MMATH
התחברות

וידאו · מספרים מרוכבים

ו1. מרוכבים עם סדרות

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
28 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ד3. פיתוח קשר מדהים בין רדיוס חוסם משולש לרדיוס חסום במשולש וזוויות המשולש

וידאו

ד4. שילוב וקטורים והמשך פתרון התרגיל

וידאו

ה1. שילוב של מרוכבים עם גיאומטריה חשוב ביותר

וידאו

ה2. תרגיל משולב במרוכבים

וידאו

ו1. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו2. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו3. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו4. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו5. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו6. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו7. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו8. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו9. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו10. מרוכבים עם סדרות

סיכום שיעור

  • שיעור בנושא פתרון בעיות בסדרות הנדסיות עם מספרים מרוכבים, שימוש בחזקות של מספרים מרוכבים ופתרון משוואות אלגבריות וטריגונומטריות בתחום המרוכבים.
  • להבין סדרה הנדסית עם מספרים מרוכבים
  • לחשב את היחס ההנדסי Q בין אברים בסדרה
  • לפתור משוואות המערבות חזקות של מספרים מרוכבים
  • להשתמש בייצוג פולארי לפתירת משוואות במודולוס וערך זוויתי
  • להבין ולהשתמש בטכניקות בקרת חישוב בסדרות מורכבות
  • הגדרת הסדרה והיחס ההנדסי Q: מחפשים את יחס ההכפלה Q בין האיבר השני לאיבר הראשון בסדרה הנדסית עם מספרים מרוכבים.
  • פתרון משוואות עם חזקות של מספרים מרוכבים: פתרון משוואה מורכבת שבה החזקה היא משתנה, הן בגישה אלגברית והן בגישה טריגונומטרית.
  • ייצוג פולארי ופתרון טריגונומטרי: המרת מספרים מרוכבים לפורמט פולארי (מודולוס וזווית) ופתרון משוואות זוויתיות עם מכפלות קבועות.

תרגול קצר

חישוב היחס ההנדסי Q בסדרה מורכבת

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה סדרה הנדסית שבה האיבר הראשון הוא 4 + 3i והאיבר השני הוא 7 - i. חשב את היחס ההנדסי Q.

מספרים מרוכביםסדרות הנדסיותיחס הנדסי

רמז: חישוב היחס Q נעשה על ידי חלוקה של האיבר השני באיבר הראשון, יש להכפיל במצומד לשם פישוט.

פתרון מלא

תשובה סופית: Q = 1 - i

Q = (7 - i) / (4 + 3i) = ((7 - i)(4 - 3i)) / ((4 + 3i)(4 - 3i)) = (28 - 21i - 4i + 3i^2) / (16 + 9) = (28 - 25i - 3) / 25 = (25 - 25i)/25 = 1 - i

מציאת n בסדרה הנדסית עם מספרים מרוכבים

רמת קושי: בינוני

ממתין

בסדרה הנדסית עם A1=4+3i ו-Q=1-i נתון שהאיבר ה-n הוא -256 - 192i. מצא את n.

מספרים מרוכביםחזקהסדרה הנדסיתייצוג פולארי

רמז: כתב את AN בנוסחה הכללית והעבר אגפים כדי לבדוק את החזקה של Q, השתמש בייצוג פולארי לפתרון מדויק יותר.

פתרון מלא

תשובה סופית: n = 13

AN = A1 * Q^(n-1), לכן -256 - 192i = (4 + 3i) * (1 - i)^(n-1) מעבירים חלקי A1: (-256 - 192i) / (4 + 3i) = (1 - i)^(n-1) מחושבים המונה והמכנה ונקבל: -64 = (1 - i)^(n-1) מייצגים פולארית: |-64|=64, זווית 180° |1-i|=sqrt(2), זווית -45° לכן 64 = (sqrt(2))^(n-1), ו-180 = -45*(n-1) + 360*k מה שנותן: n-1=6 => n=7 וכן פתרונות אחרים עם k נכנסים בחשבון.

פתרון משוואה עם חזקה של מספר מרוכב בגישות אלגברית וטריגונומטרית

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה המשוואה: -64 = (1 - i)^(n-1). פתר את n בגישה אלגברית וטריגונומטרית.

מספרים מרוכביםמשוואות חזקותגישה אלגבריתגישה טריגונומטרית

רמז: בגישה האלגברית קח מודולוס בריבוע ופתור משוואה רגילה, בגישה הטריגונומטרית המר מספרים לפורמט r cis θ ופתור בהתאמה.

פתרון מלא

תשובה סופית: n = 13

אלגברית: מוצאים את המדדים של החזקה דרך מודולוס ומציבים LOBF. טריגונומטרית: 64 cis 180 = (sqrt(2))^{n-1} cis (-45*(n-1)) שוויון מודולוס וזוית נותן: n-1=6, n=7 וודא שהזוית מותאמת על ידי הוספת 360*k.

בחינת חזקות של מספרים מרוכבים בסדרה הנדסית

רמת קושי: בגרות

ממתין

בסדרה הנדסית עם איברים מרוכבים, ידוע כי A1=4+3i ו-Q=1-i. בידוע כי האיבר ה-n הוא -256 - 192i. חשב את n.

בגרותסדרה הנדסיתמספרים מרוכביםחזקה

רמז: השתמש בנוסחת הסדרה AN = A1 * Q^{n-1}, העבר אגפים והשתמש גם בייצוג פולארי לפתור את החזקה.

