וידאו · מספרים מרוכבים
ו11. מרוכבים עם סדרות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- בשיעור זה נלמד כיצד לחשב יחס סדרה הנדסית במישור המורכב, ולהשתמש בנוסחת סכום סדרת מספרים מרוכבים בשני ייצוגים - אלגברי וטריגונומטרי.
- לחשב את יחס הסדרה ההנדסית במישור המרוכב
- להשתמש במצויד של מספרים מרוכבים
- לחשב סכום של מספר איברים בסדרה הנדסית במישור המרוכב
- להבין ולהשתמש בייצוג טריגונומטרי של מספרים מרוכבים
- חישוב יחס הסדרה Q: חישוב Q על ידי חילוק בין איברים בסדרה בשימוש במצויד של מספרים מרוכבים.
- חישוב סכום 12 האיברים הראשונים: שימוש בנוסחת סכום סדרה הנדסית למספרים מורכבים בייצוג אלגברי וטריגונומטרי.
תרגול קצר
חשב את יחס הסדרה Q
רמת קושי: קל
נתונה סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים עם האיברים הראשונים: מינוס 2 מחולק במינוס 1 ועוד i. חשב את יחס הסדרה Q על ידי הכפלת האיבר במצמוד שלו.
רמז: השתמש בחילוק בין האיברים והכפל במצמוד המספר
פתרון מלא
תשובה סופית: Q = 1 + i
נחשב Q = (-2) / (-1 + i) כפול המצמוד של (-1 + i) שהוא (-1 - i) Q = (-2) * (-1 - i) / ((-1 + i) * (-1 - i)) המכנה הוא סכום ריבועי 1 + 1 = 2. לכן Q = (2 + 2i) / 2 = 1 + i.
חשב את סכום 12 האיברים הראשונים בסדרה
רמת קושי: בינוני
נתונה סדרה הנדסית עם איבר ראשון A1 = (-1 + i)/Q ו-Q כפי שחושב. חשב את סכום 12 האיברים הראשונים S12 באמצעות הנוסחה הסטנדרטית לסכום סדרה הנדסית.
רמז: השתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית בשילוב הייצוג הטריגונומטרי של Q
פתרון מלא
תשובה סופית: S12 = -65 - 65i
נשתמש בנוסחה S_n = A_1 * (Q^n - 1) / (Q - 1) נציב n=12 ו-A1 כפי שהגדרנו. מחשבים Q^12 באמצעות הייצוג הטריגונומטרי (שורש 2 סינוס 45 מעלות)^12 = 64 סינוס 540 מעלות. מפשטים לסכום כולל ומקבלים S12 = -65 - 65i.
דרך הפתרון
חישוב סכום 12 איברים בסדרה מרוכבת
סכום סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים בייצוג טריגונומטרי ואלגברי
מפת פתרון
- מטרה
למצוא סכום האיברים הראשונים S12
- נתון 1
נתון 1
A1 = (-1 + i)/Q - נתון 2
נתון 2
Q = (איבר שני) מחולק (איבר ראשון) מוכפל במצמוד - נתון 3
נתון 3
n = 12 - מספר האיברים בסכום - רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את יחס הסדרה Q, לאחר מכן נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית ונבצע פישוט באמצעות הייצוג
- נוסחה
הצבת ערכים בנוסחה S_n = A_1 * (Q^n - 1) / (Q - 1)
S12 = A1 * (Q פועל בחזקת 12 פחות 1) חלקי (Q פחות 1)S_12 = A_1 * (Q^(12) - 1)/(Q - 1)S_12 = A_1 x (Q^(12) - 1)/(Q - 1) - משוואה
הציב את הערכים המחושבים בנוסחה ופשט את הביטוי
הציב את הערכים המחושבים בנוסחה ופשט את הביטוי
- פישוט
קישור האיבר הראשון A1 ו- Q מתוך ההגדרה
קישור האיבר הראשון A1 ו- Q מתוך ההגדרה
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת איברי הסדרה
זיהוי נתונים
הגדרת איברי הסדרה
מה עושים
קישור האיבר הראשון A1 ו- Q מתוך ההגדרה
למה
חשוב להגדיר במדויק את איברי הסדרה כדי לחשב בהמשך את הסכום.
