שיעור המבוא להנדסה אנליטית הכולל הגדרות מערכת הצירים, תכנון וניתוח נקודות במרחב: חישוב מרחק בין שתי נקודות, חישוב שיפוע וקביעת נקודת האמצע ביניהן. טיפ חשוב בניהול חישובים במחשבון עם דגש על כתיבה נכונה והכנת פתרונות לבגרות.
הבנת מערכת הצירים והגדרת נקודות במרחב
להכיר ולחשב מרחק בין שתי נקודות באמצעות נוסחת המרחק
לדעת לחשב את השיפוע בין שתי נקודות
להגדיר ולחשב נקודת אמצע בין שתי נקודות
להשתמש נכון במחשבון מותאם לכתיבת נוסחאות בצורה טבעית
לדעת להשתמש נכון בסוגריים כדי למנוע טעויות בחישוב
הגדרת נקודות במערכת הצירים: הכרות עם מערכת הצירים הצמודה לנקודות A ו-B, סימון הקואורדינטות X ו-Y לכל נקודה.
חישוב המרחק בין שתי נקודות: נוסחת המרחק בין שתי נקודות במערכת הצירים והדגמה כיצד להשתמש במחשבון להערכת התוצאה באופן מדויק.
חישוב השיפוע בין שתי נקודות: הגדרת השיפוע בין שתי נקודות, ואלמנטים חשובים בהבנת משוואת הישר.

תרגול קצר

חישוב המרחק בין שתי נקודות במערכת הצירים

רמת קושי: קל

ממתין

נתונות הנקודות A(3,5) ו-B(-4,6). חשב את המרחק AB בין הנקודות.

הנדסה אנליטיתמרחקבגרות 3 יחידות

רמז: השתמש בנוסחת המרחק: הפרש האיקס בריבוע ועוד הפרש הוואי בריבוע, ואז שורש מהסכום.

פתרון מלא

תשובה סופית: 7.07

נכין את הקואורדינטות: X1=3, Y1=5 X2=-4, Y2=6 נחשב הפרשי הקואורדינטות: (3 - (-4)) = 3 + 4 = 7 (5 - 6) = -1 נחשב ריבועים: 7^2 = 49 (-1)^2 = 1 סכום הריבועים: 49 + 1 = 50 שורש הריבועי: שורש 50 = 7.07 (קירוב)

חישוב נקודת האמצע

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונות הנקודות A(7,3) ו-B(-3,-5). חשב את הקואורדינטות של נקודת האמצע ביניהן.

הנדסה אנליטיתנקודת אמצעבגרות 3 יחידות

רמז: אמצע הוא ממוצע X וממוצע Y של שתי הנקודות.

פתרון מלא

תשובה סופית: (2, -1)

X_M = (7 + (-3))/2 = (4)/2 = 2 Y_M = (3 + (-5))/2 = (-2)/2 = -1 נקודת האמצע היא (2, -1)

חישוב שיפוע בין שתי נקודות

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את השיפוע בין הנקודות A(3,5) ו-B(-4,6).

הנדסה אנליטיתשיפועבגרות 3 יחידות

רמז: שיפוע M הוא השינוי ב-Y חלקי השינוי ב-X.

פתרון מלא

תשובה סופית: -1/7

M = (6 - 5) / (-4 - 3) = 1 / (-7) = -1/7

חישוב המרחק עם נקודות חיוביות ושליליות

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונות הנקודות A(7,3) ו-B(-3,-5). חשב את המרחק AB בין הנקודות.

הנדסה אנליטיתמרחקבגרות 3 יחידותבגרות סגנון

רמז: זכור להקיף מספרים שליליים בסוגריים במחשבון כדי לקבל תוצאה נכונה.

פתרון מלא

תשובה סופית: 12.81

X1 = 7, Y1 = 3 X2 = -3, Y2 = -5 הפרשים: 7 - (-3) = 10 3 - (-5) = 8 ריבועים: 10^2 = 100 8^2 = 64 סכום הריבועים: 164 שורש 164 ≈ 12.81

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב המרחק בין שתי נקודות במערכת הצירים

פתרון בעזרת נוסחת המרחק

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא מרחק AB בין הנקודות A ו-B
נתון 1
נקודה A עם קואורדינטות (3,5)
נתון 2
נקודה B עם קואורדינטות (-4,6)
רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש בנוסחת המרחק שמתבססת על הפרשי הקואורדינטות ושורש ריבועי של סכום הריבועים.
נוסחה
נכניס את X1=3, Y1=5, X2=-4, Y2=6 לנוסחה
AB = שורש (-4 מינוס 3)^2 + (6 מינוס 5)^2AB = √((-4 - 3)^2 + (6 - 5)^2)AB = (-4 - 3)^2 + (6 - 5)^2
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
נחשב הפרשים: (-4 - 3) = -7, (6 - 5) = 1; ואז נחלק ריבוע כל הפרש
נחשב הפרשים: (-4 - 3) = -7, (6 - 5) = 1; ואז נחלק ריבוע כל הפרש
AB = שורש 49 ועוד 1 = שורש 50AB = √(49 + 1) = √50
תוצאה
מסיימים בתשובה
נחשב את שורש 50 ונקבל הערכה עשרונית

