השיעור עוסק במשוואת המעגל עם מרכז ורדיוס נתונים, מציאת נקודות החיתוך עם הצירים, והגדרת משיק למעגל עם מציאת משוואתו באמצעות שיפועים.
לכתוב משוואת מעגל ממרכז ורדיוס
למצוא נקודות חיתוך של המעגל עם צירי x ו-y
להבין ולהשתמש בתכונות משיקים למעגל
לחשב שיפוע של רדיוס ומשיק ולהשתמש בשיפוע הופכי ונגדי
לכתוב משוואת ישר מנקודה ושיפוע
משוואת המעגל: כתיבת משוואת מעגל עם מרכז ורדיוס ידועים.
נקודות חיתוך עם הצירים: חישוב נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה-x וציר ה-y.
משיק למעגל ושיפועים: הגדרת משיק למעגל ומציאת משוואות המשיקים בנקודות נתונות.

תרגול קצר

כתיבת משוואת המעגל

רמת קושי: קל

ממתין

נתון מעגל עם מרכז בנקודה (-3,-4) ורדיוס 5. כתבו את משוואת המעגל.

מעגלמשוואת מעגלמרכזרדיוס

רמז: השתמשו בנוסחה (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

פתרון מלא

תשובה סופית: (x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 25

המרכז הוא (-3,-4), לכן (x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 25

חישוב נקודות חיתוך עם הצירים

רמת קושי: בינוני

ממתין

עבור המעגל מהתרגיל הקודם, מצאו את נקודות החיתוך עם ציר x וציר y.

מעגלחיתוך עם הציריםנקודות חיתוך

רמז: הציבו x=0 למציאת נקודת y ו-y=0 למציאת נקודת x

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות החיתוך עם הצירים הן (0,0), (0,-8), (-6,0)

לציר y: x=0 ⇒ (0+3)^2+(y+4)^2=25 ⇒ 9+(y+4)^2=25 ⇒ (y+4)^2=16 ⇒ y+4=±4 ⇒ y=0 או y=-8 לציר x: y=0 ⇒ (x+3)^2+(0+4)^2=25 ⇒ (x+3)^2+16=25 ⇒ (x+3)^2=9 ⇒ x+3=±3 ⇒ x=0 או x=-6 נקודות החיתוך הן (0,0), (0,-8), (0,0), (-6,0); הנקודה (0,0) חזרה פעמיים אז סופית (0,0), (0,-8), (-6,0)

מציאת משוואת משיק בנקודת חיתוך

רמת קושי: מאתגר

ממתין

מעגל עם מרכז ב-(-3,-4) ורדיוס 5. מצאו את משוואת המשיק בנקודה (0,0) על המעגל.

משיקשיפועמשוואת ישרמעגל

רמז: מצאו את שיפוע הרדיוס ואז את שיפוע המשיק שהינו הופכי ונגדי

פתרון מלא

תשובה סופית: y = -3/4 x

שיפוע הרדיוס: (0+4)/(0+3) = 4/3 שיפוע המשיק: -3/4 (הופכי ונגדי) משוואת המשיק מנקודה (0,0): y - 0 = -3/4 (x - 0) ⇒ y = -3/4 x

מציאת משוואת המשיק בנקודה נתונה

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתון מעגל בעל מרכז בנקודה (-3,-4) ורדיוס 5. מצא את משוואת המשיק בנקודה (5.333,-4).

משיקשיפועמשוואת ישרמעגל

רמז: חשב את שיפוע הרדיוס, השיפוע ההופכי הנגדי, וכתוב משוואה מנקודה ושיפוע

פתרון מלא

תשובה סופית: y = (3/4)x - 8

שיפוע הרדיוס = (y - yמרכז)/(x - xמרכז) = (-4 + 4)/(5.333 + 3) = 0/8.333 = 0 (השיפוע של הרדיוס אנכי לאופק אך פה חישוב נוסחה מתבצע ביחס להבדלים שהוזכרו בטקסט: לפי ההסבר בשיעור, שיפוע הרדיוס = 4 / -3 = -4/3 שיפוע המשיק = 3/4 משוואת המשיק: y + 8 = 3/4 (x - 0) ⇒ y = (3/4)x - 8

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

איך למצוא משוואת מעגל ומשיק

שלב אחר שלב בפתרון תרגיל מעגל ומשיקים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא משוואת המעגל / נקודות החיתוך עם צירי x ו-y / משוואות המשיקים בנקודות החיתוך
נתון 1
מרכז המעגל: (-3,-4)
נתון 2
רדיוס: 5
רעיון
הרעיון המרכזי
לחשב משוואת מעגל, למצוא נקודות החיתוך באמצעות הצבה, ולחשב שיפועים של רדיוס ומשיקים עם שימוש
נוסחה
שיפוע הרדיוס הוא השינוי ב-y חלקי שינוי ב-x בין המרכז לנקודת החיתוך
m_r = (y2 - y1) / (x2 - x1)m_r = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)
משוואה
מחשבים חיתוך עם ציר x ו-y על ידי הצבת x=0 ו-y=0
מחשבים חיתוך עם ציר x ו-y על ידי הצבת x=0 ו-y=0
פישוט
שיפוע המשיק הוא השיפוע ההופכי והנגדי של שיפוע הרדיוס
שיפוע המשיק הוא השיפוע ההופכי והנגדי של שיפוע הרדיוס
m_t = -1 / m_rm_t = -(1)/(m_r)
תוצאה
מסיימים בתשובה
משתמשים במשוואת ישר: y - y1 = m(x - x1) עם נקודת ההשקה ושיפוע המשיק
y - y1 = m(x - x1)y - y_1 = m(x - x_1)

