השיעור מתמקד בפתרון בעיית קיצון שבה יש למצוא שני מספרים המקיימים משוואה ליניארית, כך שסכום ריבועיהם הוא מינימלי. הנושא כולל פונקציית מטרה, הצבת משתנים, פישוט נגזרות ובדיקת קיצון.
להגדיר בעיית קיצון במתמטיקה
להבחין בין פונקציית מטרה לבין מגבלות המשוואה בהינתן משתנים
לבודד נעלם ממשוואה ולהציב בפונקציית המטרה כדי להפחית משתנים
לפשט ביטויים ולהשתמש בנגזרות למציאת נקודות קיצון
לבחון האם נקודת גזירה היא מינימום על ידי בדיקת השינוי בנגזרת
ליישם תהליך זה על פונקציה עם שני משתנים בעת פתרון בעיות קיצון
הגדרת בעיית הקיצון: מוצגת בעיית קיצון שבה נתונים שני מספרים המשתנים כך ש-2*x + y = 25 ומבקשים ממזער את סכום ריבועיהם.
הכנת פונקציית המטרה לצורה מיטבית: בודדים את המשתנה y ממשוואת המגבלה, ומציבים בנוסחת סכום הריבועים כדי לקבל פונקציה בת משתנה אחד לנוחות חישוב הנגזרת.
מציאת הנקודה הקיצונית: גוזרים את פונקציית המטרה, משווים לנגזרת אפס ומוצאים את הערך שמתאים למינימום סכום הריבועים.

תרגול קצר

מינימום סכום ריבועי שני מספרים תחת מגבלה ליניארית

רמת קושי: קל

ממתין

קבע את שני המספרים x ו-y המקיימים 2x + y = 25 כך שסכום ריבועיהם יהיה מינימלי.

בעיות קיצוןפונקציית מטרהנגזרותסכום ריבועים

רמז: בודד את y מהמשוואה במונחים של x, והצב בנוסחת סכום הריבועים.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = 10, y = 5 (או x=5, y=10)

y = 25 - 2x פונקציית המטרה: f(x) = x^2 + (25 - 2x)^2 פשט את הפונקציה וחשב נגזרת f'(x) פתור f'(x) = 0 קבע את סוג נקודת הקיצון באמצעות נגזרת שנייה או בדיקת ערכים בצדדים מצא את y בהתאם ל-x שקיבלת

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון בעיית קיצון - סכום ריבועי מינימלי

קביעת שני מספרים תחת מגבלה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערכי x ו-y הממזערים את סכום ריבועיהם
נתון 1
נתון 1
2x + y = 25
נתון 2
רוצים למזער את x² + y²
רעיון
הרעיון המרכזי
בודדים y ממשוואת המגבלה, מציבים בפונקציית המטרה, מפשטים ומחפשים מינימום באמצעות נגזרת.
נוסחה
מנציחים את הפונקציה הכוללת רק x: f(x) = x² + (25 - 2x)².
f(x) = x^2 + (25 - 2x)^2
משוואה
רשום את המשוואה 2x + y = 25.
רשום את המשוואה 2x + y = 25.
פישוט
פותחים את הסוגריים ומפשטים: f(x) = 5x² - 100x + 625.
פותחים את הסוגריים ומפשטים: f(x) = 5x² - 100x + 625.
f(x) = 5x^2 - 100x + 625
תוצאה
מסיימים בתשובה
מחשבים נגזרת ומציבים ל-0: f'(x) = 10x - 100 = 0.
10x - 100 = 0

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

כתיבת המגבלה

מה עושים

רשום את המשוואה 2x + y = 25.

למה

זו המגבלה שמגבילה את הערכים של x ו-y.

המשוואה מתארת את הקשר בין שני המספרים.

זיהוי נתונים

פונקציית המטרה

מה עושים

נרשם את סכום ריבועי המספרים: x² + y².

למה

אנחנו רוצים למזער ביטוי זה.

זהו הביטוי המתמטי שאותו נרצה למזער.

בחירת שיטה

בודדים משתנה אחד

מה עושים

בודדים y = 25 - 2x מתוך המשוואה.

למה

כך נוכל לבטא את הפונקציה במשתנה יחיד למטרת גזירה.

החלפת y בתוך פונקציית המטרה.

בניית משוואה

נוסח פונקציית המטרה

מה עושים

מנציחים את הפונקציה הכוללת רק x: f(x) = x² + (25 - 2x)².

למה

כעת פונקציה בנעלם יחיד בלבד, מוכנה לגזירה.

מבט לפונקציה החד-משתנית.

נוסחה / הצבה

f(x) = x^2 + (25 - 2x)^2

פישוט יקל על הגזירה.

בניית משוואה

פיצול וביטוי פונקציה

מה עושים

פותחים את הסוגריים ומפשטים: f(x) = 5x² - 100x + 625.

למה

פונקציה מפושטת מקלה על גזירה ופתרון משוואות.

סכום הריבועים בפישוט מלא.

נוסחה / הצבה

f(x) = 5x^2 - 100x + 625

פתרון

נגזרת ומשוואה לאיפוס

מה עושים

מחשבים נגזרת ומציבים ל-0: f'(x) = 10x - 100 = 0.

למה

נקודת איפוס נגזרת היא מועמדת לקיצון.

פתרון המשוואה לקביעת x בקיצון.

נוסחה / הצבה

10x - 100 = 0

פתרונות כלליים

מינימום סכום ריבועי שני מספרים תחת מגבלה ליניארית: y = 25 - 2x פונקציית המטרה: f(x) = x^2 + (25 - 2x)^2 פשט את הפונקציה וחשב נגזרת f'(x) פתור f'(x) = 0 קבע את סוג נקודת הקיצון באמצעות נגזרת שנייה או בדיקת ערכים בצדדים מצא את y בהתאם ל-x שקיבלת

הפריט הקודם הפריט הבא

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

ז1. שאלון 803 - בעית קיצון עם מספרים - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון בעיית קיצון - סכום ריבועי מינימלי

מפת פתרון

למצוא ערכי x ו-y הממזערים את סכום ריבועיהם

נתון 1

רוצים למזער את x² + y²

הרעיון המרכזי

מנציחים את הפונקציה הכוללת רק x: f(x) = x² + (25 - 2x)².

רשום את המשוואה 2x + y = 25.

פותחים את הסוגריים ומפשטים: f(x) = 5x² - 100x + 625.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

כתיבת המגבלה

פונקציית המטרה

בודדים משתנה אחד

נוסח פונקציית המטרה

פיצול וביטוי פונקציה

נגזרת ומשוואה לאיפוס

פתרונות כלליים