שיעור זה דן בהגדרת הזווית בין שני מישורים ובהשלכות הגאומטריות הנובעות מכך, תוך שימוש במשולשים שווי שוקיים ויישום אנכים. השיעור מציג שלוש סיטואציות מרכזיות לסימון הזווית בין מישורים בגיאומטריה תלת-ממדית.
להבין את הגדרת הזווית בין שני מישורים.
להכיר את השימוש במשולשים שווי שוקיים לקביעת אנכים במישורים.
ליישם אנכים במישורים כדי לסמן את זווית המפגש בין מישורים.
להסביר את המשמעות הגאומטרית של זווית בין מישורים.
להכיר דרכים שונות לסימון נקודות חשובות לאורך ישר החיתוך.
הגדרת הזווית בין שני מישורים: הזווית בין שני מישורים מוגדרת בזווית בין שני האנכים שיוצאים מהמישור הפוגשים בקודקוד המשותף.
השימוש במשולשים שווי שוקיים ויישום אנכים: במשולשים שווי שוקיים ניתן להצביע על נקודות אסטרטגיות כמו אמצע הצלעות ולהעלות אנכים לנקודות חשובות במרחב למטרת סימון זוויות.
סימון נקודות על ישר החיתוך והשלכותיהן: סימון נקודות שונות, כמו C, Q או B לאורך ישר החיתוך מביא לשיטות שונות להעלאת אנכים ולסימון זוויות בגיאומטריה המרחבית.

תרגול קצר

חישוב זווית בין שני מישורים במשולש שווי שוקיים

רמת קושי: קל

ממתין

נתון משולש שווי שוקיים המוגדר במישור, סמן נקודה P על ישר החיתוך של שני המישורים. הראה כיצד ניתן להגדיר את הזווית בין שני המישורים דרך האנכים שיוצאים מנקודה זו.

זווית בין מישוריםמשולש שווי שוקייםאנכים

רמז: עליך להזיז אנכים למישורים בהתאם לנקודה המסומנת ולזכור שזווית בין מישורים היא בין האנכים.

פתרון מלא

תשובה סופית: הזווית בין המישורים היא הזווית בין שני האנכים המופעלים מנקודת החיתוך P בקודקוד המשולש.

יש לסמן נקודה P על ישר החיתוך בין המישורים. מהנקודה P להעלות אנך במישור הראשון אל הקודקוד המשולש המתאים, ועל ידי כך מתקבל אנך ראשון. באותו אופן להעלות אנך במישור השני לנקודה המתאימה. הזווית בין שני האנכים היא הזווית בין המישורים לפי ההגדרה.

סימון אנך במישור עם תחרות נקודות על ישר החיתוך

רמת קושי: בינוני

ממתין

בהינתן שני מישורים החותכים, סמן נקודה C על ישר החיתוך ונתון שמשולש DCB הוא שווי שוקיים. הראה כיצד להעלות אנך מנקודה זו וכיצד להגדיר את הזווית בין המישורים.

זווית בין מישוריםמשולש שווי שוקייםאנכיםמישור הקרקע

רמז: התחשק בהגדרות של משולש שווי שוקיים ובמקומות האנכים בתוך המרחב.

פתרון מלא

תשובה סופית: הזווית בין המישורים היא הזווית בין שני האנכים המופעלים מנקודת C במישורים המתאימים לפי משולש DCB שווי השוקיים.

מניחים נקודה C על ישר החיתוך. בהיות המשולש DCB שווי שוקיים, מעלים אנך מנקודה C למישור בקרקע בנקודה E. האנך יהיה מקביל לניצב במישור וישמש לסימון הזווית בין המישורים. הזווית בין האנך במישור הראשון לזה שבמישור השני היא הזווית המבוקשת.

השוואת אופציות לסימון זווית בין שני מישורים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

במישור החיתוך בין שני מישורים המסומנים, השווה בין שתי אופציות לסימון אנך בנקודות שונות - על נקודת C ועל נקודת Q - ופרש את משמעות כל אופציה בהקשר לזווית בין המישורים.

