בשיעור זה נלמד כיצד למצוא פונקציה נתונה הנגזרת שלה על ידי ביצוע אינטגרל ופענוח קבוע האינטגרציה באמצעות נקודה נתונה.
לחשב אינטגרל של פונקציה נתונה
להבין מהו קבוע האינטגרציה c
למצוא את קבוע האינטגרציה ע"י הצבת נקודה בפונקציה
לבנות פונקציה שלמה מהנגזרת שלה
הבנת הבעיה: נתונה נגזרת של פונקציה יחד עם נקודה על הפונקציה. מטרתנו היא למצוא את הפונקציה המקורית.
פתרון הבעיה: מחשבים אינטגרל של הנגזרת לקבלת הפונקציה עם c, ואז מוצאים את c בהצבת הנקודה הנתונה.

תרגול קצר

מוצא הפונקציה לנגזרת נתונה וקבוע אינטגרציה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה נגזרת הפונקציה y' = 2x² - 3x + 1 וידוע כי הגרף של הפונקציה עובר בנקודה (1,1). מצא את הפונקציה y(x).

אינטגרלקבוע אינטגרציהפונקציהנגזרת

רמז: בצע אינטגרל רגיל של הפונקציה y'. הוסף +c. הצב x=1 ו-y=1 כדי למצוא את c.

פתרון מלא

תשובה סופית: y = (2/3) x³ - (3/2) x² + x + 5/6

נחשב את האינטגרל של y' לפי x: ∫(2x² - 3x + 1) dx = (2 x³)/3 - (3 x²)/2 + x + c נציב בנקודה x=1, y=1: (2 (1)³)/3 - (3 (1)²)/2 + 1 + c = 1 2/3 - 3/2 + 1 + c = 1 (2/3 + 1) - 3/2 + c = 1 (5/3) - 3/2 + c = 1 נחשב מכנה משותף: (10/6) - (9/6) + c = 1 (1/6) + c = 1 c = 1 - 1/6 = 5/6 לכן: y = (2 x³)/3 - (3 x²)/2 + x + 5/6

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

איך למצוא פונקציה מהנגזרת ונתון נקודה

שלבי פתרון למציאת פונקציה עם קבוע אינטגרציה

8 תחנות6 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא הפונקציה y(x) הכוללת את קבוע האינטגרציה c
נתון 1
נתון 1
נגזרת הפונקציה: y' = 2x² - 3x + 1
נתון 2
נקודה על הפונקציה: (1,1)
רעיון
הרעיון המרכזי
מבצעים אינטגרל של y' ופתרון ל-c ע"י הצבת הנקודה הנתונה.
נוסחה
רשום את y = (2 x³)/3 - (3 x²)/2 + x + c.
y = 2 x^3 / 3 - 3 x^2 / 2 + x + cy = (2 x^(3))/(3) - (3 x^(2))/(2) + x + c
משוואה
הציב x=1 ו-y=1 במשוואה וחשב את c.
הציב x=1 ו-y=1 במשוואה וחשב את c.
2*1^3/3 - 3*1^2/2 + 1 + c = 1(2 (1)^3)/3 - (3 (1)^2)/2 + 1 + c = 1(2 (1)^3)/(3) - (3 (1)^2)/(2) + 1 + c = 1
פישוט
חשב ופתור למשוואה c = 5/6.
חשב ופתור למשוואה c = 5/6.
c = 1 - (2/3 - 3/2 + 1) = 5/6c = 1 - ((2)/(3) - (3)/(2) + 1) = (5)/(6)
תוצאה
מסיימים בתשובה
החלף את c במשוואה וקבל את y הסופית.
y = 2 x^3 / 3 - 3 x^2 / 2 + x + 5/6y = (2 x³)/3 - (3 x²)/2 + x + 5/6

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הבנת הנתונים

מה עושים

קרא את הנגזרת y' ואת הנקודה (1,1).

למה

הנגזרת והנקודה מהווים את הבסיס למציאת הפונקציה.