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

קואורדינטות נקודות

מה עושים

נסמן את נקודות A ו-B עם הקואורדינטות הנתונות

למה

כדי להשתמש בנוסחת המרחק נדרש לדעת את הקואורדינטות המדויקות

נקודה A: X1=3, Y1=5; נקודה B: X2=-4, Y2=6

בחירת שיטה

נוסחת המרחק בין נקודות

מה עושים

נשתמש בנוסחה AB = שורש (X2 - X1)^2 + (Y2 - Y1)^2

למה

הנוסחה מחברת בין הפרשים של הקואורדינטות דרך משפט פיתגורס

המטרה לחשב את אורך הקו הישר בין שתי הנקודות במישור

נוסחה / הצבה

AB = שורש (X2 - X1)^2 + (Y2 - Y1)^2AB = √((X2 - X1)^2 + (Y2 - Y1)^2)AB = (X_2 - X_1)^2 + (Y_2 - Y_1)^2

בניית משוואה

נחליף בנוסחה את הערכים

מה עושים

נכניס את X1=3, Y1=5, X2=-4, Y2=6 לנוסחה

למה

כדי להתכונן לחישוב, מציבים את הערכים

AB = שורש ( -4 - 3 )^2 + ( 6 - 5 )^2

נוסחה / הצבה

AB = שורש (-4 מינוס 3)^2 + (6 מינוס 5)^2AB = √((-4 - 3)^2 + (6 - 5)^2)AB = (-4 - 3)^2 + (6 - 5)^2

חשוב להקיף מספרים שליליים בסוגריים במחשבון

פתרון

נחשב את ההפרשים והריבועים

מה עושים

נחשב הפרשים: (-4 - 3) = -7, (6 - 5) = 1; ואז נחלק ריבוע כל הפרש

למה

כל שלב נקודתי הכרחי לחישוב מדויק של המרחק

AB = שורש (-7)^2 + 1^2 = שורש 49 + 1 = שורש 50

נוסחה / הצבה

AB = שורש 49 ועוד 1 = שורש 50AB = √(49 + 1) = √50AB = 49 + 1 = 50

ריבוע מספר שלילי הוא תמיד חיובי

תשובה

חישוב הערך הסופי

מה עושים

נחשב את שורש 50 ונקבל הערכה עשרונית

למה

כדי לקבל תשובה מספרית שקל לקרוא ולהבין

שורש 50 ≈ 7.07

פתרונות כלליים

חישוב המרחק בין שתי נקודות במערכת הצירים: נכין את הקואורדינטות: X1=3, Y1=5 X2=-4, Y2=6 נחשב הפרשי הקואורדינטות: (3 - (-4)) = 3 + 4 = 7 (5 - 6) = -1 נחשב ריבועים: 7^2 = 49 (-1)^2 = 1 סכום הריבועים: 49 + 1 = 50 שורש הריבועי: שורש 50 = 7.07 (קירוב)
חישוב נקודת האמצע: X_M = (7 + (-3))/2 = (4)/2 = 2 Y_M = (3 + (-5))/2 = (-2)/2 = -1 נקודת האמצע היא (2, -1)
חישוב שיפוע בין שתי נקודות: M = (6 - 5) / (-4 - 3) = 1 / (-7) = -1/7
חישוב המרחק עם נקודות חיוביות ושליליות: X1 = 7, Y1 = 3 X2 = -3, Y2 = -5 הפרשים: 7 - (-3) = 10 3 - (-5) = 8 ריבועים: 10^2 = 100 8^2 = 64 סכום הריבועים: 164 שורש 164 ≈ 12.81

הפריט הקודם הפריט הבא

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

א1. שאלון 803 - מערכת הצירים, כלי העבודה בהנדסה אנליטית - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

חישוב המרחק בין שתי נקודות במערכת הצירים

מפת פתרון

למצוא מרחק AB בין הנקודות A ו-B

נקודה A עם קואורדינטות (3,5)

נקודה B עם קואורדינטות (-4,6)

הרעיון המרכזי

נכניס את X1=3, Y1=5, X2=-4, Y2=6 לנוסחה

נבנה משוואה

נחשב הפרשים: (-4 - 3) = -7, (6 - 5) = 1; ואז נחלק ריבוע כל הפרש

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

קואורדינטות נקודות

נוסחת המרחק בין נקודות

נחליף בנוסחה את הערכים

נחשב את ההפרשים והריבועים

חישוב הערך הסופי

פתרונות כלליים