זווית בין מישוריםמשולש שווי שוקייםאנכיםבחירת נקודות

רמז: חשוב להתייחס למיקום האנך ביחס למשולש ולתכונות הגיאומטריות המתלוות לכך.

פתרון מלא

תשובה סופית: שתי האופציות שקולות בזווית בין המישורים, אך סימון Q מועדף בשל מיקומו בתוך המשולש והבהירות הגיאומטרית.

בלוק ראשון - סימון נקודה C על ישר החיתוך מעלה אנך אל נקודה E במישור הקרקע. האנך יוצא מחוץ למשולש עקב שווי השוקיים. בלוק שני - סימון נקודה Q כנקודת אמצע מוביל להעלאת אנך אל נקודה D בתוך המשולש. שתי השיטות שקולות מבחינת זווית בין המישורים, אך סימון Q נחשב נוח יותר למימוש מעשי.

בעיית זווית בין שני מישורים בחיתוך משולשים

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתון ישר חיתוך בין שני מישורים ועליו נקודה B. העלה אנך משני מישורים מנקודה B והראה כי הזווית בין אנכים אלו היא הזווית בין שני המישורים. הסבר.

זווית בין מישוריםאנךהגדרת זווית

רמז: יש לזכור מהי הזווית המוגדרת בין שני מישורים ולהשתמש בהגדרת האנכים במישור.

פתרון מלא

תשובה סופית: הזווית בין שני המישורים היא הזווית בין האנכים BC ו-BD שיוצאים מנקודה B על ישר החיתוך.

מסמנים נקודה B על ישר החיתוך. במישור הראשון מעלים אנך ישר BC, ובמישור השני מעלים אנך BD כך ש-BD אנך ל-C. הזווית בין האנכים BC ל-BD היא הזווית המוגדרת בין שני המישורים. זה עולה מהגדרת הזווית בין מישורים כזווית שבין האנכים להם שניהם מאונכים למישורים.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון לתרגיל סימון זווית בין שני מישורים במשולש שווי שוקיים

שימוש באנכים בנקודה על ישר החיתוך

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא הזווית בין שני המישורים באמצעות האנכים מנקודה P.
נתון 1
משולש שווי שוקיים במישור.
נתון 2
נקודה P מסומנת על ישר החיתוך בין שני המישורים.
רעיון
הרעיון המרכזי
הגביה אנכים מנקודה P כלפי הקודקוד במישורים השונים והבן שהזווית בין האנכים תואמת לזווית בין
נוסחה
העלה אנך מנקודה P במישור הראשון אל קודקוד א' ובמישור השני אל קודקוד ב'.
P->A קו אנך במישור 1P->B קו אנך במישור 2
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
חשב את הזווית בין שני האנכים המוגדרים מהמישור הראשון והשני.
חשב את הזווית בין שני האנכים המוגדרים מהמישור הראשון והשני.
cosθ = (u · v) / (|u| × |v|)cosθ = (u ∙ v) / (|u||v|)
תוצאה
מסיימים בתשובה
התוצאה היא הזווית המחושבת בין שני האנכים.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת נקודה P על ישר החיתוך

מה עושים

סמן נקודה P על ישר החיתוך בין שני המישורים.

למה

נקודה זו מהווה את בסיס ההגדרה להעלאת האנכים שיוגדרו הזווית ביניהם.

נקודה P היא נקודת החיתוך בין שני המישורים בה נבצע סימון אנכים.

בחר נקודה אסטרטגית לנוחות הסימון.

בחירת שיטה

הבנת שווי השוקיים במשולש

מה עושים

הבן שמשולש שווי שוקיים מאפשר להעלות אנכים מנקודה P אל קודקוד המשולש במישורים.

למה

שווי השוקיים מבטיח שקו האנך יהיה כרטיס דרך לקודקוד.

משולש שווי שוקיים מתאים מכיוון שמאפשר העלאת אנכים מ-P למישור בקלות.

זהו התכונה המרכזית לשימוש בהעלאת האנכים.

בניית משוואה

כתיבת האנכים מנקודה P לקודקוד

מה עושים

העלה אנך מנקודה P במישור הראשון אל קודקוד א' ובמישור השני אל קודקוד ב'.

