וידאו · מספרים מרוכבים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ו1. מרוכבים עם סדרות
ו2. מרוכבים עם סדרות
ו3. מרוכבים עם סדרות
ו4. מרוכבים עם סדרות
ו5. מרוכבים עם סדרות
ו6. מרוכבים עם סדרות
ו7. מרוכבים עם סדרות
ו8. מרוכבים עם סדרות
ו9. מרוכבים עם סדרות
ו10. מרוכבים עם סדרות
ו11. מרוכבים עם סדרות
ו12. מרוכבים עם סדרות
חישוב שורש רביעי של מספר מרוכב
רמת קושי: קל
חשב את שורש הרביעי של המספר המרוכב z = -16.
רמז: השתמש בנוסחה של זוויות במישור המרוכב וציין את ארבעת השורשים.
תשובה סופית: 2 cis 45°, 2 cis 135°, 2 cis 225°, 2 cis 315°
נרשום את z בצורה פולרית: |-16|=16, והזווית θ=180°. השורשים הרביעיים הם: 2 (שורש של 16) כאשר הזוויות הן 180/4 + 360k/4 = 45° + 90°k עבור k=0,1,2,3.
סכום סדרה הנדסית עם איברים מורכבים
רמת קושי: בינוני
לפי הנתונים, הראה שסכום ארבעת האיברים בסדרה הנדסית z1, z2, z3, z4 שווה 0.
רמז: השתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית והזהה את מנת הסדרה כ-cis 90 מעלות.
תשובה סופית: 0
a1 = 2 cis 45°, q = cis 90°, אז S = a1 * (1 - q^4) / (1 - q) = 2 cis 45° * (1 - cis 360°) / (1 - cis 90°). מכיוון ש-cis 360°=1, המונה = 0 ולכן S=0.
השפעת העלאת האיברים בחזקות גבוהות על הסדרה
רמת קושי: מאתגר
הראה כי בהעלאת כל אחד מארבעת האיברים בחזקת 2019, סכום הסדרה לאחר הפישוט יישאר 0.
רמז: חשב את 2019 מודולו 4, ונצל את העובדה ש-cis γ בריאלים עם זווית γ וגבול 360 מעלות חוזר למקור.
תשובה סופית: 0
2019 מחולק ל-4 נותן שארית 3/4. לכן z1^2019 = z1^3 (modulo חישוב זווית). הסדרה נשארת הנדסית עם q = cis(270), וסכום הסדרה עם q ≠ 1 שווה אפס מפאת h משותף.
הוכחת סכום איברי סדרה הנדסית שווה לאפס
z₁ = 2 cis 45°חשב שהסדרה הנדסית עם מנה q = cis 90°ארבעת האיברים הם z₁, z₂=z₁*q, z₃=z₁*q², z₄=z₁*q³לחשב את סכום סדרת הגיאומטרית ולהראות שהמונה שווה לאפס, לכן הסכום שווה 0.
S = 0מציבים את הנתונים במשוואה.
חשב q⁴ = cis 360° = 1 ולכן 1 - q⁴ = 0
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
הגדר את ארבעת האיברים בסדרה עם q = cis 90°
למה
הצגה ראשונית של הסדרה לקבלת סכום הגיוני
z₂ = z₁ * q, z₃ = z₁ * q², z₄ = z₁ * q³
בחירת שיטה
מה עושים
השתמש בנוסחה S = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)
למה
כדי לחבר את כל האיברים בקלות
כאן n=4, a₁=z₁, q=cis 90°
נוסחה / הצבה
S = a1 * (1 - q^4) / (1 - q)S = a_1 x (1 - q^4)/(1 - q)הקפד על מה ש-q בחזקת 4 שווה לו.
פתרון
מה עושים
חשב q⁴ = cis 360° = 1 ולכן 1 - q⁴ = 0
למה
קבלת 0 במונה יגרום לסכום כולו להיות 0
חישוב פרטני של זווית וציון מתי הסכום מתאפס
זכור שקיפול זוויות במישור המרוכב הוא מודולו 360 מעלות.
תשובה
מה עושים
הסק כי סכום כל האיברים שווה 0
למה
מכיוון שמונה הנוסחה שווה 0, הסכום שווה 0
וזה מה שהוכחנו כמבוקש.
נוסחה / הצבה
S = 0