 >0, מינימום. האורך המינימלי הוא D(1) = 0.5*1 -1 +1 =0.5.
מצא את ערך ה-x שממזער את אורך הקטע AB
הפונקציה y = -0.5 x^2 + 1הישר y = -xבטא את המרחק האנכי בין הנקודות כפונקציה של x, גזור את הפונקציה, השווה לנגזרת ל-0, ובדוק שהנקודה
D' = T - 1מציבים את הנתונים במשוואה.
שווה את הנגזרת לאפס ופתור עבור T.
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
נסמן את x של נקודות A ו-B כ-T.
למה
כיוון שהקטע מקביל לציר y, ישתמשו באותו x.
נקודה A היא (T, -T) על הישר y=-x, נקודה B היא (T, -0.5 T^2 +1).
השתמש באותו משתנה x כדי לתאר שתי נקודות.
בחירת שיטה
מה עושים
חשב את הפרש ה-y בין נקודות B ו-A.
למה
המרחק האנכי שווה להפרש בין ערכי y של שתי נקודות.
D = |(-T + 2) - (-0.5 T^2 +1)| = 0.5 T^2 - T +1.
נוסחה / הצבה
D = 0.5 T^2 - T + 1D = | (-T + 2) - (-0.5 T^2 + 1) | = 0.5 T^2 - T +1D= | (-T+ 2)פשט את הביטוי לפני הגזירה.
בניית משוואה
מה עושים
חשב את הנגזרת של D ביחס ל-T.
למה
כדי למצוא נקודות קיצון יש לגזור ולהשוות לנקודה 0.
D' = T - 1
נוסחה / הצבה
D' = T - 1חשוב לזכור את כלל הנגזרת של חזקות.
פתרון
מה עושים
שווה את הנגזרת לאפס ופתור עבור T.
למה
נקודת קיצון מתקבלת כאשר הנגזרת שווה לאפס.
T - 1 = 0 => T=1
בדוק את סוג הקיצון באמצעות נגזרת שנייה.
בדיקה
מה עושים
חשב את הנגזרת השנייה של D.
למה
נגזרת שנייה חיובית מצביעה על מינימום.
D'' = 1 > 0 לכן T=1 היא מינימום.
חשוב לבדוק את סוג הקיצון.
תשובה
מה עושים
הציב T=1 בפונקציית המרחק D.
למה
ככה נקבל את ערך המרחק המינימלי בין הנקודות.
D(1) = 0.5 * 1^2 - 1 + 1 = 0.5
התשובה היא אורך הקטע AB המינימלי.