בחינת פונקציה y = 1 חלקי a כפול x ועוד 4 חלקי x, מציאת A ע"פ תנאי קיצון, חקירת נקודות קיצון וסיווגן.
לזהות מתי יש נקודת קיצון על ידי מציאת נגזרת שווה לאפס.
לדעת לגזור פונקציות עם מקדמים ופרמטרים.
למצוא פרמטר (a) על פי תנאי קיצון נתון.
לחשב ערכי y בנקודות קיצון ולסווג אותן כמינימום או מקסימום.
להבין משמעות תחום ההגדרה בהקשר לפונקציה עם מכנים.
הצגת הפונקציה והנוסחה: הפונקציה נתונה בצורה y שווה ל- x חלקי a ועוד 4 חלקי x, המורה משנה אותה לכתיבה נוחה יותר כמנה של ביטויים המועלים לגזירה.
גזירת הפונקציה ומציאת נקודת קיצון: ביצוע נגזרת של הפונקציה, הצבה בתנאי שהנגזרת שווה לאפס כדי לאתר נקודת הקיצון, והבנת הקשר בין x=4 לנקודת קיצון.
מציאת פרמטר A: על ידי הצבת x=4 בתנאי הנגזרת שווה לאפס מחשבים את הערך של A.
בדיקת סוגי נקודות קיצון: באמצעות חקירת סימני הנגזרת בטווחים שונים סביב נקודות הקיצון, קובעים אם זו נקודת מינימום או מקסימום.

תרגול קצר

גזירת פונקציה עם פרמטר a

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה y = 1 חלקי a כפול x ועוד 4 חלקי x. גזור את הפונקציה y.

נגזרותפונקציות עם פרמטר

רמז: השתמש בחוקי הגזירה לפונקציות חזקה וחילוק קבוע.

פתרון מלא

תשובה סופית: y' = 1/a - 4 / x^2

y = 1/a * x + 4 / x y' = 1/a - 4 / x^2

מצא את ערך הפרמטר a על פי נקודת קיצון

רמת קושי: בינוני

ממתין

הפונקציה y = 1 חלקי a כפול x ועוד 4 חלקי x, נתון כי ב-x=4 יש נקודת קיצון. חשב את a.

פרמטריםנקודות קיצון

רמז: הציב את x=4 בנגזרת y' שווה ל-0 ופשט את המשוואה כדי למצוא a.

פתרון מלא

תשובה סופית: a=4

ניגזור: y' = 1/a - 4 / x^2 נציב x=4 ונקבל: 1/a - 4/16 = 0 1/a = 1/4 לכן a=4.

חקירת נקודות קיצון וסיווגן

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה הפונקציה y = 1/4 x + 4 / x. מצא את נקודות הקיצון, חשב את ערכי y בנקודות אלו וסווג כל נקודת קיצון כמינימום או מקסימום.

נקודות קיצוןחקירת פונקציהסיווג קיצון

רמז: גזור, מצא את ערכי x באמצעות פתרון המשוואה y'=0, הצב בנגזרת השנייה או השתמש בסימני הנגזרת סביב הנקודות.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת מקסימום ב-(4,2), נקודת מינימום ב-(-4,-2)

y = 1/4 x + 4 / x נגזרת: y' = 1/4 - 4 / x^2 משוואה y'=0: 1/4 - 4 / x^2 = 0 => x^2 = 16 => x=4 או x=-4 חישוב ערכי y: y(4) = 1/4 * 4 + 4 /4 = 1 +1 = 2 y(-4) = 1/4 * (-4) + 4 / -4 = -1 -1 = -2 בדיקת סימנים סביב x=4 ו-x=-4: ל-x=4 נקודת קיצון מסוג מקסימום ל-x=-4 נקודת קיצון מסוג מינימום

חשב את ערך a ותאר את נקודות הקיצון

רמת קושי: בגרות

ממתין

P נתונה הפונקציה y = 1 חלקי a כפול x ועוד 4 חלקי x והיא בעלת נקודת קיצון ב-x=4. א. חשב את a. ב. מצא וסמן את נקודות הקיצון של הפונקציה. ג. סווג כל נקודת קיצון כמינימום או מקסימום.

בגרותיחידת אנליטיתפרמטריםקיצון

רמז: בא"א גזור y, הצב y'(4)=0 ופתור עבור a. בש"ב גזור שוב וחפש פתרונות y'=0. סווג בעזרת התבוננות בסימני y' לפני ואחרי הנקודות.

פתרון מלא

תשובה סופית: a=4; מקסימום ב-(4,2); מינימום ב-(-4,-2)

א. y' = 1/a - 4/x^2; הצב x=4: 1/a - 4/16=0 => 1/a = 1/4 => a=4 ב. עם a=4: y=1/4 x + 4/x נגזרת: y' = 1/4 - 4/x^2 פתור y'=0 => x^2=16 => x=4, x=-4 ג. חשב y(4)=2; y(-4)=-2 בדוק סימני y' סביב נקודות הקיצון כדי לסווג אותן: אחרי 4 משנים הסימן מ + ל - => מקסימום אחרי -4 משנים הסימן מ - ל + => מינימום

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל - מציאת פרמטר a בנקודת קיצון