A1 והיחס Q נלקחים ממשוואות נתונות או מחישובים קודמים.
2בחירת שיטה
חישוב יחס הסדרה Q
בחירת שיטה
חישוב יחס הסדרה Q
מה עושים
חשב Q כחילוק בין איברים במישור המרוכב והכפלה במצמוד
למה
כדי לקבל יחס מדויק לסדרה הנדסית במישור המרוכב ומניעת טעויות במכנה רציונלי.
Q = (A2 / A1) * מצמוד(A1)
נוסחה / הצבה
Q = A2 בכפול מצויד A1 חלקי A1 בכפול מצויד A1Q = A2 * conjugate(A1) / (A1 * conjugate(A1))Q = (A_2 x A_1)/(A_1 x A_1)זכור להשתמש במצמוד כדי לפשט מחלק בממשק מרוכב.
3בניית משוואה
הכנת נוסחת סכום הסדרה
בניית משוואה
הכנת נוסחת סכום הסדרה
מה עושים
הצבת ערכים בנוסחה S_n = A_1 * (Q^n - 1) / (Q - 1)
למה
חשוב לעבוד עם הנוסחה כדי למצוא את הסכום של n איברים בסדרה הנדסית.
נציב את A1, Q ו-n=12 בנוסחה
נוסחה / הצבה
S12 = A1 * (Q פועל בחזקת 12 פחות 1) חלקי (Q פחות 1)S_12 = A_1 * (Q^(12) - 1)/(Q - 1)S_12 = A_1 x (Q^(12) - 1)/(Q - 1)הקפד לבצע פעולות חזקה וחיסור לפי סדר נכון.
4פתרון
חישוב החזקה Q בחזקה 12 ויישום טריגונומטריה
פתרון
חישוב החזקה Q בחזקה 12 ויישום טריגונומטריה
מה עושים
חשב Q^12 באמצעות הייצוג הטריגונומטרי של מספרים מרוכבים
למה
יותר קל לחשב חזקה גבוהה בייצוג טריגונומטרי על ידי הכפלת זוויות.
נציל את זווית או משרעת כדי לקבל את הערך המדויק של Q^12.
נוסחה / הצבה
Q = שורש 2 כפול סיס 45 מעלות ופייQ בחזקת 12 = שורש 2 בחזקת 12 כפול סיס (45 כפול 12)Q = 2 (cos 45° + i sin 45°)Q^(12) = (2)^(12) (cos (45*12) + i sin (45*12))Q = 2( 45^ + i 45^)כן תוכל לפשט זוויות סינוס וקוסינוס לפי מחזוריות.
5פתרון
פישוט התוצאה וחישוב הסכום
פתרון
פישוט התוצאה וחישוב הסכום
מה עושים
הציב את הערכים המחושבים בנוסחה ופשט את הביטוי
למה
לקבל את התוצאה הסופית של סכום 12 האיברים
חשב את הסכום הסופי לאחר חישובי רכיבי הטריגונומטריה.
6תשובה
הצגת התוצאה הסופית
תשובה
הצגת התוצאה הסופית
מה עושים
סכם וסמן את סכום 12 האיברים
למה
להראות את התוצאה הברורה והסופית לתלמיד
S12 = -65 - 65i
פתרונות כלליים
- חשב את יחס הסדרה Q: נחשב Q = (-2) / (-1 + i) כפול המצמוד של (-1 + i) שהוא (-1 - i) Q = (-2) * (-1 - i) / ((-1 + i) * (-1 - i)) המכנה הוא סכום ריבועי 1 + 1 = 2. לכן Q = (2 + 2i) / 2 = 1 + i.
- חשב את סכום 12 האיברים הראשונים בסדרה: נשתמש בנוסחה S_n = A_1 * (Q^n - 1) / (Q - 1) נציב n=12 ו-A1 כפי שהגדרנו. מחשבים Q^12 באמצעות הייצוג הטריגונומטרי (שורש 2 סינוס 45 מעלות)^12 = 64 סינוס 540 מעלות. מפשטים לסכום כולל ומקבלים S12 = -65 - 65i.