שיעור המתמקד בניתוח פונקציה נתונה באמצעות חקירת התחום, נגזרת, מציאת נקודות קריטיות, קביעת נקודות קיצון ודיון במונוטוניות הפונקציה, בהקשר לבגרות 3 יחידות בקיץ 2018.
לזהות תחום הגדרה לפונקציה
לחשב נגזרת של פונקציה רציונלית
לפתור משוואה נגזרת שווה לאפס למציאת נקודות קיצון
לנתח מונוטוניות של פונקציה באמצעות נגזרת
להבין ולהציג תהליכי חקירת פונקציה באופן מסודר
תחום הגדרה: סימון תחום ההגדרה, הבנת אילוצים שהפונקציה דורשת, בדגש על איסור חלוקה באפס.
חישוב נגזרת: נגזרת הפונקציה על ידי שימוש בכלל המנה ופרטונומינטור עם חישובים מפורטים.
מציאת נקודות קריטיות: פתרון המשוואה נגזרת שווה לאפס למציאת ערכי X לקריטיים על ידי הכפלת איברים ושימוש במחשבון
ניתוח מונוטוניות ונקודות קיצון: הצבה של ערכים בנגזרת לאבחנת עליה וירידה של הפונקציה וקביעת נקודות מינימום

תרגול קצר

חישוב תחום הגדרה לפונקציה

רמת קושי: קל

ממתין

קבע את תחום ההגדרה של הפונקציה y=0.5x^2 + 8x.

תחום הגדרהפונקציה

רמז: השיהייה מחולקת ב-x בריבוע - מה אסור שיקרה?

פתרון מלא

תשובה סופית: x שונה מ-0

תחום ההגדרה הוא כל x≠0 כי יש חילוק ב-x בריבוע.

חישוב נגזרת והצבה

רמת קושי: בינוני

ממתין

חשב את הנגזרת של y=0.5x^2 + 8x והצג אותה כיחס פשוט.

נגזרתפונקציהפישוט

רמז: יש להשתמש בכלל הנגזרת והפישוט של המכנה.

פתרון מלא

תשובה סופית: f'(x) = (x^3 - 8)/x^2

f'(x)= x - 8/x^2

מציאת נקודות קיצון

רמת קושי: בינוני

ממתין

פתור את המשוואה f'(x)=0 עבור הפונקציה הנתונה.

נקודות קיצוןפתרון משוואה

רמז: כפול ב-x בריבוע והשתמש בפתרון של משוואת פולינום ממעלה 3.

פתרון מלא

תשובה סופית: x=2

x^3 - 8=0 → x=2

ניתוח מונוטוניות וקביעת נקודת מינימום

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה נגזרת הפונקציה, בצע הצבות ב-x=-1, 1, 3 וקבע האם הפונקציה עולה או יורדת באזורים אלו, ומה טיב נקודת הקיצון.

מונוטוניותנקודת מינימוםניתוח פונקציה

רמז: בדוק את סימן הנגזרת בכל נקודה כדי לקבוע מגמה.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת מינימום ב-x=-1

ב- x=-1, הנגזרת שלילית → הפונקציה יורדת ב- x=1, הנגזרת שלילית → ירידה ב- x=3, הנגזרת חיובית → עליה לכן בנקודה x=-1 נקודת מינימום

חקירת הפונקציה ושרטוט

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה הפונקציה y=0.5x^2 + 8x, הדגם את תחום ההגדרה, נגזר אותה, נמצא את נקודות הקיצון ונתאר מונוטוניות.

בגרותאנליטיתחקר פונקציה

רמז: עקוב אחרי שלבי החקירה הנלמדים, השתמש בטבלאות וגרפים להמחשה.

פתרון מלא

תשובה סופית: הערכה מלאה של הפונקציה, כולל תחום הגדרה, נקודות קיצון ומונוטוניות

תחום: x≠0 נגזרת: f'(x)=(x^3 - 8)/x^2 פתרון f'(x)=0: x=2 הצבת ערכים כדי לקבוע מגמה מונוטונית מסקנה: נקודת מינימום ב-x=-1, אין מקסימום

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת פונקציה נתונה והגדרת נקודות קיצון

איך לחקור פונקציה עם נגזרת

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא תחום ההגדרה / נגזרת הפונקציה / נקודות קריטיות / מונוטוניות הפונקציה
נתון 1
נתון 1
y = 0.5x^2 + 8x
נתון 2
x שונה מ-0
רעיון
הרעיון המרכזי
נגדיר תחום, נחשב נגזרת, נפתור משוואת נגזרת שווה לאפס, נבחן מונוטוניות בנקודות אלה ונקבע קיצונים.
נוסחה
נגזרת היא x מינוס 8 חלקי x בריבוע
f'(x)= x - 8 / x^2f'(x) = x - 8 / x^(2)
משוואה
מציבים ערכים x=-1,1 ו-3 בנגזרת ובודקים סימן
מציבים ערכים x=-1,1 ו-3 בנגזרת ובודקים סימן
פישוט
משווים f'(x) ל-0 ומכפילים ב-x בריבוע לפישוט
משווים f'(x) ל-0 ומכפילים ב-x בריבוע לפישוט
x^3 - 8 = 0x=2
תוצאה
מסיימים בתשובה
הנגזרת משתנה מסימן שלילי לחיובי ב-x=-1 ולכן נקודת מינימום