פתרון מלא

תשובה סופית: n = 13

נצל את הנוסחה -256 - 192i = (4 + 3i) * (1 - i)^{n-1} העבר אגפים מחדש חישב בערכים ממשיים ודמיוניים זיהוי במודולוס וזוויות חישוב לפי סינוס וקוסינוס פתרון למשוואת החזקה קבלת ערך n = 13

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל חישוב n בסדרה הנדסית מרוכבת

מציאת מיקום האיבר בעזרת חזקות מספר מרוכב

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא מצא את n - מספר האיבר בסדרה

  2. נתון 1

    נתון 1

    A1 = 4 + 3i
  3. נתון 2

    נתון 2

    Q = 1 - i
  4. נתון 3

    נתון 3

    AN = -256 - 192i
  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    השווה את AN לנוסחה AN = A1 כפול Q בחזקת n-1 והעבר אגפים לצורך פתרון החזקה.

  6. נוסחה

    חלק את שני אגפי המשוואה ב-A1

    Q^(n-1) = AN / A1Q^(n-1) = (A_n)/(A_1)
  7. משוואה

    פתור את המשוואה n-1=6 מהמודולוס ואז בדוק זווית עם 180

    פתור את המשוואה n-1=6 מהמודולוס ואז בדוק זווית עם 180

  8. פישוט

    חשב את המכנה והמוצע וחפש את הערך

    חשב את המכנה והמוצע וחפש את הערך

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הצג נתוני התרגיל

מה עושים

רושמים את ערכי A1, Q והאיבר AN

למה

התחלה עם הנתונים להמשך פתרון ברור

A1 = 4 + 3i, Q = 1 - i, AN = -256 - 192i

2

בחירת שיטה

השתמש בנוסחת הסדרה

מה עושים

כותבים AN = A1 * Q^(n-1)

למה

להביע את האיבר ה-n בעזרת A1, Q ו-n

בנוסחה AN = A1 כפול Q בחזקת n-1

נוסחה / הצבה

AN = A1 * Q^(n-1)A_n = A_1 x Q^(n-1)
3

בניית משוואה

העבר אגפים בכדי לפתור ל-Q^(n-1)

מה עושים

חלק את שני אגפי המשוואה ב-A1

למה

כדי לקבל ביטוי המכיל רק את Q בחזקה אחת

(AN) / (A1) = Q^(n-1)

נוסחה / הצבה

Q^(n-1) = AN / A1Q^(n-1) = (A_n)/(A_1)

יש להכפיל בצמוד בפישוט

4

פתרון

פשט את הביטוי AN חלקי A1

מה עושים

חשב את המכנה והמוצע וחפש את הערך

למה

לזהות את צורת הצד הימני לפתרון הבא

חשב ((-256 - 192i) * (4 - 3i)) / 25

זכור ש-(4+3i)(4-3i)=16+9=25

5

פתרון

המר ביטוי למודולוס וזווית

מה עושים

חשב את המודולוס וזווית של שני הצדדים

למה

פתרון משוואת חזקות לפורמט של mod ו-arg

64 במודולוס וזווית 180°, Q במודולוס sqrt(2), זווית -45°

חשוב לזכור -45 מעלות עבור 1 - i

6

פתרון

חשב n עם לוגריתם ופתרון זוית

מה עושים

פתור את המשוואה n-1=6 מהמודולוס ואז בדוק זווית עם 180

למה

כי n הוא מספר האיבר בסדרה

n - 1 = 6 → n = 7, בדיקת זווית עם נוסחת הזוויות המוסיפות 360*k

בטחון: כל המידע מתומצת מפשוט טקסט שיחה

פתרונות כלליים

  • חישוב היחס ההנדסי Q בסדרה מורכבת: Q = (7 - i) / (4 + 3i) = ((7 - i)(4 - 3i)) / ((4 + 3i)(4 - 3i)) = (28 - 21i - 4i + 3i^2) / (16 + 9) = (28 - 25i - 3) / 25 = (25 - 25i)/25 = 1 - i
  • מציאת n בסדרה הנדסית עם מספרים מרוכבים: AN = A1 * Q^(n-1), לכן -256 - 192i = (4 + 3i) * (1 - i)^(n-1) מעבירים חלקי A1: (-256 - 192i) / (4 + 3i) = (1 - i)^(n-1) מחושבים המונה והמכנה ונקבל: -64 = (1 - i)^(n-1) מייצגים פולארית: |-64|=64, זווית 180° |1-i|=sqrt(2), זווית -45° לכן 64 = (sqrt(2))^(n-1), ו-180 = -45*(n-1) + 360*k מה שנותן: n-1=6 => n=7 וכן פתרונות אחרים עם k נכנסים בחשבון.
  • פתרון משוואה עם חזקה של מספר מרוכב בגישות אלגברית וטריגונומטרית: אלגברית: מוצאים את המדדים של החזקה דרך מודולוס ומציבים LOBF. טריגונומטרית: 64 cis 180 = (sqrt(2))^{n-1} cis (-45*(n-1)) שוויון מודולוס וזוית נותן: n-1=6, n=7 וודא שהזוית מותאמת על ידי הוספת 360*k.
  • בחינת חזקות של מספרים מרוכבים בסדרה הנדסית: נצל את הנוסחה -256 - 192i = (4 + 3i) * (1 - i)^{n-1} העבר אגפים מחדש חישב בערכים ממשיים ודמיוניים זיהוי במודולוס וזוויות חישוב לפי סינוס וקוסינוס פתרון למשוואת החזקה קבלת ערך n = 13
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.