בשיעור זה חזרנו על מושגי יסוד בנגזרות, מציאת משיקים לנקודות מסוימות על פונקציות ריבועיות, חיתוכים עם צירים ומציאת נקודות מינימום ומקסימום באמצעות נגזרת ראשונה.
להבין ולחשב נגזרות של פונקציות פולינומיות
למצוא משוואת משיק לפונקציה בנקודה נתונה
לחשב חיתוכים עם ציר X ו-Y
למצוא נקודות קיצון (מינימום/מקסימום) בעזרת פתרון משוואות נגזרות
לזהות תחומי עלייה וירידה של פונקציות
חזרה על נגזרות בסיסיות: חזרה על חוקי הנגזרת הפשוטים עבור פונקציות מעריכיות של X, כולל מספרים, חזקה, ומכפלה בקבוע.
מציאת משיק לפונקציה: איך לחשב משוואת משיק לנקודה נתונה ע"י חישוב ערכי הפונקציה והנגזרת בנקודה ושימוש בנוסחה
חיתוכים עם צירי X ו-Y: הבחנה בין חיתוך עם ציר Y (X=0) וחיתוך עם ציר X (Y=0) ואיך לחשב כל אחד מהם
נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה: מציאת נקודות מינימום ומקסימום ע"י פתרון משוואת הנגזרת שווה לאפס וסימון תחומי עלייה וירידה

תרגול קצר

מציאת נגזרת לפונקציה פולינומית

רמת קושי: קל

ממתין

מצא את הנגזרת של הפונקציה y = x^2 - 5x + 6.

נגזרותחישוב ידניפולינום

רמז: השתמש בכלל נגזרת החזקה בנפרד לכל איבר וחבר ביניהם.

פתרון מלא

תשובה סופית: y' = 2x - 5

נגזרת x^2 הוא 2x, נגזרת -5x הוא -5, נגזרת 6 היא 0. לכן, y' = 2x - 5.

משוואת המשיק בנקודה נתונה

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה הפונקציה y = x^2 - 5x + 6. מצא את משוואת המשיק לנקודה שבה x=4.

משיקיםנגזרותפונקציות ריבועיות

רמז: חשב את y ו-m (השיפוע) בנקודה x=4 והשתמש בנוסחה y-y1 = m(x - x1).

פתרון מלא

תשובה סופית: y = 3x - 10

y(4) = 16 - 20 + 6 = 2; y'(x) = 2x - 5; y'(4) = 8 - 5 = 3; משוואת המשיק: y - 2 = 3*(x - 4), y = 3x - 10.

חיתוך עם ציר X וחישוב נקודות קיצון

רמת קושי: מאתגר

ממתין

עבור הפונקציה y = x^2 - 5x + 6, מצא את נקודות החיתוך עם ציר X ואת נקודת המינימום המקומית.

חיתוכיםנקודות קיצוןפתרון משוואות

רמז: חיתוך עם ציר X: פתר את y=0. נקודת קיצון: מצא את y' ופתור y'=0.

פתרון מלא

תשובה סופית: חיתוך עם ציר X ב-2,3; מינימום ב-(2.5,-0.25)

חיתוך עם ציר X: x^2 -5x + 6 = 0 => (x-3)(x-2)=0 => x=2,3. נקודת קיצון: y' = 2x -5=0 => x=2.5; y(2.5) = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25, זו נקודת מינימום.

שאלה משולבת - משיק, חיתוכים וקיצון

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = x^2 - 5x + 6. א. מצא את משוואת המשיק לנקודה שבה x=4. ב. חשב את נקודות החיתוך של הפונקציה עם צירי הצירים. ג. מצא את נקודת המינימום המקומית של הפונקציה.

שאלות בגרותמשיקיםחיתוכיםנקודות קיצון

רמז: א. התחל מחישוב f(4) ו-f'(4). ב. חיתוך עם ציר Y: מצא f(0), חיתוך עם ציר X: פתר את f(x)=0. ג. פתח את נגזרת הפונקציה y' = 0 למציאת נקודות קיצון.

פתרון מלא

תשובה סופית: א. y=3x-10; ב. חיתוך עם ציר Y: (0,6), חיתוך עם ציר X: (2,0) ו-(3,0); ג. מינימום ב-(2.5,-0.25)

א. f(4)=2; f'(x)=2x-5, f'(4)=3; משוואת המשיק: y - 2 = 3(x - 4) => y=3x-10. ב. f(0)=6 (חיתוך עם ציר Y). פתרון x^2 - 5x + 6=0 נותן x=2,3 (חיתוך עם ציר X). ג. נקודת קיצון: 2x-5=0 => x=2.5; f(2.5)=-0.25; זוהי נקודת מינימום.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון - משוואת המשיק לנקודה נתונה

