השיעור מתמקד במציאת פונקציה נתונה על ידי אינטגרציה של הנגזרת שלה, שימוש בנקודת חיתוך לציר ה-x למציאת קבוע האינטגרציה.
להבין כיצד לאינטגרל נגזרת פונקציה ולהשיב את הפונקציה המקורית
למצוא את קבוע האינטגרציה באמצעות נקודת חיתוך נתונה
להבין את המשמעות הגרפית של נקודת חיתוך בציר ה-x
לתרגל פתרון תרגילים בתחום נגזרות ואינטגרלים
הצגת הבעיה: מתואר פונקציה y נטלת כביטוי עם נגזרת ידועה, ונתונה נקודת חיתוך על ציר ה-x.
פתרון באמצעות אינטגרציה: מבצעים אינטגרציה של הנגזרת, מוצאים את הפונקציה המקורית בצורתה הכוללת קבוע אינטגרציה.
קביעת קבוע האינטגרציה: מניחים נקודת חיתוך ידועה, ומציבים אותה בפונקציה כדי למצוא את ערכו של קבוע ה-C.

תרגול קצר

מציאת פונקציה מאינטגרל נגזרת

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה פונקציה עם נגזרת y' = 2x² - 5. ידוע כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה-x בנקודה (3,0). מצא y(x) לכל x.

אנליטיתאינטגרליםפונקציותקבוע אינטגרציה

רמז: אינטגרל את הנגזרת כדי לקבל את הפונקציה y, ואז הצב את הנקודה (3,0) כדי למצוא את הקבוע C.

פתרון מלא

תשובה סופית: y = (2/3)x³ - 5x - 3

אינטגרל של y' = 2x² - 5 הוא y = (2/3)x³ - 5x + C. הצב x=3, y=0: 0 = (2/3)*27 - 5*3 + C = 18 - 15 + C => C = -3. הפונקציה היא y = (2/3)x³ - 5x - 3.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל אינטגרציה עם קבוע

מציאת פונקציה נתונה נגזרת ונקודת חיתוך

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא הפונקציה y(x) הכוללת את קבוע האינטגרציה
נתון 1
נתון 1
נגזרת הפונקציה y' = 2x² - 5
נתון 2
נקודת חיתוך של הפונקציה עם ציר ה-x היא (3,0)
רעיון
הרעיון המרכזי
אינטגרציה של הנגזרת ופיתרון עבור קבוע האינטגרציה בעזרת הנקודה הנתונה.
נוסחה
y = ∫ (2x² - 5) dx = (2/3)x³ - 5x + C.
y = 2/3 x^3 - 5 x + Cy = 2/3 x³ - 5 x + Cy = (2)/(3)x^(3) - 5x + C
משוואה
נציב x=3 ו-y=0 במשוואה: 0 = (2/3)*27 - 5*3 + C.
נציב x=3 ו-y=0 במשוואה: 0 = (2/3)*27 - 5*3 + C.
0 = 18 - 15 + C
פישוט
C = 0 - 18 + 15 = -3.
C = 0 - 18 + 15 = -3.
C = -3
תוצאה
מסיימים בתשובה
y = (2/3)x³ - 5x - 3.
y = 2/3 x^3 - 5 x - 3y = (2/3)x³ - 5x - 3

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הנגזרת ונקודת החיתוך

מה עושים

קיבלנו y' = 2x² - 5 ונקודה (3,0).

למה

עלינו להשתמש בנגזרת על מנת לשחזר את הפונקציה, והנקודה לקבוע את קבוע האינטגרציה.

הנגזרת היא פונקציית השיפוע, ונקודת החיתוך עוזרת לקבוע את הפונקציה המלאה.

בחירת שיטה

למצוא את y על ידי אינטגרציה

מה עושים

נבצע אינטגרל לאגף y' כדי לקבל y.

למה

כי האינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לנגזרת.

בניית משוואה

כתיבת האינטגרל עם קבוע

מה עושים

y = ∫ (2x² - 5) dx = (2/3)x³ - 5x + C.

למה

נוסחה זו מייצגת את הפונקציה הכוללת הקבוע.

נוסחה / הצבה

y = 2/3 x^3 - 5 x + Cy = 2/3 x³ - 5 x + Cy = (2)/(3)x^(3) - 5x + C

יש לזכור להוסיף תמיד את קבוע האינטגרציה C.

פתרון

קביעת קבוע C באמצעות נקודה

מה עושים

נציב x=3 ו-y=0 במשוואה: 0 = (2/3)*27 - 5*3 + C.

למה

כדי למצוא את ערך קבוע האינטגרציה לפי הנקודה הנתונה.

נוסחה / הצבה

0 = 18 - 15 + C

שימו לב לפתור נכונה למשוואה עם C.

פתרון

חישוב ערך C

מה עושים

C = 0 - 18 + 15 = -3.

למה

על ידי סידור המשוואה נקבל את ערך C המדויק.

נוסחה / הצבה

C = -3

תשובה

הפונקציה הסופית

מה עושים

y = (2/3)x³ - 5x - 3.

למה

זו הפונקציה שמיטיבה לייצג את הנתונים.

נוסחה / הצבה

y = 2/3 x^3 - 5 x - 3y = (2/3)x³ - 5x - 3y = (2)/(3)x^(3) - 5x - 3

פתרונות כלליים

מציאת פונקציה מאינטגרל נגזרת: אינטגרל של y' = 2x² - 5 הוא y = (2/3)x³ - 5x + C. הצב x=3, y=0: 0 = (2/3)*27 - 5*3 + C = 18 - 15 + C => C = -3. הפונקציה היא y = (2/3)x³ - 5x - 3.

הפריט הקודם הפריט הבא

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

ה11. שאלון 803 - מציאת פונקציה בעזרת אינטגרל על ניגזרת והצבת נקודה, מציאת קבוע אינטגרציה- ארז כהן

ניווט לפי נושאים

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון תרגיל אינטגרציה עם קבוע

מפת פתרון

למצוא הפונקציה y(x) הכוללת את קבוע האינטגרציה

נתון 1

נקודת חיתוך של הפונקציה עם ציר ה-x היא (3,0)

הרעיון המרכזי

y = ∫ (2x² - 5) dx = (2/3)x³ - 5x + C.

נציב x=3 ו-y=0 במשוואה: 0 = (2/3)27 - 53 + C.

C = 0 - 18 + 15 = -3.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הנגזרת ונקודת החיתוך

למצוא את y על ידי אינטגרציה

כתיבת האינטגרל עם קבוע

קביעת קבוע C באמצעות נקודה

חישוב ערך C

הפונקציה הסופית

פתרונות כלליים