בשיעור זה לומדים כיצד לחשב שטח כלוא בין עקומות באמצעות מציאת הקירות (גבולות האינטגרציה) על ידי חיתוך עם צירים ונקודות קיצון, ואז חישוב האינטגרל של הבדל הפונקציות בין הקירות.
להבין כיצד לחשב נקודות חיתוך עם ציר X לפונקציות ריבועיות
לדעת למצוא נקודות קיצון של פונקציות בעזרת נגזרת
לזהות גבולות אינטגרציה על ידי חיתוכים ונקודות קיצון
לחבר אינטגרל להבדל בין פונקציות עליונה ותחתונה
לבצע חישוב שטח כלוא באמצעות האינטגרל
הגדרת הבעיה: הוצג גרף פונקציה y=x^2 - 4x והוגדר הצורך למצוא שטח כלוא בתחום מסוים בין עקומה לציר ה-X.
מציאת גבולות האינטגרציה (קירות): הוסבר כיצד למצוא את הקירות השמאלי והימני של השטח ע״י מציאת נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-X ונקודות קיצון באמצעות נגזרת.
חישוב שטח באמצעות אינטגרל: הוארך כיצד להגדיר אינטגרל להבדל בין הפונקציה העליונה (ציר X) לתחתונה (הפונקציה הנתונה) ולהשתמש בגבולות הקירות שחושבו.

תרגול קצר

חישוב שטח כלוא בין פונקציה וציר X

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה y = x² - 4x. חשב את השטח הכלוא בין העקומה לבין ציר ה-X בתחום שבו y שלילית.

אינטגרלשטח כלואפונקציות ריבועיות

רמז: מצא את נקודות החיתוך עם ציר ה-X וחשב את האינטגרל של הפונקציה התרמית בין הקירות.

פתרון מלא

תשובה סופית: 5.33

1. נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה-X על ידי השוואת y לאפס: 0 = x² - 4x x(x - 4) = 0 נקודות החיתוך הן x=0 ו-x=4. 2. נמצא את נקודת המינימום בעזרת נגזרת: f'(x) = 2x - 4 = 0 2x = 4 => x = 2. 3. נקבע את גבולות האינטגרציה מ-2 עד 4. 4. הפונקציה העליונה היא y=0 (ציר ה-X), התחתונה היא y = x² - 4x. 5. נבצע אינטגרל: ∫ מ-2 עד 4 של [0 - (x² - 4x)] dx = ∫ מ-2 עד 4 של (-x² + 4x) dx. 6. חישוב האינטגרל: = [-x³/3 + 2x²] מ-2 עד 4 = = (-(64/3) + 2*16) - (-(8/3) + 2*4) = = (-21.33 + 32) - (-2.67 + 8) = = 10.66 - 5.33 = 5.33. התוצאה היא שטח של כ-5.33 יחידות ריבועיות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון לחישוב שטח כלוא בין פונקציה לציר ה-X

דוגמה לפונקציה y = x² - 4x

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא השטח הכלוא בין הפונקציה לציר ה-X בתחום המתאים
נתון 1
נתון 1
y = x² - 4x
נתון 2
נתון 2
ציר X מוגדר כ-y = 0
רעיון
הרעיון המרכזי
נמצא את גבולות האינטגרציה (קירות) בעזרת חיתוך עם ציר X ונקודת מינימום, ואז נחשב את האינטגרל של
נוסחה
נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה-X על ידי השוואת y ל-0
0 = x * x - 4 * x0 = x*x - 4*x0 = x^(2) - 4x
משוואה
הפונקציה העליונה היא 0, התחתונה היא x² - 4x
הפונקציה העליונה היא 0, התחתונה היא x² - 4x
integral from 2 to 4 of (0 - (x^2 - 4x)) dx∫ מ-2 עד 4 של (0 - (x² - 4x)) dx
פישוט
נחשב את האינטגרל ונציב את הגבולות
נחשב את האינטגרל ונציב את הגבולות
- x^3 / 3 + 2 x^2- (x^(3))/(3) + 2 x^(2)
תוצאה
מסיימים בתשובה
נציב בגבולות ונחשב את ההפרש