למה

אלו הם האנכים שתלמד באמצעותם את הזווית בין המישורים.

האנכים שיוצאים מ-P למישורים מהווים את הוקטורים לזווית תלת-ממדית.

נוסחה / הצבה

P->A קו אנך במישור 1P->B קו אנך במישור 2

הקפד להבדיל בין האנכים של כל מישור.

פתרון

חישוב הזווית בין האנכים

מה עושים

חשב את הזווית בין שני האנכים המוגדרים מהמישור הראשון והשני.

למה

זו בעצם הזווית בין שני המישורים לפי ההגדרה.

הזווית בין שני הוקטורים האנכיים היא התוצאה המבוקשת.

נוסחה / הצבה

cosθ = (u · v) / (|u| × |v|)cosθ = (u ∙ v) / (|u||v|)= (u * v)/(|u| |v|)

שימוש בנוסחת הסקלר לפרודוקט.

תשובה

קבלת הזווית בין שני המישורים

מה עושים

התוצאה היא הזווית המחושבת בין שני האנכים.

למה

לפי ההגדרה זו הזווית בין המישורים.

הזווית בין המישורים שווה לזווית בין שני האנכים בהסתמך על המישול שווי השוקיים והנקודה P.

פתרונות כלליים

חישוב זווית בין שני מישורים במשולש שווי שוקיים: יש לסמן נקודה P על ישר החיתוך בין המישורים. מהנקודה P להעלות אנך במישור הראשון אל הקודקוד המשולש המתאים, ועל ידי כך מתקבל אנך ראשון. באותו אופן להעלות אנך במישור השני לנקודה המתאימה. הזווית בין שני האנכים היא הזווית בין המישורים לפי ההגדרה.
סימון אנך במישור עם תחרות נקודות על ישר החיתוך: מניחים נקודה C על ישר החיתוך. בהיות המשולש DCB שווי שוקיים, מעלים אנך מנקודה C למישור בקרקע בנקודה E. האנך יהיה מקביל לניצב במישור וישמש לסימון הזווית בין המישורים. הזווית בין האנך במישור הראשון לזה שבמישור השני היא הזווית המבוקשת.
השוואת אופציות לסימון זווית בין שני מישורים: בלוק ראשון - סימון נקודה C על ישר החיתוך מעלה אנך אל נקודה E במישור הקרקע. האנך יוצא מחוץ למשולש עקב שווי השוקיים. בלוק שני - סימון נקודה Q כנקודת אמצע מוביל להעלאת אנך אל נקודה D בתוך המשולש. שתי השיטות שקולות מבחינת זווית בין המישורים, אך סימון Q נחשב נוח יותר למימוש מעשי.
בעיית זווית בין שני מישורים בחיתוך משולשים: מסמנים נקודה B על ישר החיתוך. במישור הראשון מעלים אנך ישר BC, ובמישור השני מעלים אנך BD כך ש-BD אנך ל-C. הזווית בין האנכים BC ל-BD היא הזווית המוגדרת בין שני המישורים. זה עולה מהגדרת הזווית בין מישורים כזווית שבין האנכים להם שניהם מאונכים למישורים.

הפריט הקודם הפריט הבא

א7. הנדסת המרחב משפטים חשובים וכלי עבודה זווית בין שני מישורים

ניווט לפי נושאים

הנדסת המרחב

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא הזווית בין שני המישורים באמצעות האנכים מנקודה P.

משולש שווי שוקיים במישור.

נקודה P מסומנת על ישר החיתוך בין שני המישורים.

הרעיון המרכזי

העלה אנך מנקודה P במישור הראשון אל קודקוד א' ובמישור השני אל קודקוד ב'.

נבנה משוואה

חשב את הזווית בין שני האנכים המוגדרים מהמישור הראשון והשני.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדרת נקודה P על ישר החיתוך

הבנת שווי השוקיים במשולש

כתיבת האנכים מנקודה P לקודקוד

חישוב הזווית בין האנכים

קבלת הזווית בין שני המישורים

פתרונות כלליים