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת נתוני הבעיה

מה עושים

נתונה פונקציה y=0.5 x בריבוע + 8 x

למה

מזהים את הפונקציה אותה נחקר

נבדוק תחום הגדרה המונע חילוק באפס.

בחירת שיטה

חישוב תחום הגדרת הפונקציה

מה עושים

קובעים ש-x שונה מ-0 בגלל חילוק ב-x בריבוע

למה

תחום הגדרה מונע חלוקה באפס ומאפשר חישובים נכונים

יש לבטא מי הם הערכים המותרים ל-x

חשוב לזכור שסימונים אלו משפיעים על המשך החקירה

בניית משוואה

חישוב נגזרת הפונקציה

מה עושים

נגזרת היא x מינוס 8 חלקי x בריבוע

למה

הנגזרת מראה את קצב שינוי הפונקציה כדי לאתר נקודות קיצון

חישוב הנגזרת ושימוש בכלל המנה

נוסחה / הצבה

f'(x)= x - 8 / x^2f'(x) = x - 8 / x^(2)

שימו לב לחישוב נכון של החזקה והמכפלה

פתרון

פתרון משוואת הנגזרת שווה לאפס

מה עושים

משווים f'(x) ל-0 ומכפילים ב-x בריבוע לפישוט

למה

מציאת ערכי x בהם הפונקציה יכולה להיות יציבה או קיצונית

x בשלישית מינוס 8 שווה 0 => x=2

נוסחה / הצבה

x^3 - 8 = 0x=2x^(3) - 8 = 0 => x=2

יש לוודא שהכפלה לא מבטלת פתרונות חוקיים

פתרון

הצבה לבדיקת מונוטוניות

מה עושים

מציבים ערכים x=-1,1 ו-3 בנגזרת ובודקים סימן

למה

סימן הנגזרת מראה האם הפונקציה עולה או יורדת

נגזרת שלילית ב-x=-1 ו-1 (ירידה), חיובית ב-x=3 (עליה)

הצבת נקודות לבחינת מגמת הפונקציה בין נקודות קריטיות

תשובה

קביעת נקודת מינימום

מה עושים

הנגזרת משתנה מסימן שלילי לחיובי ב-x=-1 ולכן נקודת מינימום

למה

שינוי סימן הנגזרת מסמן נקודת קיצון

הפונקציה יורדת ואז עולה - נקודת מינימום

שימו לב לסימני הנגזרת להסקת מסקנות

פתרונות כלליים

חישוב תחום הגדרה לפונקציה: תחום ההגדרה הוא כל x≠0 כי יש חילוק ב-x בריבוע.
חישוב נגזרת והצבה: f'(x)= x - 8/x^2
מציאת נקודות קיצון: x^3 - 8=0 → x=2
ניתוח מונוטוניות וקביעת נקודת מינימום: ב- x=-1, הנגזרת שלילית → הפונקציה יורדת ב- x=1, הנגזרת שלילית → ירידה ב- x=3, הנגזרת חיובית → עליה לכן בנקודה x=-1 נקודת מינימום
חקירת הפונקציה ושרטוט: תחום: x≠0 נגזרת: f'(x)=(x^3 - 8)/x^2 פתרון f'(x)=0: x=2 הצבת ערכים כדי לקבוע מגמה מונוטונית מסקנה: נקודת מינימום ב-x=-1, אין מקסימום

הפריט הקודם הפריט הבא

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

ד6. שאלון 803 - חקירה מלאה - פתרון תרגיל מועד ב' קיץ 2018 שאלון 803 - כל שלבי העבודה - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

חקירת פונקציה נתונה והגדרת נקודות קיצון

מפת פתרון

למצוא תחום ההגדרה / נגזרת הפונקציה / נקודות קריטיות / מונוטוניות הפונקציה

נתון 1

x שונה מ-0

הרעיון המרכזי

נגזרת היא x מינוס 8 חלקי x בריבוע

מציבים ערכים x=-1,1 ו-3 בנגזרת ובודקים סימן

משווים f'(x) ל-0 ומכפילים ב-x בריבוע לפישוט

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדרת נתוני הבעיה

חישוב תחום הגדרת הפונקציה

חישוב נגזרת הפונקציה

פתרון משוואת הנגזרת שווה לאפס

הצבה לבדיקת מונוטוניות

קביעת נקודת מינימום

פתרונות כלליים