MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · הנדסת המרחב

ו4. אימון בהנדסת המרחב

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
26 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ה3. פירמידה ישרה משולשת

וידאו

ו1. אימון בהנדסת המרחב

וידאו

ו2. אימון בהנדסת המרחב

וידאו

ו3. אימון בהנדסת המרחב

וידאו

ו4. אימון בהנדסת המרחב

וידאו

ו5. אימון בהנדסת המרחב

וידאו

ו6. אימון בהנדסת המרחב

וידאו

ו7. אימון בהנדסת המרחב

וידאו

ו8. אימון בהנדסת המרחב

וידאו

ו9. אימון בהנדסת המרחב

וידאו

ו10. אימון בהנדסת המרחב

וידאו

ו11. אימון בהנדסת המרחב

וידאו

ו12. אימון בהנדסת המרחב

וידאו

ו13. אימון בהנדסת המרחב

סיכום שיעור

  • בשיעור זה התלמידים מתרגלים מיקומי נקודות במרחב בתלת-ממד, חישוב אורך קטעים, יצירת וקטורים, חישובי זוויות בין ישר למישור באמצעות וקטורים ונורמל למישור, שימוש במשפט פיתגורס וטריגונומטריה.
  • למקם נקודות במרחב תלת-ממדי לפי מערכת צירים
  • לחבר וקטורים בין נקודות ולהבין משמעותם גאומטרית
  • לחשב אורכי קטעים במרחב באמצעות פיתגורס וטריגונומטריה
  • למצוא וקטור נורמל למישור באמצעות מכפלת וקטורית
  • לחבר ביטויים וקטוריים ולחשב זוויות בין ישר למישור באמצעות סינוס הזווית בין וקטורים
  • מיקום נקודות במרחב: הצגת מערכת צירים תלת-ממדית ומיקום נקודות לפי צירים X, Y, Z.
  • חישוב אורכי קטעים בתלת-ממד: חישוב אורך קטעים במרחב באמצעות משפט פיתגורס וטריגונומטריה בסיסית.
  • חישוב וקטורים ונורמל למישור: יצירת וקטורים בתוך המישור ויצירת וקטור נורמל בעזרת מכפלת וקטורית.
  • חישוב זווית בין ישר למישור: חישוב סינוס הזווית בין וקטור ישר לוקטור נורמל למישור.

תרגול קצר

מיקום נקודה B במרחב

רמת קושי: קל

ממתין

נתון אורך צלע המלבן על ציר Y באורך 8 ס"מ. מיקם את נקודה B במערכת הצירים עם קואורדינטות (X, Y, Z) בהתאם לתיאור.

וקטוריםמיקום נקודותהנדסת המרחב

רמז: נקודה B נעה לאורך ציר ה-X ו-Y לפי היחס 8 טנגנס 34 ו-8, והציר Z הוא 0.

פתרון מלא

תשובה סופית: (5.40, 8, 0)

קואורדינטות נקודה B הן (8 טנגנס 34 , 8 , 0). טנגנס 34 מחושב בערך 0.6745, לכן X ≈ 5.396, Y=8, Z=0.

חישוב אורך קטע במרחב

רמת קושי: בינוני

ממתין

במערכת הצירים נתונות נקודות, חשב את אורך הקטע האנכי מנקודה S עד למישור באמצעות משפט פיתגורס.

פיתגורסהנדסת המרחבחישוב אורכים

רמז: השתמש ב-12 בריבוע פחות (4 חלקי קוסינוס 34) בריבוע, קח שורש מהתוצאה.

פתרון מלא

תשובה סופית: כ-10.99 ס"מ

ראשית מחשבים ערך 4 חלקי קוסינוס 34 מעלות (≈4/0.829), ≈4.824. אורך הקטע הוא שורש מ־12² - (4.824)² = שורש מ־144 - 23.27 = שורש מ־120.72 ≈ 10.987.

חישוב זווית בין ישר למישור

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את זווית אלפא בין הישר למישור כאשר נתון וקטור הישר ווקטור נורמל למישור, באמצעות הנוסחה המתאימה לסינוס הזווית.

