השיעור עוסק בתכונות של פירמידה ישרה שבבסיסה מרובע, בדגש על כך שהבסיס הוא מרובע בר חסימה במעגל וכי המפרסים בפירמידה שווים, מה שמוביל למסקנות חשובות על זוויות ומרחקים.
להבין שהבסיס במפירמידה ישרה מרובע הוא מרובע בר חסימה במעגל
להכיר תכונות המפרסים בפירמידה ישרה ומסקנות היקפיות מהם
להבדיל בין סוגים שונים של מרובעים בהקשר של פירמידות ישרות
לקשר בין תכונות גאומטריות למסקנות על זוויות ומרחקים במרחב
הגדרת פירמידה ישרה ומפרסים: פירמידה ישרה שבסיסה מרובע עם מפצעות שוות. המפרסים SPAD הם משולשים חופפים עם זווית ישרה וצלעות שוות.
השלכות גאומטריות: המרובע בר חסימה במעגל משמע שסכום זוויות נגדיות הוא 180 מעלות. פירמידה ישרה עם בסיס מקבילית מובילה למסקנה שהמקבילית היא מלבן או ריבוע.

תרגול קצר

הגדרת מרובע בר חסימה במעגל

רמת קושי: קל

ממתין

בפירמידה ישרה שבבסיסה מרובע ABCD, נתון כי המפרסים SPAD הם חופפים. הסבר מדוע המרובע ABCD הוא בר חסימה במעגל.

מרובעבר חסימהפירמידה ישרהמפרס

רמז: השתמש בתכונת המפרסים השווים ובמשולשים החופפים כדי להראות שקדקודי המרובע שווים למרכז המעגל.

פתרון מלא

תשובה סופית: המרובע ABCD בר חסימה במעגל כי כל נקודותיו נמצאות במרחק שווה ממרכז המעגל S.

בפירמידה ישרה כל המפצעות שוות ולכן המפרסים SPAD הם משולשים חופפים. זה אומר שהנקודות A,B,C,D נמצאות באותו מרחק מ S שהינו מרכז המעגל החוסם. לכן, ABCD הוא מרובע בר חסימה במעגל.

זיהוי סוג מרובע בבסיס פירמידה ישרה

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה פירמידה ישרה שבבסיסה מקבילית ABCD. מה ניתן להסיק לגבי סוג המקבילית אם ידוע שהפירמידה ישרה? הסבר.

פירמידה ישרהמקביליתמלבןבר חסימה

רמז: השתמש בתכונות של מרובע בר חסימה וידע לגבי סכום זוויות נגדיות במעגל.

פתרון מלא

תשובה סופית: המקבילית היא מלבן או ריבוע כי רק הם ברי חסימה במעגל המתאימים לפירמידה ישרה.

בפירמידה ישרה בסיס שהיא מקבילית חייב להיות מלבן או ריבוע. זאת מאחר שבסיס בפרמידה ישרה הוא מרובע בר חסימה ולכן סכום זוויות נגדיות חייב להיות 180 מעלות. מקבילית שאינה מלבן לא יכולה להיות בר חסימה ולכן חייב להיות מלבן.

בדיקת סוג בסיס לפירמידה ישרה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה פירמידה ישרה שבבסיסה טרפז ABCD. הוכח כי הטרפז חייב להיות תחש בר חסימה במעגל אם הפירמידה ישרה.

טרפזפירמידה ישרהבר חסימהתחש

רמז: בדוק את סכום זוויות נגדיות בטרפז במצב של פירמידה ישרה ויישם את תכונת הבר חסימה במעגל.

פתרון מלא

תשובה סופית: אם הפירמידה ישרה והבסיס טרפז, הטרפז חייב להיות תחש בר חסימה במעגל.

בפירמידה ישרה הבסיס חייב להיות בר חסימה במעגל כדי שהמפרסים יהיו שווים והפריסה תתאפשר. לכן בטרפז ABCD סכום הזוויות הנגדיות חייב להיות 180 מעלות כלומר הטרפז הוא תחש בר חסימה במעגל.

זיהוי בסיס הפירמידה בגלל תכונות המפרסים

רמת קושי: בגרות

ממתין

בפירמידה ישרה שבבסיסה מרובע ABCD, ידוע שכל המפרסים שווים והנקודות A,B,C,D נמצאות על מעגל. הגבילו את סוג המרובע ABCD והסבירו מדוע.

פירמידה ישרהריבועמפרסבר חסימה

רמז: נצל שהתכונה שהמרובע בר חסימה במעגל עם מפרסים שווים מגדירה את סוג המרובע.

פתרון מלא

תשובה סופית: ABCD הוא ריבוע כי הוא בר חסימה במעגל והמפרסים שווים בפירמידה ישרה.

