וידאו · אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון
תוכן הקורס
ו1. שאלון 803 - חזרה על טכניקה של אינטגרלים - ארז כהן
ו2. שאלון 803 - חזרה על טכניקה של מציאת שטח בין גרפים בעזרת אינטגרלים - ארז כהן
ו3. שאלון 803 - פתרון תרגיל במציאת שטח בין גרפים - ארז כהן
ז1. שאלון 803 - בעית קיצון עם מספרים - ארז כהן
ז2. שאלון 803 - בעית קיצון עם גרף- ארז כהן
ז3. שאלון 803 - בעית קיצון עם מצב מציאותי וכסף- ארז כהן
ז4. שאלון 803 - בעית קיצון עם גרף- ארז כהן
מציאת מקסימום היקף מלבן בגרף
רמת קושי: קל
נתונה פרבולה y = -x² + 8x ונקודה A ברביעי הראשון עם קואורדינטה x. המלבן ABCO בנוי כך ש-A הוא הנקודה בעקומה, B על ציר ה-X ו-C על ציר ה-Y. סמן את ה-x של A כך שההיקף של המלבן יהיה מקסימלי.
רמז: השתמש בפונקציה של היקף המלבן כפרמטר לפי x, גזור ואפס את הנגזרת.
תשובה סופית: x = 4.5
היקף P = 2 * ((-x² + 8x) - 0) + 2 * (x - 0) = 2(-x² + 8x) + 2x פשט: P = -2x² + 16x + 2x = -2x² + 18x נגזר: P' = -4x + 18 פתור: -4x + 18 = 0 => x = 18/4 = 4.5 ה-x שממקסם את ההיקף הוא 4.5.
איתור x שממקסם את היקף המלבן ABCO בגרף
פרבולה: y = -x² + 8xלנסח פונקציה של ההיקף כתלות ב-x, לגזור ולפתור שיגרת המשוואה נגזרת שווה 0 למציאת מקסימום.
P = 2(-x^2 + 8x) + 2xP = 2(-x² + 8x) + 2xP = 2(-x^(2) + 8x) + 2xפתור את המשוואה -4x + 18 = 0
-4x + 18 = 0x = 18 / 4 = 4.5x = 18/4 = 4.5x = (18)/(4) = 4.5פשט את הפונקציה ל: P = -2x² + 18x ולחשב נגזרת P' = -4x + 18
P = -2x^2 + 18xP' = -4x + 18השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
הוגדרה פרבולה ונקודה A עם קואורדינטות (x,y).
למה
המשתנה x הוא פרמטר חשוב לפונקציית ההיקף.
הפרבולה y שווה למינוס x בריבוע ועוד 8x, בנקודה A יש ערך משתנה x.
בחירת שיטה
מה עושים
נחשב את היקף המלבן כפונקציה של x.
למה
היקף המלבן הוא סכום אורך ורוחב כפול 2.
אורך המלבן הוא ההפרש ב-y מעל לציר X, הרוחב הוא ההפרש ב-x בציר X.
חישוב אורך ורוחב נכון חיוני.
בניית משוואה
מה עושים
נכתוב את הביטוי: P = 2 * ((-x² + 8x) - 0) + 2 * (x - 0)
למה
פונקציה זאת מתארת את היקף המלבן כתלות ב-x בלבד.
היקף הוא סכום פעמיים האורך והרוחב.
נוסחה / הצבה
P = 2(-x^2 + 8x) + 2xP = 2(-x² + 8x) + 2xP = 2(-x^(2) + 8x) + 2xשמור על סדר וניקיון בנוסחה.
פתרון
מה עושים
פשט את הפונקציה ל: P = -2x² + 18x ולחשב נגזרת P' = -4x + 18
למה
הנגזרת עוזרת למצוא נקודות חיתוך עם האיקס והקיצון של הפונקציה.
נקודת קיצון תתקבל כאשר הנגזרת שווה לאפס.
נוסחה / הצבה
P = -2x^2 + 18xP' = -4x + 18P = -2x^(2) + 18xבדוק שאינה מצויה בתחום לא רצוי.
פתרון
מה עושים
פתור את המשוואה -4x + 18 = 0
למה
פתרון עבור x יעדכן מתי ההיקף מקסימלי.
פשט ונמצא ש-x = 4.5
נוסחה / הצבה
-4x + 18 = 0x = 18 / 4 = 4.5x = 18/4 = 4.5x = (18)/(4) = 4.5יתכן ש-x הוא מקסימום או מינימום, יש לבדוק.
תשובה
מה עושים
x = 4.5 הוא ערך ה-x שממקסם את היקף המלבן.
למה
זהו הפתרון לבעיה ההיקפית.
נציב ונחשב את ההיקף לקבלת הערך המקסימלי.