שיעור על חקירת פונקציה עם שורש, הכולל הבנת תחום הגדרה, חיתוכים עם הצירים, מציאת נקודות קיצון וניצול המחשבון לקידום החישובים.
להבין את תחום ההגדרה של פונקציה עם שורש
למצוא נקודות חיתוך של הפונקציה עם צירי x ו-y
לחשב נגזרת של פונקציה עם שורש
למצוא נקודות קיצון של הפונקציה
להבין איך ליישם חישובי שורש ושיטות מודולאריות לפישוט המשוואות
להשתמש במחשבון בצורה נכונה לפתרון פונקציות עם שורש
תחום הגדרה וחיתוך עם הצירים: קביעת תחום ההגדרה על סמך תנאי השורש וחיתוך הפונקציה עם ציר y וציר x.
נגזרת ונקודות קיצון: חישוב הנגזרת של הפונקציה הכוללת שורש ומציאת נקודות קיצון על ידי פתרון משוואה נגזרת=0.
שימוש במחשבון לחישובים: הדגמה של שימוש במחשבון המדעי לחישוב ערכי הפונקציה והנגזרת, ופתרון משוואות עם שורשים.

תרגול קצר

מציאת חיתוך עם ציר y

רמת קושי: קל

ממתין

מצא את חיתוך הפונקציה y = √3 - x עם ציר y.

חיתוך עם צירשורשפונקציה

רמז: הצבת x=0 בפונקציה תיתן את נקודת החיתוך עם ציר y.

פתרון מלא

תשובה סופית: (0, √3)

נציב x=0 ב-y = √3 - x. √3 - 0 = √3. נקודת החיתוך היא (0,√3).

חישוב נקודת חיתוך עם ציר x

רמת קושי: בינוני

ממתין

מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה y = √3x - x עם ציר x.

חיתוך עם צירשורשפונקציה

רמז: חיתוך עם ציר x הוא כאשר y=0, צריך לפתור את המשוואה √3x - x = 0.

פתרון מלא

תשובה סופית: (3/4, 0)

נפתח: √3x = x. נעביר אגף: √3x = x נבודד: x = 3/4 (באמצעות עליית בריבוע ופישוט) נקודת החיתוך עם ציר x היא (3/4,0).

מציאת נקודות קיצון וניתוח תחום עלייה וירידה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

לפי הפונקציה y = √3 - x, גזור ומצא את נקודות הקיצון. ציין את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

נגזרתנקודות קיצוןשורש

רמז: חשוב לגזור לפי כלל נגזרת של שורש ולפתור y' = 0.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת קיצון ב-x=2.25, מקסימום. עלייה ב-(0,2.25), ירידה ב-(2.25,∞)

הנגזרת היא y' = 3 - 2√x. פתור y'=0: 3 - 2√x = 0 ↔ √x = 3/2 ↔ x = (3/2)^2 = 2.25 בדיקה סביב 2.25 מראה ש-y' חיובי לפני וילך לריבוע השלישי אז מטה, כך שזו נקודת מקסימום. תחום העלייה לפני 2.25 ותחום הירידה אחריה.

תרגיל חקירת פונקציה עם שורש

רמת קושי: בגרות

ממתין

חקור את הפונקציה y = √3x - x: תחום הגדרה, חיתוכים, נקודות קיצון, עלייה וירידה, ושרטוט משוער של הגרף.

בגרותחקירת פונקציהשורש

רמז: התחל מתחום ההגדרה, המשך לחיתוכים, נגזור ונמצא נקודות קיצון, ואז נסמן תחומי עלייה וירידה.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום הגדרה x≥0, חיתוכים (0,√3), (3/4,0), נקודת מקסימום ב-2.25

תחום ההגדרה: x≥0. חיתוך עם ציר y: (0, √3) חיתוך עם ציר x: (3/4, 0) נגזרת: y' = 3 - 2√x נקודת קיצון: x = 2.25, נקודת מקסימום תחום עלייה: (0, 2.25) תחום ירידה: (2.25, ∞) גרף עולה מ-0 עד 2.25 ואז יורד.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל חקירת פונקציה עם שורש

חקירת y = √3x - x: תחום, חיתוכים ונקודות קיצון

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא תחום הגדרה של הפונקציה / חיתוך עם ציר y וציר x / נקודות קיצון של הפונקציה / תחומי
נתון 1
נתון 1
y = √3x - x
נתון 2
√3 הוא שורש של 3
נתון 3
נגזרת של √x היא 1 חלקי 2√x
רעיון
הרעיון המרכזי
נחקור תחילה את תחום ההגדרה, נמצא חיתוכים עם הצירים, נגזור ונפתור את y' = 0, ואז ננתח את תחומי
נוסחה
העלה בריבוע כדי להיפטר מהשורש ואז פשט ונמצא x.
3x = x squared3x = x^23x = x^(2)
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
נגזור את y לפי x ונמצא את y'.
נגזור את y לפי x ונמצא את y'.
y' = 3/(2√x) - 1

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת הפונקציה ותחום

מה עושים

נתון y = √3x - x, תחום ההגדרה הוא x ≥ 0.

