השיעור עוסק בחקירת פונקציה מסוג y = x + b/x, מציאת פרמטר b באמצעות תנאי קיצון, חישוב נגזרת ובחינת תחומי עלייה וירידה.
לחקור פונקציה הכוללת פרמטר ולמצוא את ערכו באמצעות תנאי קיצון
לדעת לחשב נגזרת של פונקציה המכילה איבר חלקי x
למצוא תחומי עלייה וירידה של פונקציה על פי הנגזרת
להבין את הקשר בין נקודות קיצון ונגזרת שווה אפס
פונקציה נתונה ותנאי קיצון: הפונקציה הנתונה היא y = x + b / x, ומספרים שיש בה נקודת קיצון ב-x=4. יש למצוא את ערך הפרמטר b.
חישוב הנגזרת ומציאת b: נגזור את הפונקציה, נציב x=4 ובתנאי שקיצון מתקיים, נמצא את b.
ניתוח תחומי עלייה וירידה: לאחר מציאת b, נציב בפונקציה ונגזור שוב כדי למצוא את תחומי העלייה והירידה לפי סימני הנגזרת.

תרגול קצר

מציאת פרמטר b לפי נקודת קיצון

רמת קושי: קל

ממתין

ניתן y = x + b/x, ידוע שיש נקודת קיצון ב-x=4. מצא את ערך b.

נגזרותנקודת קיצוןפונקציה עם פרמטר

רמז: נגזר את הפונקציה, הצב x=4 והצמד y' = 0 כדי למצוא את b.

פתרון מלא

תשובה סופית: b = 16

נגזור: y' = 1 - b/x^2. נציב x=4 ונשווה לאפס: 1 - b/16 = 0 ⇒ b = 16.

תחומי עלייה וירידה של הפונקציה

רמת קושי: בינוני

ממתין

לאחר שמצאת ש-b=16, מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה y = x + 16/x.

נגזרותעלייה וירידהפונקציה עם פרמטר

רמז: נגזר ושווה לאפס. בדוק סימני הנגזרת באזורים השונים.

פתרון מלא

תשובה סופית: הפונקציה עולה ב-x < -4 וב-x > 4, יורדת בין -4 ל-0 ובין 0 ל-4.

הנגזרת היא y' = 1 - 16/x^2. פתור y' = 0: x^2 = 16 ⇒ x = ±4. בדוק סימן הנגזרת באזורים (-∞, -4), (-4, 0), (0,4), (4, ∞). ל-x < -4: y' > 0 (פונקציה עולה). בין -4 ל-0: y' < 0 (יורדת). בין 0 ל-4: y' < 0 (יורדת). ל-x > 4: y' > 0 (עולה).

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון תרגיל למציאת פרמטר בקיצון

פונקציה y = x + b/x ונקודת קיצון ב-x=4

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך הפרמטר b
נתון 1
נתון 1
פונקציה y = x + b/x
נתון 2
נתון 2
נקודת קיצון קיימת ב-x = 4
רעיון
הרעיון המרכזי
נגזור את הפונקציה, נציב x=4 בנגזרת ונשווה לאפס כדי למצוא את b.
נוסחה
y' = 1 - b / x^2
y' = 1 - b / x^2y' = 1 - (b)/(x^2)
משוואה
נציב x=4 בנגזרת ונשווה ל-0: 1 - b/16 = 0
נציב x=4 בנגזרת ונשווה ל-0: 1 - b/16 = 0
1 - b / 16 = 01 - b/16 = 01 - (b)/(16) = 0
פישוט
b = 16
b = 16
b = 16
תוצאה
מסיימים בתשובה
y = x + b/x, נקודת קיצון ב-x=4

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

פונקציה ונתון נקודת קיצון

מה עושים

y = x + b/x, נקודת קיצון ב-x=4

למה

הפרמטר b לא ידוע ויש למצוא אותו בהתאם לנקודת הקיצון.

הפונקציה נתונה עם פרמטר, ידוע שיש נקודת קיצון ב-x=4.

בחירת שיטה

נגזרת הפונקציה

מה עושים

נגזור את הפונקציה כדי למצוא y'

למה

נקודת קיצון מתקיימת כאשר y' = 0

הנגזרת של x היא 1, והנגזרת של b/x היא -b/x^2.

בניית משוואה

כתיבת משוואת הנגזרת

מה עושים

y' = 1 - b / x^2

למה

זו הנגזרת שעליה נשווה ל-0 בנקודת הקיצון.

נכין ביטוי נגזרת לפונקציה: y' = 1 - b/x^2.

נוסחה / הצבה

y' = 1 - b / x^2y' = 1 - (b)/(x^2)

פתרון

הצבת נקודת הקיצון

מה עושים

נציב x=4 בנגזרת ונשווה ל-0: 1 - b/16 = 0

למה

כי בנקודת קיצון הנגזרת שווה לאפס.

נציב את x=4 בנגזרת כדי לקבל משוואה עם b אחת.

נוסחה / הצבה

1 - b / 16 = 01 - b/16 = 01 - (b)/(16) = 0

פתרון

פתרון המשוואה למציאת b

מה עושים

b = 16

למה

לפתור את המשוואה לקבלת ערך b.

מבצעים פעולות אלגבריות ומקבלים b שווה 16.

נוסחה / הצבה

b = 16

פתרונות כלליים

מציאת פרמטר b לפי נקודת קיצון: נגזור: y' = 1 - b/x^2. נציב x=4 ונשווה לאפס: 1 - b/16 = 0 ⇒ b = 16.
תחומי עלייה וירידה של הפונקציה: הנגזרת היא y' = 1 - 16/x^2. פתור y' = 0: x^2 = 16 ⇒ x = ±4. בדוק סימן הנגזרת באזורים (-∞, -4), (-4, 0), (0,4), (4, ∞). ל-x < -4: y' > 0 (פונקציה עולה). בין -4 ל-0: y' < 0 (יורדת). בין 0 ל-4: y' < 0 (יורדת). ל-x > 4: y' > 0 (עולה).

הפריט הקודם הפריט הבא

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

ה5. שאלון 803 - תרגיל בחקירת פונקציה עם מציאת פרמטר- ארז כהן

ניווט לפי נושאים

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון תרגיל למציאת פרמטר בקיצון

מפת פתרון

למצוא ערך הפרמטר b

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

y' = 1 - b / x^2

נציב x=4 בנגזרת ונשווה ל-0: 1 - b/16 = 0

b = 16

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

פונקציה ונתון נקודת קיצון

נגזרת הפונקציה

כתיבת משוואת הנגזרת

הצבת נקודת הקיצון

פתרון המשוואה למציאת b

פתרונות כלליים