וידאו · מספרים מרוכבים
ו8. מרוכבים עם סדרות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בפתרון סדרות של מספרים מרוכבים תוך שימוש בייצוג טריגונומטרי וזיהוי המנה של הסדרה לצורך חישוב סכום סדרות בצורה אלגברית ונוחה.
- להבין מהי מנה בסדרה גיאומטרית של מספרים מרוכבים
- לזכור כיצד להעביר ביטוי של מספר מרוכב לייצוג טריגונומטרי
- ליישם נוסחאות לחישוב סכום סדרות של מספרים מרוכבים
- לזהות מתי שימוש בנוסחת דמואבר מקל על החישובים
- הגדרת הסדרה והמידע הנתון: נתונה סדרה גיאומטרית עם a1 ו-a2 ונרצה למצוא את המנה q שלה.
- ייצוג טריגונומטרי של מספרים מרוכבים: המספרים מרוכבים מוצגים בייצוג טריגונומטרי כדי להקל על העלאתם בחזקות
- חישוב המנה q ושימוש בנוסחאות: על ידי חישוב הזוויות בסדרה ניתן להגיע למנה הגיאומטרית ואז לחשב סכום חלקי מהדרכים הסטנדרטיות
תרגול קצר
חישוב המנה של סדרה גיאומטרית מרוכבת
רמת קושי: קל
נתונה סדרה גיאומטרית של מספרים מרוכבים עם a1 ו-a2 נתונים. חשב את המנה q של הסדרה.
רמז: השתמש ביחס a2 חלקי a1 כדי למצוא את q.
פתרון מלא
תשובה סופית: q = a2 / a1
q = a2 / a1
העבר מספר מרוכב לייצוג טריגונומטרי
רמת קושי: בינוני
נתון מספר מרוכב z = a + bi. הבטח את הייצוג הטיגונומטרי שלו בצורת r cis θ.
רמז: חשב את r כמודולוס של z ואת θ כארגומנט (זווית) על ידי פונקציות טריגונומטריות.
פתרון מלא
תשובה סופית: z = r (cos θ + i sin θ)
r = שורש(a² + b²), θ = טנגנס הפוך של (b/a)
חישוב סכום סדרה עם מנה מרוכבת
רמת קושי: מאתגר
נתונה סדרה גיאומטרית עם a1 ו-q בייצוג טריגונומטרי. חשב את סכום n האיברים הראשונים.
רמז: השתמש בנוסחת סכום הסדרה הגיאומטרית ל-S_n.
פתרון מלא
תשובה סופית: S_n = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)
S_n = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)
מצא q בסדרה גיאומטרית מרוכבת
רמת קושי: בגרות
בסדרה גיאומטרית עם מספרים מרוכבים נתונים a1 ו-a2, חשב את המנה q אם a1 שווה ל-√3/2 - 1/2 i ו-a2 שווה cos(-150°) + i sin(-150°).
רמז: חשב q = a2 / a1, תוך השתמשות בייצוג הטריגונומטרי והשימוש בנוסחאות המתאימות.
פתרון מלא
תשובה סופית: q = cos(-120°) + i sin(-120°)
q = a2 / a1 = cos(-120°) + i sin(-120°)
דרך הפתרון
מחשבים את המנה בסדרה גיאומטרית מרוכבת
שלבי פתרון פשוטים וברורים
מפת פתרון
- מטרה
למצוא הערך של המנה q בייצוג טריגונומטרי
- נתון 1
a1 - האיבר הראשון בסדרה
- נתון 2
a2 - האיבר השני בסדרה
- רעיון
הרעיון המרכזי
חשב את היחס q=a2/a1 והעבר את המספרים לייצוג טריגונומטרי לפשטות החישוב.
- נוסחה
חשב את היחס בין a2 ל-a1
q = a2 / a1q = (a_2)/(a_1) - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
חשב את הזווית של q בייצוג טריגונומטרי
חשב את הזווית של q בייצוג טריגונומטרי
- תוצאה
מסיימים בתשובה
כתוב את q כ-r cis θ
q = r (cos θ + i sin θ)q = r ( + i )
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
מספרים מרוכבים a1 ו-a2
זיהוי נתונים
מספרים מרוכבים a1 ו-a2
מה עושים
קבל את הערכים של a1 ו-a2
למה
הם הבסיס לחישוב המנה q
הנתונים הראשוניים שניתנו בסדרה הם a1 ו-a2 בהם נשתמש
2בחירת שיטה
העבר לייצוג טריגונומטרי
בחירת שיטה
העבר לייצוג טריגונומטרי
מה עושים
השתמש במודולוס ובזווית כדי לקבל r ו-θ עבור a1 ו-a2
למה
העלאה בחזקות קלה יותר בייצוג זה
חישוב r כמרחק מהמקור ו-θ כזוית עם ציר האופקי
3בניית משוואה
כתוב q = a2 / a1
בניית משוואה
כתוב q = a2 / a1
מה עושים
חשב את היחס בין a2 ל-a1
למה
היחס הוא המנה בסדרה
בדיקות שה-a1 לא אפס כדי למנוע חלוקה באפס
נוסחה / הצבה
q = a2 / a1q = (a_2)/(a_1)בדוק שה-a1 שונה מאפס לפני החישוב
4פתרון
חשב את הזווית r ו-θ של q
פתרון
חשב את הזווית r ו-θ של q
מה עושים
חשב את הזווית של q בייצוג טריגונומטרי
למה
כדי להקל על חישוב חזקות בעתיד
השתמש בפונקציות טריגונומטיות לחישוב הזווית
השתמש במחשבון מדעי במוד קומפלקס
5תשובה
מצא q בייצוג טריגונומטרי
תשובה
מצא q בייצוג טריגונומטרי
מה עושים
כתוב את q כ-r cis θ
למה
סיוע בחישובים הבאים בסדרה
q = רדיוס cos(זוית) + i sin(זוית)
נוסחה / הצבה
q = r (cos θ + i sin θ)q = r ( + i )פתרונות כלליים
- חישוב המנה של סדרה גיאומטרית מרוכבת: q = a2 / a1
- העבר מספר מרוכב לייצוג טריגונומטרי: r = שורש(a² + b²), θ = טנגנס הפוך של (b/a)
- חישוב סכום סדרה עם מנה מרוכבת: S_n = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)
- מצא q בסדרה גיאומטרית מרוכבת: q = a2 / a1 = cos(-120°) + i sin(-120°)