חישוב משוואת המשיק לפונקציה ריבועית בנקודה x=4

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא משוואת המשיק לנקודה x=4
נתון 1
נתון 1
הפונקציה y = x² - 5x + 6
נתון 2
נתון 2
נקודת x = 4
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב תחילה את ערך הפונקציה בנקודה, לאחר מכן את ערך הנגזרת (שיפוע המשיק) בנקודה, ולבסוף נשתמש
נוסחה
מחשבים את הנגזרת y' = 2x - 5, ומציבים x=4.
y' = 2x - 5נחליף x = 4m = 2*4 - 5 = 8 - 5 = 3
משוואה
נשתמש בנוסחה y - y1 = m(x - x1) עם הנתונים.
נשתמש בנוסחה y - y1 = m(x - x1) עם הנתונים.
y - y1 = m (x - x1)y - y_1 = m (x - x_1)
פישוט
נציב y1=2, m=3, x1=4 במשוואה ונפשט.
נציב y1=2, m=3, x1=4 במשוואה ונפשט.
y - 2 = 3(x - 4)y - 2 = 3x - 12
תוצאה
מסיימים בתשובה
המשיק בנקודה x=4 הוא y = 3x -10.
y = 3x - 10

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

פונקציה ונקודה נתונה

מה עושים

נתונה הפונקציה y = x² - 5x + 6 ונקודת x=4.

למה

להבין את נקודת ההתחלה לחישוב המשיק.

בחירת שיטה

חישוב ערך הפונקציה בנקודה

מה עושים

מחשבים y בנקודת x=4 ע"י הצבה בפונקציה.

למה

כדי לדעת את נקודת הפונקציה עליה יהיה המשיק.

y1 = 4^2 - 5*4 + 6 = 16 - 20 + 6 = 2

בחירת שיטה

חישוב שיפוע המשיק (נגזרת)

מה עושים

מחשבים את הנגזרת y' = 2x - 5, ומציבים x=4.

למה

השיפוע במשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה.

נוסחה / הצבה

y' = 2x - 5נחליף x = 4m = 2*4 - 5 = 8 - 5 = 3

בניית משוואה

כתיבת נוסחת המשיק

מה עושים

נשתמש בנוסחה y - y1 = m(x - x1) עם הנתונים.

למה

זו הנוסחה הסטנדרטית של משוואת ישר מנקודה עם שיפוע.

נוסחה / הצבה

y - y1 = m (x - x1)y - y_1 = m (x - x_1)

פתרון

הצבה ופישוט המשוואה

מה עושים

נציב y1=2, m=3, x1=4 במשוואה ונפשט.

למה

לקבלת משוואת המשיק בצורה סופית.

נוסחה / הצבה

y - 2 = 3(x - 4)y - 2 = 3x - 12y = 3x - 10

תשובה

משוואת המשיק הסופית

מה עושים

המשיק בנקודה x=4 הוא y = 3x -10.

למה

זו התשובה הסופית לשאלה.

נוסחה / הצבה

y = 3x - 10

פתרונות כלליים

מציאת נגזרת לפונקציה פולינומית: נגזרת x^2 הוא 2x, נגזרת -5x הוא -5, נגזרת 6 היא 0. לכן, y' = 2x - 5.
משוואת המשיק בנקודה נתונה: y(4) = 16 - 20 + 6 = 2; y'(x) = 2x - 5; y'(4) = 8 - 5 = 3; משוואת המשיק: y - 2 = 3*(x - 4), y = 3x - 10.
חיתוך עם ציר X וחישוב נקודות קיצון: חיתוך עם ציר X: x^2 -5x + 6 = 0 => (x-3)(x-2)=0 => x=2,3. נקודת קיצון: y' = 2x -5=0 => x=2.5; y(2.5) = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25, זו נקודת מינימום.
שאלה משולבת - משיק, חיתוכים וקיצון: א. f(4)=2; f'(x)=2x-5, f'(4)=3; משוואת המשיק: y - 2 = 3(x - 4) => y=3x-10. ב. f(0)=6 (חיתוך עם ציר Y). פתרון x^2 - 5x + 6=0 נותן x=2,3 (חיתוך עם ציר X). ג. נקודת קיצון: 2x-5=0 => x=2.5; f(2.5)=-0.25; זוהי נקודת מינימום.

הפריט הקודם הפריט הבא

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

ד2. שאלון 803 - חזרה על טכניקה של גזירה, מציאת משיק, מציאת נקודות קיצון - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון - משוואת המשיק לנקודה נתונה

מפת פתרון

למצוא משוואת המשיק לנקודה x=4

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

מחשבים את הנגזרת y' = 2x - 5, ומציבים x=4.

נשתמש בנוסחה y - y1 = m(x - x1) עם הנתונים.

נציב y1=2, m=3, x1=4 במשוואה ונפשט.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

פונקציה ונקודה נתונה

חישוב ערך הפונקציה בנקודה

חישוב שיפוע המשיק (נגזרת)

כתיבת נוסחת המשיק

הצבה ופישוט המשוואה

משוואת המשיק הסופית

פתרונות כלליים