שיעור המתמקד בפתרון תרגיל במציאת שטח בין שני גרפים על ידי מציאת נקודות החיתוך וכתיבת אינטגרל מתאים לחישוב השטח.
לזהות נקודות חיתוך בין שני גרפים על ידי השוואת הפונקציות
להרכיב משוואה על בסיס פונקציות נתונות
להשתמש בכלי מחשבון למציאת שורשי משוואה פולינומית
לכתוב אינטגרל לחישוב השטח בין גרפים
לבצע פישוט ואינטגרציה של ביטויים פולינומיים
לחשב ערכי אינטגרל ולהבין משמעותם גאומטרית
מציאת נקודות החיתוך: השוואת שני פונקציות נתונות על מנת למצוא את נקודות החיתוך ביניהן, הכוללת העברת אגפים ומשוואה לפולינום חד-משמעי.
חישוב השטח בין הגרפים: כתיבת האינטגרל שמייצג את השטח בין שתי הפונקציות בין נקודות החיתוך שמצאנו, ופישוטו לפני חישוב הערך.

תרגול קצר

מציאת נקודות החיתוך בין פונקציות

רמת קושי: קל

ממתין

נתונות הפונקציות f(x) = x^3 - 3x + 3 ו-g(x) = -x^2 + 3x + 3. מצא את נקודות החיתוך ביניהן.

נקודות_חיתוךהשוואת_פונקציות

רמז: שווה בין הפונקציות וכתוב משוואה פולינומית. השתמש במחשבון למציאת השורשים.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = -3, 0, 2

שוויון הפונקציות: x^3 - 3x + 3 = -x^2 + 3x + 3 מעבר אגפים וסידור: x^3 + x^2 - 6x = 0 פקטוריזציה: x(x^2 + x -6) = 0 שורשים: x=0, x=2, x=-3 בדיקה ומסקנה: נקודות החיתוך הן ב-x=-3, 0, 2.

חישוב שטח בין גרפים בעזרת אינטגרל

רמת קושי: בינוני

ממתין

חשב את השטח בין הפונקציות f(x) = x^3 - 3x + 3 ו-g(x) = -x^2 + 3x + 3 בתחום בין x=-3 ל-x=0.

אינטגרלשטח_בין_גרפים

רמז: השטח הוא אינטגרל מהפרש הפונקציות מהגבול התחתון לעליונה, בצע פישוט לפני חישוב האינטגרל.

פתרון מלא

תשובה סופית: 15.75

שטח = אינטגרל מ-x=-3 עד 0 של (f(x)-g(x)) dx פישוט האינטגרנד: (x^3 - 3x +3) - (-x^2 + 3x +3) = x^3 + x^2 - 6x חשב אינטגרלים: ∫ x^3 dx = x^4/4 ∫ x^2 dx = x^3/3 ∫ 6x dx = 3x^2 לכן: שטח = [x^4/4 + x^3/3 - 3x^2] בין -3 ל-0 הצבה ב-0: 0 הצבה ב-(-3): (-3)^4/4 + (-3)^3/3 - 3*(-3)^2 = 81/4 - 27/3 - 27 = 20.25 - 9 - 27 = -15.75 שטח = 0 - (-15.75) = 15.75

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון לתרגיל מציאת שטח בין גרפים

שלבי פתרון חישוב השטח בין פונקציות נתונות

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא את שטח האזור בין הגרפים בתחום הנתון
נתון 1
נתון 1
f(x) = x³ - 3x + 3
נתון 2
נתון 2
g(x) = -x² + 3x + 3
נתון 3
טווח x בין -3 ל-0
רעיון
הרעיון המרכזי
מצא תחילה את נקודות החיתוך, כתוב את האינטגרל של הפרש הפונקציות בטווח זה, ופשט את האינטגרל כדי
נוסחה
חשב את f(x) - g(x) ופשט את הביטוי
x^3 + x^2 - 6x
משוואה
כתוב את האינטגרל מ-x=-3 עד x=0 עם האינטגרנד המחושב
כתוב את האינטגרל מ-x=-3 עד x=0 עם האינטגרנד המחושב
int from -3 to 0 of (x^3 + x^2 - 6x) dx_-3^0 (x^3 + x^2 - 6x) dx
פישוט
חשב את האינטגרל וחסר את הערך בנקודת ההתחלה מהערך בנקודת הסיום
חשב את האינטגרל וחסר את הערך בנקודת ההתחלה מהערך בנקודת הסיום
(x^4 /4 + x^3 /3 - 3 x^2) evaluated from -3 to 0[ (x^4)/(4) + (x^3)/(3) - 3x^2 ]_-3^0

