MMATH
התחברות

וידאו · מספרים מרוכבים

ד3. פיתוח קשר מדהים בין רדיוס חוסם משולש לרדיוס חסום במשולש וזוויות המשולש

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
24 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ג6. פתרון תרגיל מיוחד שמשלב הוכחה גיאומטרית קשה במספרים מרוכבים

וידאו

ג7. פתרון משוואה מעריכית במרוכבים משוואה מיוחדת

וידאו

ד1. פתרון תרגיל שמשלב מרוכבים עם גיאומטריה טריגונומטריה ווקטורים חשוב ביותר

וידאו

ד2. פיתוח נוסחת שטח חשובה והמשך פיתרון התרגיל

וידאו

ד3. פיתוח קשר מדהים בין רדיוס חוסם משולש לרדיוס חסום במשולש וזוויות המשולש

וידאו

ד4. שילוב וקטורים והמשך פתרון התרגיל

וידאו

ה1. שילוב של מרוכבים עם גיאומטריה חשוב ביותר

וידאו

ה2. תרגיל משולב במרוכבים

וידאו

ו1. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו2. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו3. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו4. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו5. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו6. מרוכבים עם סדרות

סיכום שיעור

  • הלימוד עוסק בפיתוח הבעה מתמטית המקשרת בין רדיוס חוסם משולש (R) לרדיוס חסום (r) בתוך משולש כללי דרך זוויותיו. מוצגת נוסחה מרכזית ועבודת הפשטה שמובילה לנוסחה מהספרות המתקבלת בעזרת יחסי טריגונומטריה ומשפט הסינוסים.
  • להבין את הקשר בין רדיוס חוסם לרדיוס חסום במשולש דרך זוויות המשולש
  • לתרגל שימוש במשפט הסינוסים ובטריגונומטריה לפיתוח נוסחאות גאומטריות
  • ליישם יחסים בין זוויות למחציות זווית ומדידת גדלים בעזרת קוטנגנס וטנגנס
  • לנתח ולפשט ביטויים טריגונומטריים מורכבים ולהכין נוסחאות לשימוש בבקרה ופתרון משולשים
  • הכרת הבעיה והגדרת המשתנים: הציגו משולש כללי עם צלעות וזוויות, ונתוני מעגל חסום בתוכו, עם הסימונים המקובלים של זוויות ופרמטרים רדיוסיים.
  • פיתוח הקשר הראשוני: שימוש במשפט הסינוסים לכתיבת יחס בין צלעות לזוויות, והקשר לטנגנס וקוטנגנס מחציות הזוויות במשולש.
  • הגעה לנוסחה המורכבת נקודתית: קבלת נוסחה מקורית של r בחיבור בין קוטנגנס מחציות הזוויות וחיבור עם סינוס אלפא כפונקציה של R.
  • פישוט הנוסחה והפיכתה לנוסחה מוכרת: פישוט ביטויים טריגונומטריים עם סינוס וקוסינוס מחציות זוויות להגעה לנוסחה מוכרת בספרות.

תרגול קצר

חישוב r נתון R וזוויות

רמת קושי: קל

ממתין

נתון משולש עם רדיוס חוסם R = 10, וזוויות אלפא = 40°, בטה = 70°, וגאמה = 70°. חשב את רדיוס המעגל החסום r לפי הנוסחה המוכרת.

רדיוס חוסםרדיוס חסוםזוויות משולש

רמז: השתמש בנוסחה r = 4 R סינוס חצי אלפא × סינוס חצי בטה × סינוס חצי גאמה.

פתרון מלא

תשובה סופית: r ≈ 4.48

חישוב חצאי הזוויות: 20°, 35°, 35°. חישוב סינוסים: sin 20° ≈ 0.342, sin 35° ≈ 0.574. לכן: r = 4 * 10 * 0.342 * 0.574 * 0.574 ≈ 4 * 10 * 0.112 ≈ 4.48.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל: חישוב רדיוס חסום במשולש

חישוב r מתוך R וזוויות משולש ידועות

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא r - רדיוס המעגל החסום בתוך המשולש

  2. נתון 1

    R - רדיוס המעגל החוסם

  3. נתון 2

    α, β, γ - זוויות המשולש

  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להשתמש בנוסחה המוכרת שקושרת בין R, זוויות המשולש ו-r דרך סינוסי חצי הזוויות.

  5. נוסחה

    הכנס לנוסחה את הערכים כך: r = 4 R sin(α/2) sin(β/2) sin(γ/2)

    r = 4 • R • sin(α/2) • sin(β/2) • sin(γ/2)r = 4 R sin(α/2) sin(β/2) sin(γ/2)r = 4 R ()/(2) ()/(2) ()/(2)
  6. משוואה

    חשב את r לפי הנוסחה עם הערכים המספריים.

    חשב את r לפי הנוסחה עם הערכים המספריים.

  7. פישוט

    חשב את ערכי סינוס 20°, 35°, 35°.

    חשב את ערכי סינוס 20°, 35°, 35°.

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    סכם שמתקבל r ≈ 4.48.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת נתוני המשולש

מה עושים

רשום את ערכי R והזוויות α, β, γ.

למה

הנתונים הבסיסיים נדרשים לבניית הנוסחה.

לדוגמה: R=10, α=40°, β=70°, γ=70°.

שמור על הזוויות במעלות.

2

בחירת שיטה

חישוב חצאי הזוויות

מה עושים

חשב α/2, β/2 ו-γ/2.

למה

הנוסחה משתמשת בסינוס של חצי זוויות.

לדוגמה: α/2=20°, β/2=35°, γ/2=35°.

ניתן להשתמש במחשבון.

3

בניית משוואה

כתיבת נוסחת החישוב

מה עושים

הכנס לנוסחה את הערכים כך: r = 4 R sin(α/2) sin(β/2) sin(γ/2)

למה

זו נוסחה מוכרת המחלצת r מבין הנתונים.

עם הערכים: r = 4 × 10 × sin 20° × sin 35° × sin 35°.

נוסחה / הצבה

r = 4 • R • sin(α/2) • sin(β/2) • sin(γ/2)r = 4 R sin(α/2) sin(β/2) sin(γ/2)r = 4 R ()/(2) ()/(2) ()/(2)

שימו לב להכפלה בין כל האברים.

4

פתרון

חישוב הסינוסים

מה עושים

חשב את ערכי סינוס 20°, 35°, 35°.

למה

נדרש ערך מספרי לחישוב הסופי.

sin 20° ≈ 0.342, sin 35° ≈ 0.574.

השתמש בטבלה או מחשבון.

5

פתרון

הכפלת הערכים וחישוב התוצאה

מה עושים

חשב את r לפי הנוסחה עם הערכים המספריים.

למה

כך מתקבל הערך המספרי של רדיוס המעגל החסום.

r ≈ 4 × 10 × 0.342 × 0.574 × 0.574 ≈ 4.48.

שימוש בסדר פעולות מדויק.

6

תשובה

קבלת התוצאה הסופית

מה עושים

סכם שמתקבל r ≈ 4.48.

למה

זו התשובה המבוקשת לשאלה.

רדיוס החסם במשולש הוא כ-4.48 יחידות אורך.

רשום תוצאה עם דיוק מתאים.

פתרונות כלליים

  • חישוב r נתון R וזוויות: חישוב חצאי הזוויות: 20°, 35°, 35°. חישוב סינוסים: sin 20° ≈ 0.342, sin 35° ≈ 0.574. לכן: r = 4 * 10 * 0.342 * 0.574 * 0.574 ≈ 4 * 10 * 0.112 ≈ 4.48.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.