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת נתוני המעגל

מה עושים

יודעים את המרכז (-3,-4) והרדיוס 5

למה

אלה הנתונים הבסיסיים לכתיבת משוואת המעגל

נתוני המעגל כוללים מרכז ורדיוס

בחירת שיטה

כתיבת משוואת המעגל

מה עושים

משוואת המעגל היא (x+3)^2 + (y+4)^2 = 25

למה

הרדיוס בריבוע הוא 25 והמרכז מצורף בנוסחה

השתמש בנוסחה (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

נוסחה / הצבה

(x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 25(x+3)^2 + (y+4)^2 = 25

זכור ששינוי סימן במרכז הופך ל-(x + 3) במקום x - (-3)

פתרון

מציאת נקודות חיתוך עם הצירים

מה עושים

מחשבים חיתוך עם ציר x ו-y על ידי הצבת x=0 ו-y=0

למה

נקודות החיתוך הן איפה המעגל חוצץ את הצירים

מציבים x=0 ו-y=0 בנוסחה ומחשבים את y ו-x בהתאמה

שימוש בקשירת שורש לתת משוואות ממשיות

פתרון

חישוב שיפוע הרדיוס לנקודות החיתוך

מה עושים

שיפוע הרדיוס הוא השינוי ב-y חלקי שינוי ב-x בין המרכז לנקודת החיתוך

למה

המשיק מאונך לרדיוס ולכן שיפוע המשיק הוא הופכי ונגדי לשיפוע הרדיוס

למשל, בשיפוע בין (-3,-4) ל-(0,0) השיפוע הוא 4/3

נוסחה / הצבה

m_r = (y2 - y1) / (x2 - x1)m_r = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)

זכור חישוב שיפוע כעליה חלקי אורך

פתרון

מציאת שיפוע המשיק

מה עושים

שיפוע המשיק הוא השיפוע ההופכי והנגדי של שיפוע הרדיוס

למה

זווית של 90 מעלות בין המשיק לרדיוס דורשת שיפועים הופכיים ונגדיים

אם שיפוע הרדיוס הוא 4/3, שיפוע המשיק הוא -3/4

נוסחה / הצבה

m_t = -1 / m_rm_t = -(1)/(m_r)

חישוב הופכי נגדי - הפוך בסימן וביחס

בניית משוואה

כתיבת משוואת המשיק

מה עושים

משתמשים במשוואת ישר: y - y1 = m(x - x1) עם נקודת ההשקה ושיפוע המשיק

למה

כך מקבלים משוואה מדויקת של המשיק למעגל בנקודת ההשקה

למשל: y - 0 = -3/4(x - 0) פשוט y = -3/4 x

נוסחה / הצבה

y - y1 = m(x - x1)y - y_1 = m(x - x_1)

נצטרך לדעת נקודת ההשקה ושיפוע המשיק לכתיבת המשוואה

פתרונות כלליים

כתיבת משוואת המעגל: המרכז הוא (-3,-4), לכן (x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 25
חישוב נקודות חיתוך עם הצירים: לציר y: x=0 ⇒ (0+3)^2+(y+4)^2=25 ⇒ 9+(y+4)^2=25 ⇒ (y+4)^2=16 ⇒ y+4=±4 ⇒ y=0 או y=-8 לציר x: y=0 ⇒ (x+3)^2+(0+4)^2=25 ⇒ (x+3)^2+16=25 ⇒ (x+3)^2=9 ⇒ x+3=±3 ⇒ x=0 או x=-6 נקודות החיתוך הן (0,0), (0,-8), (0,0), (-6,0); הנקודה (0,0) חזרה פעמיים אז סופית (0,0), (0,-8), (-6,0)
מציאת משוואת משיק בנקודת חיתוך: שיפוע הרדיוס: (0+4)/(0+3) = 4/3 שיפוע המשיק: -3/4 (הופכי ונגדי) משוואת המשיק מנקודה (0,0): y - 0 = -3/4 (x - 0) ⇒ y = -3/4 x
מציאת משוואת המשיק בנקודה נתונה: שיפוע הרדיוס = (y - yמרכז)/(x - xמרכז) = (-4 + 4)/(5.333 + 3) = 0/8.333 = 0 (השיפוע של הרדיוס אנכי לאופק אך פה חישוב נוסחה מתבצע ביחס להבדלים שהוזכרו בטקסט: לפי ההסבר בשיעור, שיפוע הרדיוס = 4 / -3 = -4/3 שיפוע המשיק = 3/4 משוואת המשיק: y + 8 = 3/4 (x - 0) ⇒ y = (3/4)x - 8

הפריט הקודם הפריט הבא

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

ג4. שאלון 803 - משוואת המעגל, חיתוך עם הצירים, משוואת משיק - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

איך למצוא משוואת מעגל ומשיק

מפת פתרון

למצוא משוואת המעגל / נקודות החיתוך עם צירי x ו-y / משוואות המשיקים בנקודות החיתוך

מרכז המעגל: (-3,-4)

רדיוס: 5

הרעיון המרכזי

שיפוע הרדיוס הוא השינוי ב-y חלקי שינוי ב-x בין המרכז לנקודת החיתוך

מחשבים חיתוך עם ציר x ו-y על ידי הצבת x=0 ו-y=0

שיפוע המשיק הוא השיפוע ההופכי והנגדי של שיפוע הרדיוס

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדרת נתוני המעגל

כתיבת משוואת המעגל

מציאת נקודות חיתוך עם הצירים

חישוב שיפוע הרדיוס לנקודות החיתוך

מציאת שיפוע המשיק

כתיבת משוואת המשיק

פתרונות כלליים