השיעור מסכם את נוסחאות היסוד בהנדסה אנליטית: מרחק בין נקודות, נקודת אמצע, שיפוע ומשוואת ישר, ומיישם תרגילים שונים כולל מציאת אורך צלעות מקבילית, נקודת אמצע, ומציאת משוואת ישרים מקבילים, מאונכים ועוברים דרך נקודה.
להכיר וליישם את נוסחת המרחק בין שתי נקודות במישור
לחישב את נקודת האמצע בין שתי נקודות נתונות
לחישב את שיפוע הישר העובר בין שתי נקודות
לכתוב משוואת ישר במישור העוברת דרך נקודה עם שיפוע נתון
להבין קשרים בין שיפועי ישרים מקבילים ומאונכים
לפתור בעיות גיאומטריות אנליטיות במישור כולל מקבילית
כלי עבודה בסיסיים: סקירה של הנוסחאות החשובות: נוסחת המרחק, נוסחת נקודת האמצע, שיפוע ומשוואת ישר.
יישום תרגילים: פתרון תרגילים מסוגים שונים: חישוב אורך צלעות, נקודת אמצע, שיפוע משוואות ישרים, ומציאת ישרים מקבילים ומאונכים.

תרגול קצר

חישוב המרחק בין שתי נקודות

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את המרחק בין הנקודות (5,3) ו-(6,-7).

מרחקנוסחאות בסיסיותאנליטית

רמז: השתמש בנוסחת המרחק בין שתי נקודות.

פתרון מלא

תשובה סופית: כ-10.05

נשתמש בנוסחה d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2). כאן x1=5, y1=3, x2=6, y2=-7. חישוב ההפרשים: (6-5) = 1, (-7-3) = -10. ריבועים: 1^2 = 1, (-10)^2 = 100. סכום הריבועים: 1 + 100 = 101. שורש: sqrt(101) ≈ 10.05.

מציאת נקודת האמצע בין שתי נקודות

רמת קושי: בינוני

ממתין

מצא את נקודת האמצע בין הנקודות (5,3) ו-(6,-7).

נקודת אמצעאנליטיתממוצע

רמז: נקודת האמצע היא הממוצע של האיקס והוואי של שתי הנקודות.

פתרון מלא

תשובה סופית: (5.5, -2)

x_mid = (5+6)/2 = 11/2 = 5.5

מציאת משוואת ישר מאונך ועובר דרך נקודה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

מצא את משוואת הישר שעובר דרך הנקודה D(1,1) ומאונך לאלכסון AC במקבילית עם A(2,4), C(6,3).

משוואת ישרישר מאונךשיפועאנליטיתמקבילית

רמז: חשב את שיפוע AC, מצא את השיפוע ההפוך-הנגדי, והשתמש בנקודה D לכתיבת משוואת הישר.

פתרון מלא

תשובה סופית: y = 4x - 3

חישוב שיפוע AC: מכיוון ש A(2,4), C(6,3): m_AC = (3-4)/(6-2) = -1/4 שיפוע ישר מאונך הוא ההופכי הנגדי: m_מש = 4 משוואת הישר דרך D(1,1): y - 1 = 4(x - 1) פישוט: y - 1 = 4x - 4 y = 4x - 3

מציאת אורך צלעות מקבילית

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה מקבילית ABCD עם A(2,4), C(6,3), ו-D(1,1). מצא את אורכי הצלעות AB ו-DC.

מקביליתחישוב אורכיםמהלך בגרות

רמז: השתמש בנוסחת המרחק לחישוב אורכי הצלעות לפי זוג נקודות המתאימות לאותן צלעות.

פתרון מלא

תשובה סופית: יש להשלים לפי מציאת נקודת B; חישוב המרחק נעשה לפי נוסחת המרחק.

ראשית נמצא את נקודת B (טרם נתונה) אחרת נחשב אורך known צלעות. לחישוב אורכי AB ו-DC יש צורך במספר נקודות מדויקות, לפי הנתונים. נחשב למשל את המרחק בין A(2,4) ל-B (מה שנמצא בהמשך ידי שיטות גיאומטריות / שימוש באלכסונים). לצורך מיפוי התרגיל בשיעור יש צורך להשלים את הנתונים. *במקרה זה מפת פתרון מפורטת מתאימה יותר לתרגיל על מקבילית מלא.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון: חישוב המרחק בין שתי נקודות

שלבי פתרון פשוטים לבחינת בגרות

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא המרחק בין הנקודה A לנקודה B
נתון 1
נקודה A: (5,3)
נתון 2
נקודה B: (6,-7)
רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בנוסחת המרחק בין שתי נקודות במישור כדי למצוא את המרחק הרצוי.
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
מחשבים את ההפרשים: (6-5) ו-(-7-3) ומרימים בריבוע.
מחשבים את ההפרשים: (6-5) ו-(-7-3) ומרימים בריבוע.
פישוט
מחברים את הריבועים ומוציאים שורש.
מחברים את הריבועים ומוציאים שורש.
תוצאה
מסיימים בתשובה
מסכמים את התוצאה כמרחק בין הנקודות.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

רישום נתונים ושמות משתנים

מה עושים

נסמן את נקודה A כ-(x1,y1) ונקודה B כ-(x2,y2) לפי הקואורדינטות הנתונות.