זווית בין ישר למישורוקטוריםהנדסת המרחבטריגונומטריה

רמז: השתמש בנוסחה sin α = (|נורמל דוט וקטור|) / (גודל נורמל * גודל וקטור), ודאג לחשב מכפלות ונורמלים נכון.

פתרון מלא

תשובה סופית: כ-21.8 מעלות

חשבו את מכפלת הדוט בין וקטור הישר לוקטור הנורמל, חישבו את גדלי הווקטורים, חשבו את סינוס הזווית וחישבו את הזווית עצמה באמצעות פונקציית הארק סינוס. התוצאה סינוס α ≈ 0.372, ועל כן α ≈ 21.8 מעלות.

זווית בין ישר למישור – תרגיל כולל

רמת קושי: בגרות

ממתין

בנתוני שאלה נתונות הנקודות והמידות במרחב. מצא את זווית אלפא בין ישר למישור תוך שימוש בוקטורים, מכפלה וקטורית ונקודתית, ופיתגורס להשלמת החישובים.

בגרותהנדסת המרחבזווית בין ישר למישורוקטוריםטריגונומטריה

רמז: מצא קודם כל את וקטור הישר, לאחר מכן בנה שני וקטורים במישור, חשב את הנורמל במכפלה וקטורית, לבסוף חשב את הזווית עם נוסחת סינוס הזווית בין ישר למישור.

פתרון מלא

תשובה סופית: כ-21.8 מעלות

יצירת וקטור הישר: B–A = (4 טנגנס 34 , -4 , -10.987) יצירת שני וקטורים במישור לפי נקודות נתונות חישוב וקטור נורמל במכפלה וקטורית בין הווקטורים במישור חישוב מכפלת דוט בין הוקטור הישר לנורמל חישוב גדלי הווקטורים חישוב סינוס הזווית וסיום עם ארק סינוס לזווית α התוצאה: זווית α ≈ 21.8 מעלות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב זווית בין ישר למישור בהנדסת המרחב

שלבים מובנים לפתרון תרגיל זווית בין ישר למישור

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא זווית אלפא בין הישר למישור

  2. נתון 1

    אורך צלעות וקטעי חיבור במרחב

  3. נתון 2

    זוויות פנימיות במשולשים משוקעים

  4. נתון 3

    קואורדינטות של נקודות וקטורים שונים במרחב

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לחשב את וקטור הישר ווקטור הנורמל למישור, ואז לחשב את סינוס הזווית ביניהם.

  6. נוסחה

    חשב את וקטור הישר (B-S) ונורמל המישור עם מכפלת וקטורית של שני וקטורים

    וקטור הישר = (הפרש X, Y, Z)וקטור נורמל = וקטור א כפול וקטור ב במכפלה וקטוריתוקטור הישר = (X2-X1, Y2-Y1, Z2-Z1)וקטור נורמל = וקטור א × וקטור בV = B - S
  7. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  8. פישוט

    חשב את מכפלת הנקודה בין וקטור הישר לוקטור הנורמל, וחלק לגדלי הוקטורים

    חשב את מכפלת הנקודה בין וקטור הישר לוקטור הנורמל, וחלק לגדלי הוקטורים כדי לקבל את

    sin אלפא

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

קביעת קואורדינטות נקודות

מה עושים

קבעו את נקודות B ו-S במרחב בהתאם לתרגיל.

למה

קואורדינטות מדויקות מאפשרות חישובים וקטוריים.

נקודה B היא (8 טנגנס 34, 8, 0), ונקודה S נמצאת במערכת התלת-ממדית במיקום שיבוא לידי ביטוי בשלב הבא.

2

זיהוי נתונים

אורך קטעים וזוויות בתרגיל

מה עושים

רשמו את אורכי הקטעים הנתונים והזוויות: 8, 12, 34 מעלות ועוד.

למה

הנתונים חיוניים לחישוב אורכי קטעים נוספים ומשפט פיתגורס.

הקטע המרכזי הוא 8 ס"מ, הזוויות 34 ו-56 מעלות במשולשים משוקעים.

