לומדים כיצד למצוא פונקציה מקורית מתוך נגזרת נתונה, לקבוע קבוע אינטגרציה באמצעות נקודת מקסימום, ולזהות נקודות מינימום ומקסימום על ידי ניתוח נגזרת והצבת ערכים.
לפתור משוואה לגזירת פונקציה ולמצוא נקודות קיצון
לחשב אינטגרל של נגזרת ולקבוע קבוע אינטגרציה בעזרת נקודת ידועה
להבחין בין נקודת מינימום לנקודת מקסימום באמצעות בדיקות בערכי הנגזרת
מציאת נקודות קיצון: יש לגזור את הנגזרת הנתונה, לשוות לאפס ולמצוא את נקודות הקריטיות. לאחר מכן בוחנים את טיב הנקודות על ידי הצבת ערכים במרווחים בין נקודות הקריטיות.
מציאת הפונקציה מתוך הנגזרת: יש לחשב אינטגרל של הנגזרת הנתונה ולהוסיף קבוע אינטגרציה, כאשר את הקבוע נקבעים על פי נקודת מקסימום ידועה מתוך תנאי הפונקציה.
בדיקת נקודת מינימום: מציאת ערך הפונקציה בנקודת מינימום (x=3) על ידי הצבת x בנוסחה שמצאנו עם הקבוע שקבענו קודם.

תרגול קצר

מציאת נקודות הקיצון של y'

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הנגזרת y' = x^2 - 5x + 6. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה y.

קיצוןנגזרתפתרון משוואות

רמז: שווה את הנגזרת לאפס ופתור את המשוואה הריבועית. לאחר מכן בדוק את סימני הנגזרת בערכים ביניהם כדי לקבוע אם זו מינימום או מקסימום.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת מקסימום ב-x=2, נקודת מינימום ב-x=3

נפתור את המשוואה x^2 - 5x + 6 = 0. הפקטוריזציה היא (x - 2)(x - 3) = 0. נקודות הקריטיות הן x=2 ו-x=3. נשים ערכים בין לבין 1.5, 2.5, 3.5 ונבדוק סימן הנגזרת כדי לקבוע את טיב הנקודות. עבור x=1.5 ו-x=2.5 הערך חיובי, עבור x=3.5 הערך חיובי. ומכאן ש-x=2 היא נקודת מקסימום ו-x=3 נקודת מינימום.

מציאת הפונקציה y מתוך y' ונתון נקודת מקסימום

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה הנגזרת y' = x^2 - 5x + 6, ולפונקציה יש נקודת מקסימום כאשר x=2 ו-y=5. מצא את הפונקציה y(x).

אינטגרלנקודת מקסימוםפונקציה

רמז: חשב את האינטגרל של y', הוסף קבוע אינטגרציה C, והשתמש בנקודת המקסימום כדי למצוא את ערך C.

פתרון מלא

תשובה סופית: y = x^3/3 - (5/2)x^2 + 6x + 0.333

נחשב אינטגרל:\n∫(x^2 - 5x + 6) dx = x^3/3 - 5x^2/2 + 6x + C\nנציב את הנקודה (2,5):\n5 = 8/3 - 10 + 12 + C = 4.666 + C\nC = 5 - 4.666 = 0.333\nאז הפונקציה היא y = x^3/3 - 5x^2/2 + 6x + 0.333

מציאת נקודת מינימום ופונקציה מקורית

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה נגזרת y' = x^2 - 5x + 6 לפונקציה y. ידוע שיש נקודת מקסימום ב-x=2 עם y=5. מצא את נקודת המינימום, והצג את הפונקציה y(x).

נקודות קיצוןאינטגרלפונקציה מקורית

רמז: 1. נמצא נקודות הקיצון מפיתרון y'=0. 2. נחשב אינטגרל לקבלת y עם קבוע אינטגרציה. 3. נקבע C מתוך נקודת המקסימום. 4. נחשב ערך y בנקודת המינימום על ידי הצבת x בנוסחה.

פתרון מלא

תשובה סופית: פונקציה: y = x^3/3 - (5/2)x^2 + 6x + 0.333; נקודת מינימום ב-(3, 4.833)

פתרון y'=0 נותן x=2,3. נקודת מקסימום היא ב-2, לכן מינימום ב-3.\nאינטגרל: y = x^3/3 - 5x^2/2 + 6x + C\nנציב (2,5): 5 = 8/3 - 10 + 12 + C => C = 0.333\nנחשב y ב-x=3: y(3) = 27/3 - 5*9/2 + 18 + 0.333 = 9 - 22.5 + 18 + 0.333 = 4.833\nנקודת מינימום היא (3, 4.833).

