השיעור מתמקד בחקירת פונקציה עם שורשים, מציאת תחום ההגדרה, חישוב הנגזרת, איתור נקודות קיצון וחקר עלייה וירידה של הפונקציה.
להבין כיצד למצוא את תחום ההגדרה של פונקציה המכילה שורשים
לחשב נגזרת פונקציה עם שורש
לפתור משוואות נגזרת שווה אפס למציאת נקודות קיצון
לבדוק עלייה וירידה של הפונקציה באמצעות סימן הנגזרת
לזהות חיתוך עם ציר y ולנתח את גרף הפונקציה
תחום הגדרה: לרוב בתחילת חקירת פונקציה נבדוק את תחום ההגדרה. במקרה של שורש ריבועי, המשתנה תחת השורש חייב להיות גדול או שווה לאפס.
חישוב הנגזרת: מחשבים את הנגזרת של הפונקציה עם שורשים, תוך תשומת לב לחוקים של נגזרת שורש ופונקציה מורכבת.
איתור נקודות קיצון: אפשר למצוא נקודות קיצון ע"י חישוב נקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס בתחום ההגדרה.
חקר עלייה וירידה: שימוש בסימן הנגזרת בערכים בין נקודות הקיצון כדי לזהות תחומי עלייה וירידה של הפונקציה.

תרגול קצר

מציאת תחום הגדרה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = 3√x - 6√x + 7. מהו תחום ההגדרה שלה?

תחום הגדרהשורש

רמז: המשתנה תחת שורש חייב להיות ≥0.

פתרון מלא

תשובה סופית: x ≥ 0

כיון שיש שורש ריבועי של x, x צריך להיות גדול או שווה ל-0. מגיעים ל: x ≥ 0.

מציאת נקודות קיצון

רמת קושי: בינוני

ממתין

לפי הפונקציה f(x) מהנגזרת, חשב את נקודות הקיצון בתחום ההגדרה.

נגזרתנקודות קיצון

רמז: חשב את הנגזרת, השווה לאפס ופתור תוך הקפדה על תחום ההגדרה.

פתרון מלא

תשובה סופית: x=1

הנגזרת היא 3 - 6/(2√x). משווים לאפס: 3 = 6/(2√x), מפשטים ומקבלים x=1.

חקר עלייה וירידה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בדוק מתי הפונקציה עולה ומתי היא יורדת לפי הנגזרת ומצבי התחום.

עלייה וירידהנגזרת

רמז: הציב ערכים בטווחים לפני ואחרי נקודות הקיצון.

פתרון מלא

תשובה סופית: יורדת ב(0,1), עולה ב(1,∞)

כשהנגזרת חיובית x>1, הפונקציה עולה. כשהנגזרת שלילית 0<x<1, היא יורדת.

חיתוך עם ציר ה-y ותחום הגרף

רמת קושי: בגרות

ממתין

מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר y ושרטט בקווים כלליים את התנהגות הגרף בתחום ההגדרה.

ציר yחיתוךגרף

רמז: הציב x=0 בפונקציה. זכור תחום ההגדרה.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת חיתוך עם ציר y היא (0,7)

בפונקציה f(0)=3*0 - 6*0 +7=7. אך לפי השיעור הפונקציה מוגדרת ל-x≥0, והגרף מתחיל בנקודה (0,7).

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל – מציאת נקודת קיצון

נגזרת של פונקציה עם שורש ובחינת עלייה וירידה

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודות קיצון של הפונקציה / תחומי עלייה וירידה של הפונקציה
נתון 1
נתון 1
פונקציה f(x) = 3√x - 6√x + 7
נתון 2
x ≥ 0 (תחום הגדרה)
רעיון
הרעיון המרכזי
חשב את הנגזרת, מצא מתי היא שווה לאפס בתחום ההגדרה, בדוק סימני הנגזרת בין נקודות קיצון.
נוסחה
נגזרת f: 3 - (6)/(2√x)
f'(x) = 3 - 6 / (2 sqrt x)f'(x) = 3 - (6)/(2x)
משוואה
3 - 6/(2√x) = 0; פישוט למשוואה x=1
3 - 6/(2√x) = 0; פישוט למשוואה x=1
פישוט
בדיקת סימן הנגזרת עבור x<1 ו-x>1
בדיקת סימן הנגזרת עבור x<1 ו-x>1
תוצאה
מסיימים בתשובה
הפונקציה נתונה עם שורשים, תחום ההגדרה הוא x≥0