למה

שורש x מוגדר רק עבור x חיובי או אפס.

תחום ההגדרה מוגבל מאחר ו-y כולל שורש של x.

שימו לב לתחום בהצבת ערכים.

זיהוי נתונים

חיתוך עם ציר y

מה עושים

נציב x=0 ונחשב y.

למה

חיתוך עם ציר y מתקבל בערך y כאשר x=0.

y(0) = √3*0 - 0 = 0.

בדרך כלל y בנקודה x=0.

בחירת שיטה

חישוב חיתוך עם ציר x

מה עושים

נפתור y=0 כלומר √3x - x = 0.

למה

החיתוך עם ציר x מתרחש כאשר הפונקציה שווה ל-0.

נבודד ובודק משוואה לנקודות חיתוך.

ניתן לפתור באמצעות העלאת בריבוע ופישוט.

בניית משוואה

פתרון משוואה לחיתוך עם ציר x

מה עושים

העלה בריבוע כדי להיפטר מהשורש ואז פשט ונמצא x.

למה

העלאת בריבוע מסירה שורש ומאפשרת לפשט את המשוואה.

√3x - x = 0 3x = x² x² - 3x = 0 x(x-3) = 0 x = 0 או x = 3. מתחום ההגדרה נכנס x=0 ו-3.

נוסחה / הצבה

3x = x squared3x = x^23x = x^(2)

שימו לב לפתרונות שמתאימים לתחום ההגדרה.

בחירת שיטה

חישוב נגזרת הפונקציה

מה עושים

נגזור את y לפי x ונמצא את y'.

למה

למצוא נקודות קיצון נדרש פתרון y' = 0.

נגזרת של √3x היא 3 חלקי 2√x, נגזרת של -x היא -1. לכן y' = 3/(2√x) -1.

נוסחה / הצבה

y prime = 3 divided by 2 times square root x minus 1y' = 3/(2√x) - 1y' = (3)/(2x) - 1

שימו לב לנגזרת של שורש שמורכבת מחזקות שברים.

פתרון

פתרון y' = 0 למציאת נקודות קיצון

מה עושים

נפתור 3/(2√x) -1 = 0 ונמצא x.

למה

נקודות שבהן y' שווה 0 הן נקודות קיצון אפשריות.

3/(2√x) = 1 => 3 = 2√x √x = 3/2 x = (3/2)^2 = 2.25

נוסחה / הצבה

3 divided by (2 times square root x) equals 13/(2√x) = 1(3)/(2x)=1

חשוב לפתור בזהירות בגבולות תחום ההגדרה.

פתרונות כלליים

מציאת חיתוך עם ציר y: נציב x=0 ב-y = √3 - x. √3 - 0 = √3. נקודת החיתוך היא (0,√3).
חישוב נקודת חיתוך עם ציר x: נפתח: √3x = x. נעביר אגף: √3x = x נבודד: x = 3/4 (באמצעות עליית בריבוע ופישוט) נקודת החיתוך עם ציר x היא (3/4,0).
מציאת נקודות קיצון וניתוח תחום עלייה וירידה: הנגזרת היא y' = 3 - 2√x. פתור y'=0: 3 - 2√x = 0 ↔ √x = 3/2 ↔ x = (3/2)^2 = 2.25 בדיקה סביב 2.25 מראה ש-y' חיובי לפני וילך לריבוע השלישי אז מטה, כך שזו נקודת מקסימום. תחום העלייה לפני 2.25 ותחום הירידה אחריה.
תרגיל חקירת פונקציה עם שורש: תחום ההגדרה: x≥0. חיתוך עם ציר y: (0, √3) חיתוך עם ציר x: (3/4, 0) נגזרת: y' = 3 - 2√x נקודת קיצון: x = 2.25, נקודת מקסימום תחום עלייה: (0, 2.25) תחום ירידה: (2.25, ∞) גרף עולה מ-0 עד 2.25 ואז יורד.

הפריט הקודם הפריט הבא

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

ה4. שאלון 803 - תרגיל בחקירת פונקציה עם שורש - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון תרגיל חקירת פונקציה עם שורש

מפת פתרון

למצוא תחום הגדרה של הפונקציה / חיתוך עם ציר y וציר x / נקודות קיצון של הפונקציה / תחומי

נתון 1

√3 הוא שורש של 3

נגזרת של √x היא 1 חלקי 2√x

הרעיון המרכזי

העלה בריבוע כדי להיפטר מהשורש ואז פשט ונמצא x.

נבנה משוואה

נגזור את y לפי x ונמצא את y'.

פתרון מפורט

הגדרת הפונקציה ותחום

חיתוך עם ציר y

חישוב חיתוך עם ציר x

פתרון משוואה לחיתוך עם ציר x

חישוב נגזרת הפונקציה

פתרון y' = 0 למציאת נקודות קיצון

פתרונות כלליים