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפונקציה וציר ה-X

מה עושים

הפונקציה נתונה y = x² - 4x, ציר ה-X הוא y=0

למה

יש לבצע חישוב שטח כלוא בין הפונקציה לציר X

הפונקציה מציינת את הקיר התחתון, ציר ה-X מייצג את הקיר העליון

זיהוי נתונים

זיהוי חיתוך עם ציר X

מה עושים

נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה-X על ידי השוואת y ל-0

למה

כדי לדעת את גבולות השטח כלוא

פתרון המשוואה 0 = x² - 4x נותן x=0 ו-x=4

נוסחה / הצבה

0 = x * x - 4 * x0 = x*x - 4*x0 = x^(2) - 4x

בחירת שיטה

מציאת נקודת מינימום (קיר פנימי)

מה עושים

נחשב את הנגזרת ונשווה ל-0 כדי למצוא נקודת מינימום

למה

נקודת המינימום מסייעת לקבוע גבולות הפתרון

הנגזרת היא 2x - 4, שווה ל-0 נותנת x=2

נוסחה / הצבה

2 * x - 4 = 0f'(x) = 2x - 4 = 0

בניית משוואה

כתיבת ההפרש לאינטגרל

מה עושים

הפונקציה העליונה היא 0, התחתונה היא x² - 4x

למה

כך מחשבים את שטח האזור הכלוא

נכתוב את האינטגרל מ-2 עד 4 של (0 - (x² - 4x))

נוסחה / הצבה

integral from 2 to 4 of (0 - (x^2 - 4x)) dx∫ מ-2 עד 4 של (0 - (x² - 4x)) dx

פתרון

פתרון האינטגרל

מה עושים

נחשב את האינטגרל ונציב את הגבולות

למה

כדי לקבל את ערך השטח

∫ שלילי x² - 4x = -x³/3 + 2x², מציבים גבולות ומחשבים

נוסחה / הצבה

- x^3 / 3 + 2 x^2- (x^(3))/(3) + 2 x^(2)

יש לשים לב לשטח הכתום ולפשט

תשובה

חישוב הערך הסופי

מה עושים

נציב בגבולות ונחשב את ההפרש

למה

כדי לקבל את התוצאה הסופית

10.666 - 5.333 = 5.333 יחידות שטח

תוצאה מספרית בשטח יחידות ריבועיות

פתרונות כלליים

חישוב שטח כלוא בין פונקציה וציר X: 1. נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה-X על ידי השוואת y לאפס: 0 = x² - 4x x(x - 4) = 0 נקודות החיתוך הן x=0 ו-x=4. 2. נמצא את נקודת המינימום בעזרת נגזרת: f'(x) = 2x - 4 = 0 2x = 4 => x = 2. 3. נקבע את גבולות האינטגרציה מ-2 עד 4. 4. הפונקציה העליונה היא y=0 (ציר ה-X), התחתונה היא y = x² - 4x. 5. נבצע אינטגרל: ∫ מ-2 עד 4 של [0 - (x² - 4x)] dx = ∫ מ-2 עד 4 של (-x² + 4x) dx. 6. חישוב האינטגרל: = [-x³/3 + 2x²] מ-2 עד 4 = = (-(64/3) + 2*16) - (-(8/3) + 2*4) = = (-21.33 + 32) - (-2.67 + 8) = = 10.66 - 5.33 = 5.33. התוצאה היא שטח של כ-5.33 יחידות ריבועיות.

הפריט הקודם הפריט הבא

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

ה9. שאלון 803 - אינטגרל עבור שטח כלוא, מציאת חסמים - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון לחישוב שטח כלוא בין פונקציה לציר ה-X

מפת פתרון

למצוא השטח הכלוא בין הפונקציה לציר ה-X בתחום המתאים

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה-X על ידי השוואת y ל-0

הפונקציה העליונה היא 0, התחתונה היא x² - 4x

נחשב את האינטגרל ונציב את הגבולות

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הפונקציה וציר ה-X

זיהוי חיתוך עם ציר X

מציאת נקודת מינימום (קיר פנימי)

כתיבת ההפרש לאינטגרל

פתרון האינטגרל

חישוב הערך הסופי

פתרונות כלליים