שיעור זה מסביר כיצד לפתור בעיית קיצון למציאת אורך חזית חלקת אדמה מלבנית, כך שתהיה עלות הגידור מינימלית, תוך שימוש במשוואות שוויון, החלפת נעלמים וחישוב נגזרת לפתרון.
להגדיר נעלמים ובעצם לנסח פונקציית מטרה לפתרון בעיית קיצון
לכמת עלות גידור על פי מחירים שונים לחזית ולצדדים
לבודד נעלם ממשוואת שטח ולהציב בפונקציית המטרה
לחבר פונקציה בנעלם יחיד
לחשב נגזרת של פונקציה עם חזקות ושל פונקציה עם מנה
לפתור משוואת נגזרת ולקבוע אורך חזית שממזער עלות
הגדרת הבעיה: יש חלקת אדמה מלבנית בשטח 4500 מ"ר, המחולקת לחזית באורך X וצדדים באורך Y. המחיר למטר גדר שונה בין החזית לצדדים. המטרה היא למצוא את האורך X שגורם למינימום עלות גידור.
בניית פונקציית המטרה: פונקציית המטרה היא מחיר הגידור הכולל, שנכתב כסכום המחיר על החזית והמחיר על שני הצדדים. משתמשים במשוואת השטח כדי לבטא את Y כפונקציה של X.
חישוב הנגזרת ופתרון: נגזרת פונקציית העלות מחושבת ומוצבת שווה לאפס כדי לאתר נקודות קיצון. לאחר חישוב נגזרת, בוחרים את הפתרון בעל המשמעות המעשית, כלומר אורך החזית שסביבו העלות יורדת ואז עולה.

תרגול קצר

חשב את השטח של חלקה מלבנית

רמת קושי: קל

ממתין

חלקה מלבנית אורכה 75 מ׳ ורוחבה 60 מ׳. מה שטחה?

שטחמלבןשלבי ביניים

רמז: שטח מלבן = אורך × רוחב

פתרון מלא

תשובה סופית: 4500 מ״ר

שטח = 75 × 60 = 4500 מ׳ רבוע.

בידוד נעלם ממשוואת שטח

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה המשוואה XY=4500. אם X=75, מצא את ערך Y.

בידוד נעלםמשוואותשטח

רמז: בודדים Y = 4500 חלקי X

פתרון מלא

תשובה סופית: 60

Y = 4500 / 75 = 60

חשב פונקציית עלות

רמת קושי: בינוני

ממתין

המחיר למטר בחזית הוא 24 ש״ח, במחיר בצדדים 15 ש״ח למטר. אם החזית באורך 75 מטר והצדדים 60 מטר, חשב את מחיר הגידור הכולל.

עלותגידורפונקציה

רמז: עלות = 24X + 2 * 15 * Y

פתרון מלא

תשובה סופית: 3600 ש״ח

עלות = 24*75 + 2*15*60 = 1800 + 1800 = 3600 ש״ח

גזירת פונקציית עלות ותכנון מינימום

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה פונקציית עלות C(x) = 24x + 2*15*4500/x. גזור את הפונקציה ומצא את נקודת הקיצון.

נגזרותקיצוןבעיות אופטימיזציה

רמז: השתמש בכלל גזירת חזקות ונגזרת של מנה

פתרון מלא

תשובה סופית: x = 75 מטר

C'(x) = 24 - 135000 / x^2; פתר C'(x) = 0: 24 = 135000 / x^2 ⇒ x^2 = 135000/24 = 5625 ⇒ x = 75

בעיית קיצון ממחיר גידור

רמת קושי: בגרות

ממתין

חלקת אדמה מלבנית שטחה 4500 מ׳ רבוע, מחיר הגידור בחזית 24 ש״ח למטר, בצדדים 15 ש״ח למטר. מצא את אורך החזית הממזער את עלות הגידור.

בגרותקיצוןפונקציית מטרהגזירה

רמז: 1. כתוב משוואת שטח 2. כתוב פונקציית מטרה של העלות 3. פתח את הפונקציה בנעלם אחד 4. גזור את הפונקציה ופתור

פתרון מלא

תשובה סופית: 75 מ׳

1. XY=4500 2. עלות = 24X + 2*15*Y 3. Y=4500/X ⇒ עלות=24X + 2*15*(4500/X) 4. נגזרת: 24 - 135000 / X^2 = 0 ⇒ X=75 החזית תהיה 75 מ׳