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל - מציאת פונקציה ונקודות קיצון

מדריך מפורט לתלמיד לפתרון בקירוב פשוט

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודת מקסימום (x,y) / הפונקציה המקורית y(x) / נקודת מינימום (x,y)
נתון 1
נתון 1
נגזרת y' = x^2 - 5x + 6
נתון 2
נתון 2
נקודת מקסימום כאשר y=5 ו-x אינו ידוע
רעיון
הרעיון המרכזי
מוצאים נקודות קיצון מפיתרון y'=0, מחשבים את הפונקציה על ידי אינטגרל, מוצאים קבוע אינטגרציה בעזרת
נוסחה
נחשב אינטגרל של הנגזרת
y = x^3/3 - 5x^2/2 + 6x + Cy = ∫(x^2 - 5x + 6) dx = x^3/3 - 5x^2/2 + 6x + Cy = x^(3) / 3 - (5 x^(2))/(2) + 6 x + C
משוואה
מקבלים x=2 ו-x=3 כנקודות קריטיות
מקבלים x=2 ו-x=3 כנקודות קריטיות
פישוט
נציב x=2 ו-y=5 במשוואה ונמצא C
נציב x=2 ו-y=5 במשוואה ונמצא C
5 = 8/3 - 10 + 12 + C
תוצאה
מסיימים בתשובה
נציב x=3 בפונקציה עם C שמצאנו
y(3) = 9 - 22.5 + 18 + 0.333 = 4.833

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הבנת הנתונים

מה עושים

קרא את פונקציית הנגזרת ונתון נקודת מקסימום

למה

חשוב לאתר את הנגזרת ואת תנאי הנקודה הקיימת.

בחירת שיטה

מציאת נקודות הקיצון

מה עושים

שווה את הנגזרת לאפס ופתור את המשוואה הריבועית

למה

נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת הן מועמדות לנקודות קיצון

נוסחה / הצבה

x^2 - 5x + 6 = 0

פקטוריזציה מהירה של המשוואה.

פתרון

פתרון המשוואה לקיצון

מה עושים

מקבלים x=2 ו-x=3 כנקודות קריטיות

למה

אלו נקודות שבהן הפונקציה יכולה להיות מינימום או מקסימום

נציב את הערכים במרווחים כדי לקבוע טיב הקיצון.

נבדוק סימני הנגזרת בערכים הבאים: 1, 2.5, 4

פתרון

מציאת הפונקציה הכוללת C

מה עושים

נחשב אינטגרל של הנגזרת

למה

אינטגרל נותן את הפונקציה המקורית עם קבוע אינטגרציה

נוסחה / הצבה

y = x^3/3 - 5x^2/2 + 6x + Cy = ∫(x^2 - 5x + 6) dx = x^3/3 - 5x^2/2 + 6x + Cy = x^(3) / 3 - (5 x^(2))/(2) + 6 x + C

פתרון

קביעה של C בנקודת המקסימום

מה עושים

נציב x=2 ו-y=5 במשוואה ונמצא C

למה

כדי לקבל את הפונקציה המדויקת יש צורך לקבוע את C

5 = (8/3) - 10 + 12 + C => C = 0.333

נוסחה / הצבה

5 = 8/3 - 10 + 12 + C

חישוב מדויק של ערך C.

פתרון

חישוב נקודת מינימום y

מה עושים

נציב x=3 בפונקציה עם C שמצאנו

למה

להשלים את מציאת ערך ה-y של נקודת מינימום

y(3) = 27/3 - 5*9/2 + 18 + 0.333 = 4.833

נוסחה / הצבה

y(3) = 9 - 22.5 + 18 + 0.333 = 4.833

בדוק שהערכים מחושבים נכון למשוואה המקורית.

פתרונות כלליים

מציאת נקודות הקיצון של y': נפתור את המשוואה x^2 - 5x + 6 = 0. הפקטוריזציה היא (x - 2)(x - 3) = 0. נקודות הקריטיות הן x=2 ו-x=3. נשים ערכים בין לבין 1.5, 2.5, 3.5 ונבדוק סימן הנגזרת כדי לקבוע את טיב הנקודות. עבור x=1.5 ו-x=2.5 הערך חיובי, עבור x=3.5 הערך חיובי. ומכאן ש-x=2 היא נקודת מקסימום ו-x=3 נקודת מינימום.
מציאת הפונקציה y מתוך y' ונתון נקודת מקסימום: נחשב אינטגרל:\n∫(x^2 - 5x + 6) dx = x^3/3 - 5x^2/2 + 6x + C\nנציב את הנקודה (2,5):\n5 = 8/3 - 10 + 12 + C = 4.666 + C\nC = 5 - 4.666 = 0.333\nאז הפונקציה היא y = x^3/3 - 5x^2/2 + 6x + 0.333
מציאת נקודת מינימום ופונקציה מקורית: פתרון y'=0 נותן x=2,3. נקודת מקסימום היא ב-2, לכן מינימום ב-3.\nאינטגרל: y = x^3/3 - 5x^2/2 + 6x + C\nנציב (2,5): 5 = 8/3 - 10 + 12 + C => C = 0.333\nנחשב y ב-x=3: y(3) = 27/3 - 5*9/2 + 18 + 0.333 = 9 - 22.5 + 18 + 0.333 = 4.833\nנקודת מינימום היא (3, 4.833).

הפריט הקודם הפריט הבא

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

ה12. שאלון 803 - מציאת פונקציה בעזרת אינטגרל על ניגזרת והצבת נקודה, מציאת קבוע אינטגרציה- ארז כהן

ניווט לפי נושאים

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון תרגיל - מציאת פונקציה ונקודות קיצון

מפת פתרון

למצוא נקודת מקסימום (x,y) / הפונקציה המקורית y(x) / נקודת מינימום (x,y)

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

נחשב אינטגרל של הנגזרת

מקבלים x=2 ו-x=3 כנקודות קריטיות

נציב x=2 ו-y=5 במשוואה ונמצא C

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הבנת הנתונים

מציאת נקודות הקיצון

פתרון המשוואה לקיצון

מציאת הפונקציה הכוללת C

קביעה של C בנקודת המקסימום

חישוב נקודת מינימום y

פתרונות כלליים