מאחר והמרובע ABCD בר חסימה ובעל מפרסים שווים המאפשרים לרכס המפרסים להיות מרכז המעגל, ABCD הוא ריבוע במידה והפירמידה ישרה. זאת משום שכל צלע שווה ויש זוויות ישרות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל: זיהוי מרובע בר חסימה במעגל בפירמידה ישרה

פירמידה ישרה עם בסיס מרובע ומפרסים שווים

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא להראות שהמרובע ABCD בר חסימה במעגל
נתון 1
פירמידה ישרה עם בסיס מרובע ABCD
נתון 2
כל המפרסים SPAD הם משולשים חופפים
נתון 3
המפרסים SPAD כוללים זווית ישרה וצלעות שוות
רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בחפיפת המשולשים המפרסים כדי להראות שכל הנקודות שוות מרחק ממרכז המעגל, ומכאן שהמרובע בר
נוסחה
לרשום AP=BP=CP=DP
AP = BP = CP = DP
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
לקבוע שהנקודות A,B,C,D נמצאות על היקף מעגל
לקבוע שהנקודות A,B,C,D נמצאות על היקף מעגל

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתונים ראשוניים

מה עושים

הגדרת הפירמידה ישרה ונתוני המפרסים החופפים

למה

לזהות שמדובר במשולשים שווי צלעות וזוויות המשותפים למפרסים.

כל מפרס SPAD הוא משולש שווה שוקיים עם זווית ישרה.

בחירת שיטה

הבנת המשמעות הגיאומטרית

מה עושים

לזהות שכל המפרסים שווים ושווים זה לזו

למה

משולשים חופפים בעלי זווית ישרה מצביעים על שוויון מרחקים

המפרסים הם משולשים חופפים עם בסיסים שווים וגובה משותף.

בניית משוואה

השוואת המרחקים מנקודה S לנקודות ABCD

מה עושים

לרשום AP=BP=CP=DP

למה

כל נקודות הביטוי שוות מרחק מהמרכז S

AP=BP=CP=DP מרחקים שווים משותפים למפרסים החופפים

נוסחה / הצבה

AP = BP = CP = DP

פתרון

הוכחת בר חסימה במעגל

מה עושים

לקבוע שהנקודות A,B,C,D נמצאות על היקף מעגל

למה

מרחק שווה מנקודה אחת מגדיר מעגל החוסם את הנקודות

המרובע ABCD הוא בר חסימה במעגל שמרכזו S ומרחקו AP

תשובה

מסקנה סופית

מה עושים

המרובע ABCD הוא בר חסימה במעגל

למה

לפי הגדרות מעגל בר חסימה וסכום זוויות נגדיות

ניתן להסיק כי בסיס הפירמידה חייב להיות מרובע בר חסימה במעגל

פתרונות כלליים

הגדרת מרובע בר חסימה במעגל: בפירמידה ישרה כל המפצעות שוות ולכן המפרסים SPAD הם משולשים חופפים. זה אומר שהנקודות A,B,C,D נמצאות באותו מרחק מ S שהינו מרכז המעגל החוסם. לכן, ABCD הוא מרובע בר חסימה במעגל.
זיהוי סוג מרובע בבסיס פירמידה ישרה: בפירמידה ישרה בסיס שהיא מקבילית חייב להיות מלבן או ריבוע. זאת מאחר שבסיס בפרמידה ישרה הוא מרובע בר חסימה ולכן סכום זוויות נגדיות חייב להיות 180 מעלות. מקבילית שאינה מלבן לא יכולה להיות בר חסימה ולכן חייב להיות מלבן.
בדיקת סוג בסיס לפירמידה ישרה: בפירמידה ישרה הבסיס חייב להיות בר חסימה במעגל כדי שהמפרסים יהיו שווים והפריסה תתאפשר. לכן בטרפז ABCD סכום הזוויות הנגדיות חייב להיות 180 מעלות כלומר הטרפז הוא תחש בר חסימה במעגל.
זיהוי בסיס הפירמידה בגלל תכונות המפרסים: מאחר והמרובע ABCD בר חסימה ובעל מפרסים שווים המאפשרים לרכס המפרסים להיות מרכז המעגל, ABCD הוא ריבוע במידה והפירמידה ישרה. זאת משום שכל צלע שווה ויש זוויות ישרות.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב3. הצורות במרחב בבחינת הבגרות פירמידה ישרה שבסיסה מרובע

ניווט לפי נושאים

הנדסת המרחב

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא להראות שהמרובע ABCD בר חסימה במעגל

פירמידה ישרה עם בסיס מרובע ABCD

כל המפרסים SPAD הם משולשים חופפים

המפרסים SPAD כוללים זווית ישרה וצלעות שוות

הרעיון המרכזי

לרשום AP=BP=CP=DP

נבנה משוואה

לקבוע שהנקודות A,B,C,D נמצאות על היקף מעגל

פתרון מפורט

נתונים ראשוניים

הבנת המשמעות הגיאומטרית

השוואת המרחקים מנקודה S לנקודות ABCD

הוכחת בר חסימה במעגל

מסקנה סופית

פתרונות כלליים