הפונקציה y = 1 חלקי a כפול x ועוד 4 חלקי x, נקודת קיצון ב-x=4

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא מצא את ערך a
נתון 1
נתון 1
y = 1/a כפול x + 4/x
נתון 2
נתון 2
יש נקודת קיצון ב-x=4
רעיון
הרעיון המרכזי
גזור את הפונקציה, הצב את x=4 בתנאי הנגזרת שווה לאפס, וחשב את a.
נוסחה
כתוב את הפונקציה בצורה נוחה לגזירה.
y = 1/a * x + 4 / x
משוואה
הציב y'=0 עם x=4 כדי לקבל משוואה עבור a.
הציב y'=0 עם x=4 כדי לקבל משוואה עבור a.
1/a - 4/16 = 0(1)/(a) - (4)/(16) = 0
פישוט
עבור 1/a שווה ל-1/4 לכן a שווה ל-4.
עבור 1/a שווה ל-1/4 לכן a שווה ל-4.
a = 4a=4
תוצאה
מסיימים בתשובה
הפרמטר a שווה ל-4.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הבנ את הפונקציה הנתונה

מה עושים

כתוב את הפונקציה בצורה נוחה לגזירה.

למה

כדי להקל על חישוב הנגזרת.

y = 1/a כפול x + 4 / x

נוסחה / הצבה

y = 1/a * x + 4 / x

עדיף להציג ביטויים כמכפלות ולא כמנה עם x במכנה.

בחירת שיטה

חשב את הנגזרת של הפונקציה

מה עושים

גזור כל אגף בנפרד לפי חוקי הגזירה.

למה

כדי למצוא תנאי לקיצון, נבדוק מתי הנגזרת שווה לאפס.

הנגזרת היא סכום נגזרות האגפים.

נוסחה / הצבה

y' = 1/a - 4 / x^2y' = (1)/(a) - (4)/(x^2)

זכור שגזירת x בחזקה 1 היא 1, וגזירת 1/x היא -1/x^2.

בניית משוואה

צור את משוואת הקיצון מנקודת קיצון נתונה

מה עושים

הציב y'=0 עם x=4 כדי לקבל משוואה עבור a.

למה

בנקודת קיצון הנגזרת שווה לאפס.

1/a - 4/16 = 0

נוסחה / הצבה

1/a - 4/16 = 0(1)/(a) - (4)/(16) = 0

פשט 4/16 ל-1/4.

פתרון

פתור את המשוואה למציאת a

מה עושים

עבור 1/a שווה ל-1/4 לכן a שווה ל-4.

למה

כדי לקבל את ערך הפרמטר מביטוי שקיבלנו.

1/a = 1/4 לכן a=4

נוסחה / הצבה

a = 4a=4

חישוב פשוט מאוד כאשר מפשטים שרברים.

תשובה

סכם את התוצאה

מה עושים

הפרמטר a שווה ל-4.

למה

זו התשובה הנדרשת בתרגיל.

a = 4

פתרונות כלליים

גזירת פונקציה עם פרמטר a: y = 1/a * x + 4 / x y' = 1/a - 4 / x^2
מצא את ערך הפרמטר a על פי נקודת קיצון: ניגזור: y' = 1/a - 4 / x^2 נציב x=4 ונקבל: 1/a - 4/16 = 0 1/a = 1/4 לכן a=4.
חקירת נקודות קיצון וסיווגן: y = 1/4 x + 4 / x נגזרת: y' = 1/4 - 4 / x^2 משוואה y'=0: 1/4 - 4 / x^2 = 0 => x^2 = 16 => x=4 או x=-4 חישוב ערכי y: y(4) = 1/4 * 4 + 4 /4 = 1 +1 = 2 y(-4) = 1/4 * (-4) + 4 / -4 = -1 -1 = -2 בדיקת סימנים סביב x=4 ו-x=-4: ל-x=4 נקודת קיצון מסוג מקסימום ל-x=-4 נקודת קיצון מסוג מינימום
חשב את ערך a ותאר את נקודות הקיצון: א. y' = 1/a - 4/x^2; הצב x=4: 1/a - 4/16=0 => 1/a = 1/4 => a=4 ב. עם a=4: y=1/4 x + 4/x נגזרת: y' = 1/4 - 4/x^2 פתור y'=0 => x^2=16 => x=4, x=-4 ג. חשב y(4)=2; y(-4)=-2 בדוק סימני y' סביב נקודות הקיצון כדי לסווג אותן: אחרי 4 משנים הסימן מ + ל - => מקסימום אחרי -4 משנים הסימן מ - ל + => מינימום

הפריט הקודם הפריט הבא

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

ה2. שאלון 803 - תרגיל בחקירת פונקציה עם מציאת פרמטר- ארז כהן

ניווט לפי נושאים

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון תרגיל - מציאת פרמטר a בנקודת קיצון

מפת פתרון

למצוא מצא את ערך a

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

כתוב את הפונקציה בצורה נוחה לגזירה.

הציב y'=0 עם x=4 כדי לקבל משוואה עבור a.

עבור 1/a שווה ל-1/4 לכן a שווה ל-4.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הבנ את הפונקציה הנתונה

חשב את הנגזרת של הפונקציה

צור את משוואת הקיצון מנקודת קיצון נתונה

פתור את המשוואה למציאת a

סכם את התוצאה

פתרונות כלליים