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפונקציות וגבולות אינטגרציה

מה עושים

ידועות הפונקציות f ו-g וטווח X בין -3 ל-0

למה

יש להשתמש בנתונים כדי לזהות את גבולות האינטגרציה והפונקציות הרלוונטיות

נתונים f(x), g(x) וטווח הערכים ל-x

בחירת שיטה

חישוב נקודות החיתוך

מה עושים

שווה בין הפונקציות לקבלת משוואה פולינומית

למה

נקודות החיתוך הן הגבולות לאינטגרל שלנו

משווים f(x)=g(x) לקבלת משוואה סופית

למצוא שורשים מתוך המשוואה הפולינומית בעזרת מחשבון מתי שנדרש

בניית משוואה

כתיבת משוואת ההפרש בין הפונקציות

מה עושים

חשב את f(x) - g(x) ופשט את הביטוי

למה

האינטגרנד הוא הפרש הפונקציות בתחום שנבחר

הפרש הוא x^3 + x^2 - 6x

נוסחה / הצבה

x^3 + x^2 - 6x

התייחסו לסימנים כדי לא לטעות בהפרש

בניית משוואה

הגדרת האינטגרל לחישוב השטח

מה עושים

כתוב את האינטגרל מ-x=-3 עד x=0 עם האינטגרנד המחושב

למה

האינטגרל מחושב לפי תחום נקודות החיתוך והפונקציה המייצגת את השטח

האינטגרל הוא ∫(-3)^0 (x^3 + x^2 - 6x) dx

נוסחה / הצבה

int from -3 to 0 of (x^3 + x^2 - 6x) dx_-3^0 (x^3 + x^2 - 6x) dx

פתרון

חישוב האינטגרל והצבה בגבולות

מה עושים

חשב את האינטגרל וחסר את הערך בנקודת ההתחלה מהערך בנקודת הסיום

למה

הערך המתקבל הוא השטח בין הגרפים בטווח הנתון

הצבה בנקודות 0 ו-(-3) נותנת שוויון 15.75

נוסחה / הצבה

(x^4 /4 + x^3 /3 - 3 x^2) evaluated from -3 to 0[ (x^4)/(4) + (x^3)/(3) - 3x^2 ]_-3^0

חשוב לבצע את ההצבה ולחשב כל איבר בנפרד

תשובה

שני השטח הסופי

מה עושים

השטח בין הגרפים הוא 15.75 יחידות ריבועיות

למה

האינטגרל מדד את השטח בין הגרפים בטווח המסומן

תוצאה מספרית של חישוב השטח

נוסחה / הצבה

שטח = 15.75

פתרונות כלליים

מציאת נקודות החיתוך בין פונקציות: שוויון הפונקציות: x^3 - 3x + 3 = -x^2 + 3x + 3 מעבר אגפים וסידור: x^3 + x^2 - 6x = 0 פקטוריזציה: x(x^2 + x -6) = 0 שורשים: x=0, x=2, x=-3 בדיקה ומסקנה: נקודות החיתוך הן ב-x=-3, 0, 2.
חישוב שטח בין גרפים בעזרת אינטגרל: שטח = אינטגרל מ-x=-3 עד 0 של (f(x)-g(x)) dx פישוט האינטגרנד: (x^3 - 3x +3) - (-x^2 + 3x +3) = x^3 + x^2 - 6x חשב אינטגרלים: ∫ x^3 dx = x^4/4 ∫ x^2 dx = x^3/3 ∫ 6x dx = 3x^2 לכן: שטח = [x^4/4 + x^3/3 - 3x^2] בין -3 ל-0 הצבה ב-0: 0 הצבה ב-(-3): (-3)^4/4 + (-3)^3/3 - 3*(-3)^2 = 81/4 - 27/3 - 27 = 20.25 - 9 - 27 = -15.75 שטח = 0 - (-15.75) = 15.75

הפריט הקודם הפריט הבא

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

ו3. שאלון 803 - פתרון תרגיל במציאת שטח בין גרפים - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון לתרגיל מציאת שטח בין גרפים

מפת פתרון

למצוא את שטח האזור בין הגרפים בתחום הנתון

נתון 1

נתון 2

טווח x בין -3 ל-0

הרעיון המרכזי

חשב את f(x) - g(x) ופשט את הביטוי

כתוב את האינטגרל מ-x=-3 עד x=0 עם האינטגרנד המחושב

חשב את האינטגרל וחסר את הערך בנקודת ההתחלה מהערך בנקודת הסיום

פתרון מפורט

הפונקציות וגבולות אינטגרציה

חישוב נקודות החיתוך

כתיבת משוואת ההפרש בין הפונקציות

הגדרת האינטגרל לחישוב השטח

חישוב האינטגרל והצבה בגבולות

שני השטח הסופי

פתרונות כלליים