וידאו · אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון
תוכן הקורס
ו3. שאלון 803 - פתרון תרגיל במציאת שטח בין גרפים - ארז כהן
ז1. שאלון 803 - בעית קיצון עם מספרים - ארז כהן
ז2. שאלון 803 - בעית קיצון עם גרף- ארז כהן
ז3. שאלון 803 - בעית קיצון עם מצב מציאותי וכסף- ארז כהן
ז4. שאלון 803 - בעית קיצון עם גרף- ארז כהן
חישוב היקף מלבן מתחת לפרבולה
רמת קושי: קל
נתונה הפרבולה y = -x² + 8x ונוצר מלבן ABC כפי המתואר בשיעור. חשבו את היקף המלבן כתלות ב-x.
רמז: ההיקף מורכב מסכום צדדים: הכפילו את רוחב המלבן ב-2 ואת גובה המלבן ב-2 והוסיפו.
תשובה סופית: P(x) = -2x² + 18x
גובה המלבן הוא y - 0 = -x² + 8x. הרוחב הוא x - 0 = x. לכן ההיקף הוא 2*(גובה) + 2*(רוחב) = 2*(-x² + 8x) + 2*x = -2x² + 16x + 2x = -2x² + 18x.
מציאת נקודת קיצון להצגת מקסימום היקף המלבן
רמת קושי: בינוני
מצא את הערך של x שגורם להיקף המלבן P(x) = -2x² + 18x להימצא בנקודת מקסימום.
רמז: נגזרו את הפונקציה והשוו את הנגזרת לאפס למציאת נקודות קיצון.
תשובה סופית: x = 4.5
נגזרת הפונקציה היא P'(x) = -4x + 18. הפתרון של -4x + 18 = 0 הוא x = 18/4 = 4.5.
חישוב ערך ההיקף המקסימלי
רמת קושי: מאתגר
הציבו את הערך x=4.5 בפונקציה P(x) = -2x² + 18x וחישבו את היקף המלבן המקסימלי.
רמז: הציבו x בנוסחה וחישבו את תוצאת הביטוי.
תשובה סופית: היקף מקסימלי = 40.5
P(4.5) = -2*(4.5)² + 18*4.5 = -2*20.25 + 81 = -40.5 + 81 = 40.5.
בעיית קיצון עם היקף מלבן תחת פרבולה
רמת קושי: בגרות
נתונות האגפים המלבן מתחת לגרף y = -x² + 8x עם נקודת A ברביע הראשון. ביטאו את היקף המלבן, מצאו את נקודת המקסימום של הפונקציה, ואת ערך ההיקף באותה נקודה.
רמז: קודם הסבירו את ביטוי ההיקף, אחר כך גזרו ואפסו את הנגזרת, רכשו x, וציבו אותו.
תשובה סופית: היקף המלבן הוא P(x) = -2x² + 18x; נקודת מקסימום ב-x=4.5; היקף מקסימלי = 40.5.
היקף P(x) = 2*(y עליון - 0) + 2*(x - 0) = 2*(-x² + 8x) + 2x = -2x² + 18x. הנגזרת P'(x) = -4x + 18. פתרון P'(x)=0: x=4.5. חישוב P(4.5) = -2*(4.5)² + 18*4.5 = 40.5.
חישוב היקף המלבן ומציאת נקודת המקסימום
y = -x² + 8xננסח את ההיקף כפונקציה של x, נפשט אותה, נגזור ונמצא את x שמאפס את הנגזרת, נסיים בחישוב ההיקף
P = 2*(-x^2 + 8x) + 2*xP = 2*(-x² + 8x) + 2*xP = 2(-x^(2) + 8x) + 2xמציבים x=4.5 ב-P(x) ומקבלים P(4.5)=40.5
פותחים סוגריים מפשטים: P = -2x² + 16x + 2x = -2x² + 18x.
נגזרת P'(x) = -4x + 18.
-4x + 18 = 0השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
הגרף נתון כפונקציה y = -x² + 8x, המלבן מוגדר תחתיו עם נקודות O, A, B, C.
למה
זה הכלי הבסיסי להבנת הצורה שהמלבן מוגדר בה.
משכנעים את עצמנו שאנו מבינים את צורת הגרף והמלבן.
בחירת שיטה
מה עושים
היקף המלבן הוא סכום 2 פעמים הגובה ועוד 2 פעמים הרוחב.
למה
היקף משולש או מלבן הוא סכום הצלעות.
להיזהר מהכפלה ב-2 בשני הממדים.
בניית משוואה
מה עושים
גובה המלבן הוא y (כי תחתית המלבן ב-0), והרוחב הוא x (מ-0 ל-x). לכן P = 2y + 2x.
למה
כמו במלבן רגיל עם צלעות h ו-w.
נוסחה / הצבה
P = 2*(-x^2 + 8x) + 2*xP = 2*(-x² + 8x) + 2*xP = 2(-x^(2) + 8x) + 2xלכתוב בצד ביטוי שמכיל x בלבד.
פתרון
מה עושים
פותחים סוגריים מפשטים: P = -2x² + 16x + 2x = -2x² + 18x.
למה
פישוט לנוסחה ברורה ונוחה לגזירה.
לסדר ביטוי פולינומי מדרגות יורדות.
פתרון
מה עושים
נגזרת P'(x) = -4x + 18. משווים ל-0 כדי לקבל x = 4.5.
למה
נגזרת 0 אומרת נקודת קיצון של הפונקציה.
נוסחה / הצבה
-4x + 18 = 0להזכיר לחלק ולהעביר אגפים.
תשובה
מה עושים
מציבים x=4.5 ב-P(x) ומקבלים P(4.5)=40.5
למה
כדי לדעת את ערך ההיקף המקסימלי שניתן להשיג.
יש להשתמש בחיישן מדויק או מחשבון.