בשיעור זה נעשה חזרה ופתרון מלא לתרגיל 2 בשאלון 803 בנושא אנליטית הישר. ננתח מרובע עם נקודות נתונות, נחשב שיפועים, משוואות ישרים ונבדוק תכונות גאומטריות כמו שוויון שוקיים במשולש.
לזהות נקודות במערכת צירים ולהגדיר קואורדינטות
לחשב שיפוע בין שתי נקודות
לכתוב משוואת ישר מנקודה ושיפוע
לזהות נקודות על ציר האיקס ולהשתמש בקואורדינטות שלהן
לחשב נקודת אמצע בין שתי נקודות
לחשב מרחק בין שתי נקודות ולזהות משולש שווה שוקיים
ניתוח נתוני התרגיל והציור ההתחלתי: הצגת מרובע עם נקודות A,B,C,D ונתון כי AB מאונך ל-BC ונקודה C על ציר ה-X.
חישוב שיפוע הישר AB: נחשב את שיפוע הקטע AB לפי הנוסחה של שינוי ב-Y חלקי שינוי ב-X.
כתיבת משוואת הישר BC: לאחר חישוב שיפוע BC, נשתמש בנקודה B ובשיפוע לכתיבת המשוואה בייצוג שיפוע-נקודה.

תרגול קצר

מציאת שיפוע הקטע AB

רמת קושי: קל

ממתין

נתונים הנקודות A(2,1) ו-B(8,3). חשב את שיפוע הישר שעובר דרך נקודות אלו.

שיפועחישוב בסיסיישר

רמז: השתמש בנוסחת שיפוע: שינוי ב-Y חלקי שינוי ב-X בין שתי נקודות.

פתרון מלא

תשובה סופית: 1/3

שיפוע AB = (3-1)/(8-2) = 2/6 = 1/3

כתיבת משוואת הישר BC

רמת קושי: קל

ממתין

הנקודה B היא (8,3) ונתון ששיפוע הישר BC הוא -3. כתוב את משוואת הישר BC בנקודה ושיפוע והבא לפישוט ל-y.

משוואת ישרשיפוענוסחה

רמז: השתמש במשוואה y - y1 = m(x - x1) ופתח משפטית

פתרון מלא

תשובה סופית: y = -3x + 27

y - 3 = -3(x - 8) → y - 3 = -3x + 24 → y = -3x + 27

מציאת נקודת D בעזרת נקודת האמצע E

רמת קושי: בינוני

ממתין

אם E(4,0) היא נקודת האמצע של הקטע AD, והנקודה A היא (2,1), מצא את נקודת D.

נקודת אמצעחישוב נקודהגאומטריה אנליטית

רמז: השתמש בנוסחת נקודת האמצע הפוכה לחישוב D.

פתרון מלא

תשובה סופית: (6, -1)

4 = (2 + x_D)/2 → x_D = 6; 0 = (1 + y_D)/2 → y_D = -1; D=(6, -1)

בדיקת שוויון שוקיים במשולש BCD

רמת קושי: מאתגר

ממתין

האם המשולש BCD שווה שוקיים? נתונות הנקודות B(8,3), C(9,0), D(6,-1). חשב את אורכי BC ו-DC והשווה ביניהם.

משולש שווה שוקייםחישוב מרחקיםגאומטריה אנליטית

רמז: חשב את המרחקים בין הנקודות באמצעות נוסחת המרחק.

פתרון מלא

תשובה סופית: המשולש BCD שווה שוקיים שכן BC=DC=√10

BC=√((9-8)² + (0-3)²) = √(1 + 9) = √10; DC=√((9-6)² + (0+1)²) = √(9 + 1) = √10; BC=DC → המשולש שווה שוקיים.

שאלון 803 חורף 17 - תרגיל 2 - אנליטית הישר

רמת קושי: בגרות

ממתין

בציור מרובע ABCD, נתון: AB מאונך ל-BC, הנקודה C על ציר ה-X. נתונות הנקודות A(2,1), B(8,3), C(9,0), E(4,0) אמצע AD. מצא את שיפוע AB, את משוואת BC, את נקודת D, ובדוק אם המשולש BCD שווה שוקיים.

בגרותאנליטיתמשולש שווה שוקייםשיפועים

רמז: התחל בחישוב שיפוע AB, המשך למשוואת BC ואז באמצעות נקודת האמצע חשב את D ולבסוף השווה מרחקים כדי לבחון שוויון שוקיים.