בחירת שיטה

חישוב אינטגרל

מה עושים

חשב את האינטגרל של y' לפי x אשר ייתן y עם + c.

למה

אינטגרציה הופכת את הנגזרת חזרה לפונקציה המקורית עם קבוע אינטגרציה.

נוסחה / הצבה

2 x^2 - 3 x + 1 אינטגרל לפי x∫(2x² - 3x + 1) dx(2x^(2) - 3x + 1) dx

תזכור להוסיף את +c לאחר האינטגרל.

בניית משוואה

כתיבת פונקציה עם c

מה עושים

רשום את y = (2 x³)/3 - (3 x²)/2 + x + c.

למה

זוהי הפונקציה הכללית לאחר אינטגרציה עם קבוע לא ידוע.

נוסחה / הצבה

y = 2 x^3 / 3 - 3 x^2 / 2 + x + cy = (2 x^(3))/(3) - (3 x^(2))/(2) + x + c

פתרון

מציאת קבוע c

מה עושים

הציב x=1 ו-y=1 במשוואה וחשב את c.

למה

הנקודה מאפשרת לחשב את ערך c הבלתי ידוע.

נוסחה / הצבה

2*1^3/3 - 3*1^2/2 + 1 + c = 1(2 (1)^3)/3 - (3 (1)^2)/2 + 1 + c = 1(2 (1)^3)/(3) - (3 (1)^2)/(2) + 1 + c = 1

השתמש בחישוב מדויק או מחשבון.

פתרון

פישוט המשוואה וקבלת c

מה עושים

חשב ופתור למשוואה c = 5/6.

למה

זהו ערך קבוע האינטגרציה החסר לפונקציה.

נוסחה / הצבה

c = 1 - (2/3 - 3/2 + 1) = 5/6c = 1 - ((2)/(3) - (3)/(2) + 1) = (5)/(6)

תשובה

כתיבת הפונקציה הסופית

מה עושים

החלף את c במשוואה וקבל את y הסופית.

למה

זו הפונקציה המדויקת שהגרף עובר דרכה עם הנגזרת הנתונה.

נוסחה / הצבה

y = 2 x^3 / 3 - 3 x^2 / 2 + x + 5/6y = (2 x³)/3 - (3 x²)/2 + x + 5/6y = (2 x^(3))/(3) - (3 x^(2))/(2) + x + (5)/(6)

פתרונות כלליים

מוצא הפונקציה לנגזרת נתונה וקבוע אינטגרציה: נחשב את האינטגרל של y' לפי x: ∫(2x² - 3x + 1) dx = (2 x³)/3 - (3 x²)/2 + x + c נציב בנקודה x=1, y=1: (2 (1)³)/3 - (3 (1)²)/2 + 1 + c = 1 2/3 - 3/2 + 1 + c = 1 (2/3 + 1) - 3/2 + c = 1 (5/3) - 3/2 + c = 1 נחשב מכנה משותף: (10/6) - (9/6) + c = 1 (1/6) + c = 1 c = 1 - 1/6 = 5/6 לכן: y = (2 x³)/3 - (3 x²)/2 + x + 5/6

הפריט הקודם הפריט הבא

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

ה10. שאלון 803 - מציאת פונקציה בעזרת אינטגרל על ניגזרת והצבת נקודה, מציאת קבוע אינטגרציה- ארז כהן

ניווט לפי נושאים

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

איך למצוא פונקציה מהנגזרת ונתון נקודה

מפת פתרון

למצוא הפונקציה y(x) הכוללת את קבוע האינטגרציה c

נתון 1

נקודה על הפונקציה: (1,1)

הרעיון המרכזי

רשום את y = (2 x³)/3 - (3 x²)/2 + x + c.

הציב x=1 ו-y=1 במשוואה וחשב את c.

חשב ופתור למשוואה c = 5/6.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הבנת הנתונים

חישוב אינטגרל

כתיבת פונקציה עם c

מציאת קבוע c

פישוט המשוואה וקבלת c

כתיבת הפונקציה הסופית

פתרונות כלליים