שיעור המתמקד בחישוב שטח כלוא בין שתי פונקציות בעזרת אינטגרלים, תוך הבנת פונקציה עליונה ותחתונה וגבולות אינטגרציה.
לזהות פונקציה עליונה ותחתונה באזור כלוא
להגדיר גבולות אינטגרציה מתאימים
לכתוב אינטגרל לחישוב שטח כלוא בין שתי פונקציות
לבצע חישוב אינטגרל עם מציאת פונקציה קדומה
להציב גבולות ולחשב את השטח המדויק
סקירת השרטוט והפונקציות: נבחנות שתי פונקציות y = x^2 + 4 ו-y = x - 3 שמגדירות את השטח הכלוא בין הקירות x = -1 ו-x = 2.
הגדרת הפונקציות והגבולות באינטגרל: הגדרת האינטגרל לחישוב שטח השטח הכלוא לפי הפונקציה העליונה פחות הפונקציה התחתונה בין הגבולות.
חישוב האינטגרל: כינוס הביטויים, חישוב הפונקציה הקדומה והצבת הגבולות לקבלת התוצאה הסופית.

תרגול קצר

חישוב שטח כלוא בין פונקציות פשוטות

רמת קושי: קל

ממתין

לחשב את השטח הכלוא בין הפונקציות y = x² + 4 לבין y = x - 3 בין x = -1 ל-x = 2 באמצעות אינטגרל.

שטח כלואאינטגרלפונקציותחישוב שטח

רמז: קבע את הפונקציה העליונה והתחתונה, כתוב אינטגרל עם הפרש הפונקציות בין הגבולות והפעל את חוקי האינטגרציה.

פתרון מלא

תשובה סופית: 25.5 (בקירוב)

הפונקציה העליונה היא y = x² + 4, התחתונה y = x - 3 שטח = אינטגרל מ-(-1) עד 2 של (x² + 4 - (x - 3)) dx = אינטגרל מ-(-1) עד 2 של (x² + 4 - x + 3) dx = אינטגרל מ-(-1) עד 2 של (x² - x + 7) dx חישוב הפונקציה הקדומה: ∫ x² dx = x³/3 ∫ (-x) dx = -x²/2 ∫ 7 dx = 7x הצבת הגבולות: [(2)³/3 - (2)²/2 + 7*2] - [(-1)³/3 - (-1)²/2 + 7*(-1)] = [8/3 - 2 + 14] - [-1/3 - 0.5 - 7] = (8/3 + 12) - (-1/3 - 7.5) = 25.493 (בערך)

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון לתרגיל חישוב שטח כלוא בין פונקציות

שלבי חישוב אינטגרל לחישוב השטח בין שתי פונקציות

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא שטח השטח הכלוא בין הפונקציות בין הגבולות
נתון 1
נתון 1
y = x² + 4 (פונקציה עליונה)
נתון 2
נתון 2
y = x - 3 (פונקציה תחתונה)
נתון 3
נתון 3
קירות X = -1 ו-X = 2
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את האינטגרל של הפרש הפונקציות בין הגבולות הנתונים.
נוסחה
חשב את אינטגרל המונומים בנפרד: x³/3 - x²/2 + 7x
פונקציה קדומה= x בשלישית חלקי 3 מינוס x ברבע חלקי 2 ועוד 7X
משוואה
פשט את הביטוי בתוך האינטגרל ל-x² - x + 7
פשט את הביטוי בתוך האינטגרל ל-x² - x + 7
פישוט
הצב x=2 ו-x=-1 בפונקציה הקדומה וחסר ביניהם לקבלת השטח
הצב x=2 ו-x=-1 בפונקציה הקדומה וחסר ביניהם לקבלת השטח