למה

כך נוכל להשתמש בנוסחה הכללית במבנה אחיד.

x1=5, y1=3, x2=6, y2=-7

חשוב להקפיד על סדר הנקודות בסימונים.

בחירת שיטה

זיהוי נוסחה מתאימה

מה עושים

נבחר בנוסחת המרחק d = שורש ריבוע ההפרשים ב-x וב-y.

למה

זו הנוסחה הסטנדרטית לחישוב מרחק בין שתי נקודות במישור.

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

נוסחה / הצבה

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)d = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2

הנוסחה נמצאת גם בדף הנוסחאות.

בניית משוואה

הצבת ערכים בנוסחה

מה עושים

מחשבים את ההפרשים: (6-5) ו-(-7-3) ומרימים בריבוע.

למה

על מנת להשלים את חישוב המרחק, יש לחשב את הפרשי הקואורדינטות.

(6-5)^2 = 1^2 = 1, (-7-3)^2 = (-10)^2 = 100

זכור שחישוב זמין בקושי של סימנים.

פתרון

סיכום וחישוב השורש

מה עושים

מחברים את הריבועים ומוציאים שורש.

למה

זה השלב הסופי לקבלת המרחק בין הנקודות.

d = sqrt(1 + 100) = sqrt(101) ≈ 10.05

ניתן להשתמש במחשבון להגעה לתוצאה מדויקת.

תשובה

תוצאה סופית

מה עושים

מסכמים את התוצאה כמרחק בין הנקודות.

למה

חשוב להציג תשובה מלאה וברורה.

המרחק בין הנקודות הוא כ-10.05 יחידות.

רישום תשובות בבגרות מומלץ עם יחידות מידה

פתרונות כלליים

חישוב המרחק בין שתי נקודות: נשתמש בנוסחה d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2). כאן x1=5, y1=3, x2=6, y2=-7. חישוב ההפרשים: (6-5) = 1, (-7-3) = -10. ריבועים: 1^2 = 1, (-10)^2 = 100. סכום הריבועים: 1 + 100 = 101. שורש: sqrt(101) ≈ 10.05.
מציאת נקודת האמצע בין שתי נקודות: x_mid = (5+6)/2 = 11/2 = 5.5
מציאת משוואת ישר מאונך ועובר דרך נקודה: חישוב שיפוע AC: מכיוון ש A(2,4), C(6,3): m_AC = (3-4)/(6-2) = -1/4 שיפוע ישר מאונך הוא ההופכי הנגדי: m_מש = 4 משוואת הישר דרך D(1,1): y - 1 = 4(x - 1) פישוט: y - 1 = 4x - 4 y = 4x - 3
מציאת אורך צלעות מקבילית: ראשית נמצא את נקודת B (טרם נתונה) אחרת נחשב אורך known צלעות. לחישוב אורכי AB ו-DC יש צורך במספר נקודות מדויקות, לפי הנתונים. נחשב למשל את המרחק בין A(2,4) ל-B (מה שנמצא בהמשך ידי שיטות גיאומטריות / שימוש באלכסונים). לצורך מיפוי התרגיל בשיעור יש צורך להשלים את הנתונים. *במקרה זה מפת פתרון מפורטת מתאימה יותר לתרגיל על מקבילית מלא.

הפריט הקודם הפריט הבא

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

ג1. שאלון 803 - סיכום כלי העבודה בהנדסה אנליטית, פתרון תרגיל באנליטית - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון: חישוב המרחק בין שתי נקודות

מפת פתרון

למצוא המרחק בין הנקודה A לנקודה B

נקודה A: (5,3)

נקודה B: (6,-7)

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

מחשבים את ההפרשים: (6-5) ו-(-7-3) ומרימים בריבוע.

מחברים את הריבועים ומוציאים שורש.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

רישום נתונים ושמות משתנים

זיהוי נוסחה מתאימה

הצבת ערכים בנוסחה

סיכום וחישוב השורש

תוצאה סופית

פתרונות כלליים