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפונקציה ותחום ההגדרה

מה עושים

הפונקציה נתונה עם שורשים, תחום ההגדרה הוא x≥0

למה

שורש המחייב המשתנה להיות לא שלילי

הפונקציה היא 3√x - 6√x + 7 והתחום x≥0

בחירת שיטה

מציאת נקודות קיצון בנגזרת

מה עושים

נמצא את הנגזרת ונשווה לאפס כדי למצוא נקודות קיצון

למה

נקודות בהן הנגזרת שווה לאפס הן מועמדות לנקודות קיצון

חישוב נגזרת ופישוט המשוואה

בניית משוואה

חישוב הנגזרת

מה עושים

נגזרת f: 3 - (6)/(2√x)

למה

נגזרת של 3√x היא 3, נגזרת של -6√x היא -6 חלקי 2√x

f'(x) = 3 - 6/(2√x)

נוסחה / הצבה

f'(x) = 3 - 6 / (2 sqrt x)f'(x) = 3 - (6)/(2x)

חשוב לשים לב לבצע את הפישוט נכון

פתרון

פתרון משוואת הנגזרת שווה לאפס

מה עושים

3 - 6/(2√x) = 0; פישוט למשוואה x=1

למה

פתרון המשוואה למציאת נקודת קיצון בתחום ההגדרה

3 = 6/(2√x) ⇒ 3*2√x =6 ⇒ 6√x=6 ⇒ √x=1 ⇒ x=1

כפל בשורש ובצמצום נכון חשוב למנוע טעויות

פתרון

קביעת תחומי עלייה וירידה

מה עושים

בדיקת סימן הנגזרת עבור x<1 ו-x>1

למה

סימני נגזרת מראים עלייה (חיובי) וירידה (שלילי)

עבור 0<x<1 נגזרת <0 הפונקציה יורדת, עבור x>1 נגזרת >0 הפונקציה עולה

בדיקת ערכים תקופתיים בין נקודות הקיצון

פתרונות כלליים

מציאת תחום הגדרה: כיון שיש שורש ריבועי של x, x צריך להיות גדול או שווה ל-0. מגיעים ל: x ≥ 0.
מציאת נקודות קיצון: הנגזרת היא 3 - 6/(2√x). משווים לאפס: 3 = 6/(2√x), מפשטים ומקבלים x=1.
חקר עלייה וירידה: כשהנגזרת חיובית x>1, הפונקציה עולה. כשהנגזרת שלילית 0<x<1, היא יורדת.
חיתוך עם ציר ה-y ותחום הגרף: בפונקציה f(0)=3*0 - 6*0 +7=7. אך לפי השיעור הפונקציה מוגדרת ל-x≥0, והגרף מתחיל בנקודה (0,7).

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

ד3. שאלון 803 - פתרון מלא קיץ 17 מועד ב - תרגיל 4 - ניגזרת וחקירת פונקציה - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון תרגיל – מציאת נקודת קיצון

מפת פתרון

למצוא נקודות קיצון של הפונקציה / תחומי עלייה וירידה של הפונקציה

נתון 1

x ≥ 0 (תחום הגדרה)

הרעיון המרכזי

נגזרת f: 3 - (6)/(2√x)

3 - 6/(2√x) = 0; פישוט למשוואה x=1

בדיקת סימן הנגזרת עבור x<1 ו-x>1

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הפונקציה ותחום ההגדרה

מציאת נקודות קיצון בנגזרת

חישוב הנגזרת

פתרון משוואת הנגזרת שווה לאפס

קביעת תחומי עלייה וירידה

פתרונות כלליים