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

פונקציה עליונה ותחתונה

מה עושים

הגדר את הפונקציה העליונה y = x² + 4 והפונקציה התחתונה y = x - 3

למה

יש להבחין מי הפונקציה העליונה כדי לקבוע את הפרש הפונקציות באינטגרל

זיהוי נתונים

גבולות האינטגרציה

מה עושים

הגדר את הגבולות האופקיים כ-x = -1 ו-x = 2

למה

האינטגרל מיועד לחישוב השטח בין הגבולות הללו

בחירת שיטה

כתיבת האינטגרל לחישוב שטח

מה עושים

הגדר את השטח כאינטגרל מ-(-1) עד 2 של (פונקציה עליונה מינוס פונקציה תחתונה) dx

למה

השטח הכלוא הוא סכום ההפרשים בין שתי הפונקציות לאורך תחום ה-x הנתון

שטח = אינטגרל מ- -1 עד 2 של (x² + 4 - (x - 3)) dx

נוסחה / הצבה

שטח = אינטגרל מ-(-1) עד 2 (x בריבוע + 4 - (x - 3)) דלתא xשטח = ∫_-1^(2) (x² + 4 - (x - 3)) dx_-1^(2) (x^(2) + 4 - (x - 3)) dx

זכור לשים סוגריים כדי למנוע טעויות סימנים

בניית משוואה

פישוט הביטוי באינטגרל

מה עושים

פשט את הביטוי בתוך האינטגרל ל-x² - x + 7

למה

משפר דיוק ונוחות בחישוב הפונקציה הקדומה

x² + 4 - x + 3 = x² - x + 7

כפל וסימון נכון של סימני החיסור חשובים

פתרון

חישוב הפונקציה הקדומה של האינטגרנד

מה עושים

חשב את אינטגרל המונומים בנפרד: x³/3 - x²/2 + 7x

למה

פונקציה קדומה מאפשרת חישוב ערך האינטגרל על ידי הצבת הגבולות

∫ x² dx = x³/3, ∫ (-x) dx = -x²/2, ∫ 7 dx = 7x

נוסחה / הצבה

פונקציה קדומה= x בשלישית חלקי 3 מינוס x ברבע חלקי 2 ועוד 7X

ארגן לפי חוקים בסיסיים של אינטגרציה

פתרון

הצבת הגבולות וחישוב הערך

מה עושים

הצב x=2 ו-x=-1 בפונקציה הקדומה וחסר ביניהם לקבלת השטח

למה

הצבת הגבולות נותנת את השטח המדויק של השטח הכלוא

[(2)^3/3 - (2)^2/2 + 7*2] - [(-1)^3/3 - (-1)^2/2 + 7*(-1)] ≈ 25.5

שים לב לסימנים ולהפרדה בסוגריים כדי למנוע טעויות

פתרונות כלליים

חישוב שטח כלוא בין פונקציות פשוטות: הפונקציה העליונה היא y = x² + 4, התחתונה y = x - 3 שטח = אינטגרל מ-(-1) עד 2 של (x² + 4 - (x - 3)) dx = אינטגרל מ-(-1) עד 2 של (x² + 4 - x + 3) dx = אינטגרל מ-(-1) עד 2 של (x² - x + 7) dx חישוב הפונקציה הקדומה: ∫ x² dx = x³/3 ∫ (-x) dx = -x²/2 ∫ 7 dx = 7x הצבת הגבולות: [(2)³/3 - (2)²/2 + 7*2] - [(-1)³/3 - (-1)²/2 + 7*(-1)] = [8/3 - 2 + 14] - [-1/3 - 0.5 - 7] = (8/3 + 12) - (-1/3 - 7.5) = 25.493 (בערך)

הפריט הקודם הפריט הבא

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

ה8. שאלון 803 - אינטגרל עבור שטח כלוא - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון לתרגיל חישוב שטח כלוא בין פונקציות

מפת פתרון

למצוא שטח השטח הכלוא בין הפונקציות בין הגבולות

נתון 1

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

חשב את אינטגרל המונומים בנפרד: x³/3 - x²/2 + 7x

פשט את הביטוי בתוך האינטגרל ל-x² - x + 7

הצב x=2 ו-x=-1 בפונקציה הקדומה וחסר ביניהם לקבלת השטח

פתרון מפורט

פונקציה עליונה ותחתונה

גבולות האינטגרציה

כתיבת האינטגרל לחישוב שטח

פישוט הביטוי באינטגרל

חישוב הפונקציה הקדומה של האינטגרנד

הצבת הגבולות וחישוב הערך

פתרונות כלליים