פתרון מלא

תשובה סופית: שיפוע AB=1/3, משוואת BC היא y = -3x + 27, D=(6,-1), המשולש BCD שווה שוקיים

שיפוע AB = (3-1)/(8-2) = 1/3 משוואת BC: y - 3 = -3(x -8) → y = -3x + 27 נקודת D: E היא אמצע AD → D=(6,-1) מרחקים: BC=DC=√10 → המשולש BCD שווה שוקיים

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל אנליטית ישר - שאלון 803 תרגיל 2

שלבים לפתרון שאלה על הישרים והמשולש במערכת הצירים

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא שיפוע הישר AB / משוואת הישר BC / נקודת D / האם המשולש BCD שווה שוקיים
נתון 1
נתון 1
A=(2,1)
נתון 2
נתון 2
B=(8,3)
נתון 3
נתון 3
C=(9,0)
רעיון
הרעיון המרכזי
לחשב שיפועים בעזרת נוסחאות, לכתוב משוואות ישרים, למצוא נקודת אמצע להשלמת נקודה נעלמת ולבדוק
נוסחה
השתמש בנוסחה m = (y2-y1)/(x2-x1) בין A ל-B.
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)m=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)
משוואה
כתיבת משוואה בנקודה B עם שיפוע m = -3, פישוט ל-y
כתיבת משוואה בנקודה B עם שיפוע m = -3, פישוט ל-y
y - 3 = -3(x - 8)y - y1 = m(x - x1)
פישוט
חשב את D כך ש-E יהיה אמצע AD.
חשב את D כך ש-E יהיה אמצע AD.
xE = (xA + xD)/2yE = (yA + yD)/2

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת הנקודות והנתונים

מה עושים

זיהוי נקודות ומאפיינים, ציון נקודות עם קואורדינטות והגדרת נתונים גאומטריים.

למה

כדי להבין את המרחב והנתונים לעבודה.

נקודות A,B,C,E נתונות עם קואורדינטות ומידע על ישרים ומאונכיות.

בניית משוואה

חישוב שיפוע AB

מה עושים

השתמש בנוסחה m = (y2-y1)/(x2-x1) בין A ל-B.

למה

השיפוע דרוש לניתוח הישר AB ולהמשך חישובים.

m_AB = (3-1)/(8-2) = 1/3

נוסחה / הצבה

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)m=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)

הקפד על סדר הנקודות בחישוב.

בניית משוואה

מציאת משוואת הישר BC

מה עושים

כתיבת משוואה בנקודה B עם שיפוע m = -3, פישוט ל-y

למה

אפשרות להתייחס לישר BC בעזרת משוואת ישר רגילה.

y - 3 = -3(x - 8) → y = -3x + 27

נוסחה / הצבה

y - 3 = -3(x - 8)y - y1 = m(x - x1)

פשט את המשוואה עד לקבלת y לבדו.

פתרון

חישוב נקודת D בעזרת נקודת האמצע E

מה עושים

חשב את D כך ש-E יהיה אמצע AD.

למה

למצוא נקודה נעלמת בעזרת נקודת אמצע ידועה.

x_D = 2*4 - 2 = 6; y_D = 2*0 - 1 = -1

נוסחה / הצבה

xE = (xA + xD)/2yE = (yA + yD)/2E = ((x_A + x_D)/2 , (y_A + y_D)/2)E = ((x_A + x_D)/(2), (y_A + y_D)/(2))

ניצל את הנוסחה הפוכה כדי למצוא D.

פתרון

בדיקת שוויון שוקיים במשולש BCD

מה עושים

חשב מרחקים BC ו-DC והשווה ביניהם.

למה

שוויון מרחקים בין שני קדקודים הוא תנאי לשוויון שוקיים במשולש.

BC=√10; DC=√10; לכן המשולש שווה שוקיים.

נוסחה / הצבה

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)d = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2

השתמש במחשבון לחישובים מדויקים.

פתרונות כלליים

מציאת שיפוע הקטע AB: שיפוע AB = (3-1)/(8-2) = 2/6 = 1/3
כתיבת משוואת הישר BC: y - 3 = -3(x - 8) → y - 3 = -3x + 24 → y = -3x + 27
מציאת נקודת D בעזרת נקודת האמצע E: 4 = (2 + x_D)/2 → x_D = 6; 0 = (1 + y_D)/2 → y_D = -1; D=(6, -1)
בדיקת שוויון שוקיים במשולש BCD: BC=√((9-8)² + (0-3)²) = √(1 + 9) = √10; DC=√((9-6)² + (0+1)²) = √(9 + 1) = √10; BC=DC → המשולש שווה שוקיים.
שאלון 803 חורף 17 - תרגיל 2 - אנליטית הישר: שיפוע AB = (3-1)/(8-2) = 1/3 משוואת BC: y - 3 = -3(x -8) → y = -3x + 27 נקודת D: E היא אמצע AD → D=(6,-1) מרחקים: BC=DC=√10 → המשולש BCD שווה שוקיים

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

ה2. שאלון 803 - פתרון מלא חורף 17 - תרגיל 2 - אנליטית הישר - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון תרגיל אנליטית ישר - שאלון 803 תרגיל 2

מפת פתרון

למצוא שיפוע הישר AB / משוואת הישר BC / נקודת D / האם המשולש BCD שווה שוקיים

נתון 1

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

השתמש בנוסחה m = (y2-y1)/(x2-x1) בין A ל-B.

כתיבת משוואה בנקודה B עם שיפוע m = -3, פישוט ל-y

חשב את D כך ש-E יהיה אמצע AD.

פתרון מפורט

הגדרת הנקודות והנתונים

חישוב שיפוע AB

מציאת משוואת הישר BC

חישוב נקודת D בעזרת נקודת האמצע E

בדיקת שוויון שוקיים במשולש BCD

פתרונות כלליים