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון בעיית קיצון במחיר גידור

מציאת אורך החזית הממזער את עלות הגידור

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא אורך החזית X הממזער את עלות הגידור
נתון 1
נתון 1
שטח החלקה XY=4500
נתון 2
נתון 2
עלות מטר גדר בחזית = 24 ש"ח
נתון 3
נתון 3
עלות מטר גדר בצדדים = 15 ש"ח
רעיון
הרעיון המרכזי
לבטא את העלות כפונקציה של נעלם אחד, לגזור ולפתור לנקודת מינימום.
נוסחה
בודדים Y=4500/X ומציבים בפונקציית העלות.
24X+2 * 15 * (4500 / X)24X + 2*15* (4500/X)24X + 2 x 15 x (4500)/(X)
משוואה
פתרון המשוואה נותן X = 75 מ׳
פתרון המשוואה נותן X = 75 מ׳
פישוט
נגזור ונשווה לאפס: 24 - 135000 / X^2 = 0
נגזור ונשווה לאפס: 24 - 135000 / X^2 = 0
24 - 135000 / X^2 = 024 - (135000)/(X^(2)) = 0

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת הנעלמים והשטח

מה עושים

נסמן את אורך החזית ב-X ואת אורך הצדדים ב-Y, ידוע ש-XY=4500.

למה

הכרחי לבניית פונקציית המטרה, ומכיוון שהשטח קבוע.

שטח = אורך חזית כפול אורך צדדים = 4500

יש להשתמש במשוואת השטח כדי להביע נעלם אחד.

זיהוי נתונים

מחירי הגידור בחזית ובצדדים

מה עושים

מחיר לחזית: 24 ש"ח למטר, מחיר לצדדים: 15 ש"ח למטר.

למה

צריך להכניס את מחירי הגידור לחישוב העלות הכוללת.

עלות כל מטר בחזית שונה מהעלות בצדדים

דגש על עלות שונה לחזית וצדדים.

בחירת שיטה

הגדרת פונקציית עלות

מה עושים

פונקציית עלות הכוללת היא 24X + 2*15*Y.

למה

זו העלות הכוללת של הגידור בחזית ובצדדים יחד.

עלות = מחיר חזית + מחיר שני הצדדים

שני צדדים, לכן 2Y בצדדים.

בניית משוואה

החלפת Y לפי משוואת השטח

מה עושים

בודדים Y=4500/X ומציבים בפונקציית העלות.

למה

כדי לקבל פונקציה בנעלם יחיד (X).

עלות = 24X + 2*15* (4500/X)

נוסחה / הצבה

24X+2 * 15 * (4500 / X)24X + 2*15* (4500/X)24X + 2 x 15 x (4500)/(X)

הפונקציה כעת תלויה רק ב-X.

פתרון

חישוב נגזרת פונקציית העלות

מה עושים

נגזור ונשווה לאפס: 24 - 135000 / X^2 = 0

למה

להגדיר נקודת קיצון ככלי למציאת המינימום.

C' (X) = 24 - 135000 / X^2

נוסחה / הצבה

24 - 135000 / X^2 = 024 - (135000)/(X^(2)) = 0

פתרון משוואה זו נותן X של מינימום.

תשובה

פתרון המשוואה

מה עושים

פתרון המשוואה נותן X = 75 מ׳

למה

אורך החזית הממזער את עלות הגידור

החזית אורך 75 מטר.

בדקו סימניות נגזרת סביב הערך.

פתרונות כלליים

חשב את השטח של חלקה מלבנית: שטח = 75 × 60 = 4500 מ׳ רבוע.
בידוד נעלם ממשוואת שטח: Y = 4500 / 75 = 60
חשב פונקציית עלות: עלות = 24*75 + 2*15*60 = 1800 + 1800 = 3600 ש״ח
גזירת פונקציית עלות ותכנון מינימום: C'(x) = 24 - 135000 / x^2; פתר C'(x) = 0: 24 = 135000 / x^2 ⇒ x^2 = 135000/24 = 5625 ⇒ x = 75
בעיית קיצון ממחיר גידור: 1. XY=4500 2. עלות = 24X + 2*15*Y 3. Y=4500/X ⇒ עלות=24X + 2*15*(4500/X) 4. נגזרת: 24 - 135000 / X^2 = 0 ⇒ X=75 החזית תהיה 75 מ׳

הפריט הקודם הפריט הבא

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

ז3. שאלון 803 - בעית קיצון עם מצב מציאותי וכסף- ארז כהן

ניווט לפי נושאים

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון בעיית קיצון במחיר גידור

מפת פתרון

למצוא אורך החזית X הממזער את עלות הגידור

נתון 1

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

בודדים Y=4500/X ומציבים בפונקציית העלות.

פתרון המשוואה נותן X = 75 מ׳

נגזור ונשווה לאפס: 24 - 135000 / X^2 = 0

פתרון מפורט

הגדרת הנעלמים והשטח

מחירי הגידור בחזית ובצדדים

הגדרת פונקציית עלות

החלפת Y לפי משוואת השטח

חישוב נגזרת פונקציית העלות

פתרון המשוואה

פתרונות כלליים