הסבר על פתרון משוואה במערכת מספרים מרוכבים המשתמש במאפייני פונקציות סינוס וקוסינוס למציאת הזווית Alpha וייצוג נקודות במישור המרוכב.
להבין כיצד להשתמש בזהויות טריגונומטריות לפישוט ביטויים במרוכבים
לזהות את זוויות ה-alpha המתאימות לפי תנאי המשוואה
לזהות נקודות במישור המרוכב באמצעות ייצוג זוויתי
לאפיין משולש במישור המרוכב באמצעות נקודות הקודקוד שלו
ניתוח המשוואה במרוכב: מזהים כי זוויות במערכות מרוכבות עם סינוס וקוסינוס הן זוגיות או אי-זוגיות ומשתמשים בנכונות ביטויים אלו לפישוט המשוואה.
תוצאה וחישוב זוויות: חישוב שה_alpha יכול להיות 60 או 300 מעלות בהתחשב בטווח היחסי של הזוויות.
ייצוג ושרטוט במישור המרוכב: הצגת שלוש נקודות במישור המרוכב שיוצרות משולש שווה צלעות עם זוויות של 60 מעלות בין הוקטורים.

תרגול קצר

פיתרון משוואה עם מספרים מרוכבים בזווית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה המשוואה: Z^2 - Z - 1 = 0 כאשר Z = אחד סינוס α, α בין 0 ל-360. חשב את ערך ה-α שמקיים את המשוואה.

מספרים מרוכביםטריגונומטריהזהויות טריגונומטריות

רמז: השתמש בזהויות של סינוס וקוסינוס, והזן Z בהתאם, פשט את המשוואה והכנס את תכונות הפונקציות הזוגיות/אי זוגיות.

פתרון מלא

תשובה סופית: α = 60° או α = 300°

הכנס את Z = cis α = cos α + i sin α ועל פי כלל הכפל cis α * cis β = cis(α + β), חשב את הביטוי Z² - Z -1, הסכים כי הוא שווה 0. נציין כי Z² = cis 2α. המשוואה הופכת ל-cis 2α - cis α - 1 = 0. לאחר פירוק וניצול פונקציות טריגונומטריות מצאנו כי cos α = 1/2, לכן α=60° או 300° בהתאם לטווח.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון משוואה עם מספרים מרוכבים וזוויות

מציאת α המקיים משוואה במישור המרוכב

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך הזווית α המוסכם
נתון 1
נתון 1
Z = cis α = cos α + i sin α
נתון 2
0 ≤ α ≤ 360
נתון 3
נתון 3
Z² - Z - 1 = 0
רעיון
הרעיון המרכזי
השתמש בזהויות של פונקציות סינוס וקוסינוס כדי להפוך את המשוואה למשוואה טריגונומטרית פשוטה ואז פתר
נוסחה
כתוב את Z כ-cisα = cos α + i sin α
Z = cos α + i sin αZ= + i
משוואה
הכנס במשוואה Z² - Z - 1 = 0 את הביטויים שהתקבלו
הכנס במשוואה Z² - Z - 1 = 0 את הביטויים שהתקבלו
cis 2α - cis α - 1 = 0cis 2 - cis - 1 = 0
פישוט
השתמש בקוסינוס זוגי וסינוס אי-זוגי לפישוט
השתמש בקוסינוס זוגי וסינוס אי-זוגי לפישוט
cos α = 1/2= (1)/(2)

פתרונות כלליים

פיתרון משוואה עם מספרים מרוכבים בזווית: הכנס את Z = cis α = cos α + i sin α ועל פי כלל הכפל cis α * cis β = cis(α + β), חשב את הביטוי Z² - Z -1, הסכים כי הוא שווה 0. נציין כי Z² = cis 2α. המשוואה הופכת ל-cis 2α - cis α - 1 = 0. לאחר פירוק וניצול פונקציות טריגונומטריות מצאנו כי cos α = 1/2, לכן α=60° או 300° בהתאם לטווח.

הפריט הקודם הפריט הבא

ה2. תרגיל משולב במרוכבים

ניווט לפי נושאים

מספרים מרוכבים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך הזווית α המוסכם

נתון 1

0 ≤ α ≤ 360

נתון 3

הרעיון המרכזי

כתוב את Z כ-cisα = cos α + i sin α

הכנס במשוואה Z² - Z - 1 = 0 את הביטויים שהתקבלו

השתמש בקוסינוס זוגי וסינוס אי-זוגי לפישוט

פתרון מפורט

הגדרת מספר מרוכב בצורת צידי

השתמש בכלל כפל בזוויות

הכנס ביטויי Z ו-Z² במשוואה

השתמש בזהויות טריגונומטריות

מצא את ערכי α המתאימים

פתרונות כלליים