3

בחירת שיטה

הכנת וקטורים למישור ולישר

מה עושים

מצא את וקטור הישר ווקטורים בתוך המישור שעל בסיסם מחשבים נורמל.

למה

וקטורים מאפשרים לחבר חישובים וקטוריים של זוויות ומרחקים במרחב.

וקטור הישר מחושב מהפרש הקואורדינטות בין נקודות, וקטורים בתחום המישור מוגדרים לקביעת הנורמל.

4

בניית משוואה

חישוב וקטור הישר ווקטור הנורמל

מה עושים

חשב את וקטור הישר (B-S) ונורמל המישור עם מכפלת וקטורית של שני וקטורים במישור.

למה

אלו הוקטורים המשמשים לחישוב הזווית.

וקטור הישר הוא (4 טנגנס 34, -4, -10.987). וקטור הנורמל מחושב במכפלה וקטורית של שני וקטורים במישור.

נוסחה / הצבה

וקטור הישר = (הפרש X, Y, Z)וקטור נורמל = וקטור א כפול וקטור ב במכפלה וקטוריתוקטור הישר = (X2-X1, Y2-Y1, Z2-Z1)וקטור נורמל = וקטור א × וקטור בV = B - S

יש להקפיד על סדר במכפלה וקטורית.

5

פתרון

חישוב סינוס הזווית בין ישר למישור

מה עושים

חשב את מכפלת הנקודה בין וקטור הישר לוקטור הנורמל, וחלק לגדלי הוקטורים כדי לקבל את סינוס α.

למה

משוואת סינוס הזווית נותנת את הזווית בין הישר למישור.

sin α = (|N·V|) / (|N| |V|) = 0.372

נוסחה / הצבה

sin אלפא= ערך מוחלט של הנורמל דוט וקטור הישר חלקי מכפלת הגדליםsin α = (|נורמל · וקטור הישר|) / (|נורמל| * |וקטור הישר|)= (|N * V|)/(|N| * |V|)

חשוב לחשב נכונה את כיוון הוקטור המינוס.

6

פתרון

חישוב זווית α מהסינוס

מה עושים

חשב את זווית α על ידי שימוש בפונקציית הארקסינוס על ערך הסינוס שחושב.

למה

הסינוס נותן רק את הערך האנגלי שצריך להמיר למעלות.

α = arcsin(0.372) ≈ 21.8 מעלות

נוסחה / הצבה

אלפא = ארקסינוס (sin אלפא)α = arcsin(sin α)= ( )

יש להמיר לתוצאה במעלות.

פתרונות כלליים

  • מיקום נקודה B במרחב: קואורדינטות נקודה B הן (8 טנגנס 34 , 8 , 0). טנגנס 34 מחושב בערך 0.6745, לכן X ≈ 5.396, Y=8, Z=0.
  • חישוב אורך קטע במרחב: ראשית מחשבים ערך 4 חלקי קוסינוס 34 מעלות (≈4/0.829), ≈4.824. אורך הקטע הוא שורש מ־12² - (4.824)² = שורש מ־144 - 23.27 = שורש מ־120.72 ≈ 10.987.
  • חישוב זווית בין ישר למישור: חשבו את מכפלת הדוט בין וקטור הישר לוקטור הנורמל, חישבו את גדלי הווקטורים, חשבו את סינוס הזווית וחישבו את הזווית עצמה באמצעות פונקציית הארק סינוס. התוצאה סינוס α ≈ 0.372, ועל כן α ≈ 21.8 מעלות.
  • זווית בין ישר למישור – תרגיל כולל: יצירת וקטור הישר: B–A = (4 טנגנס 34 , -4 , -10.987) יצירת שני וקטורים במישור לפי נקודות נתונות חישוב וקטור נורמל במכפלה וקטורית בין הווקטורים במישור חישוב מכפלת דוט בין הוקטור הישר לנורמל חישוב גדלי הווקטורים חישוב סינוס הזווית וסיום עם ארק סינוס לזווית α התוצאה: זווית α ≈ 21.8 מעלות.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.