MMATH
התחברות

וידאו · מספרים מרוכבים

ו9. מרוכבים עם סדרות

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%

סיכום שיעור

  • השיעור מתמקד בשימוש בנוסחה ובטכניקות לפתרון בעיות בסדרות של מספרים מרוכבים, תוך התייחסות לסדרה נסית וסדרה חשבונית במרחב המספרים המרוכבים.
  • להבין כיצד מנצלים את התכונות של מספרים מרוכבים בסדרות
  • לדעת לכתוב ולהשתמש במשוואות המשלבות מספרים מרוכבים בסדרות
  • לזהות מתי סכום סדרה מרוכבת הוא ממשי ולהפיק מכך מסקנות
  • לתרגל פתרון משוואות מרוכבות בשיטות אלגבריות
  • הבנת סידרה נסית במרוכבים: נסביר כיצד להשתמש בתכונה שהאיבר האמצעי בריבוע שווה למכפלת האיברים הסמוכים בסדרה נסית של מספרים מרוכבים.
  • פתרון משוואות בסדרה נסית: כיצד למצוא ערכי x ו-y על ידי הצבה וניסוח משוואות על פי מודול נתון.
  • סדרה חשבונית של מספרים מרוכבים: ניתוח סכום של סדרה חשבונית עם הפרש מרוכב ובחינת תנאי הריאליות של הסכום.

תרגול קצר

חישוב איברים בסדרה נסית של מספרים מרוכבים

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה סדרה נסית של מספרים מרוכבים שבה האיבר האמצעי z שווה x + yi, כאשר \( z^2 = (x^2 - y^2) + 2xyi \). ידוע כי \( z^2 = z_{n-1} z_{n+1} \). הצב את הערכים המתאימים למציאת x ו-y על פי המשוואות הממשיות והמדומות.

סדרה נסיתמספרים מרוכביםמשוואות אלגבריות

רמז: הפרד את המשוואה לשני משוואות נפרדות – ממשית ומדומה ואפסן את המשתנים בהתאם.

פתרון מלא

תשובה סופית: התשובות הן y = 4 (או -4) ו-x = 2 (או -2), כאשר x > 0; לכן הפתרון התקין הוא x=2, y=4.

נשתמש במשוואה z^2 = z_{n-1} z_{n+1} ונפרק אותה לממשי ומדומה. נקבל משוואות במונחים x ו-y. מציבים x = 8/y לפי הנתונים, ומחלצים את y על פי המשוואה המתקבלת במודול 35.

מספר האיברים בסדרה חשבונית מרוכבת עם סכום ממשי

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה סדרה חשבונית של מספרים מרוכבים שבה האיבר הראשון הוא 2 + 4i והפרש הסדרה הוא -1/2 i. על פי הנתונים, מהו מספר האיברים N כאשר סכום הסדרה הוא מספר ממשי?

סדרה חשבוניתמספרים מרוכביםסכום סדרה

רמז: כדי שהסכום יהיה ממשי יש לוודא שהחלק המדומה בסכום יהיה 0. הצב את תנאי זה במשוואה ופתור את N.

פתרון מלא

תשובה סופית: מספר האיברים הוא 17.

כפול את הנוסחה של האיבר הכללי באיבר i, השווה ל-0 את החלק המדומה בסכום שמוגדר באמצעות N. לאחר הפישוט מתקבל 8 = (1/2)(N - 1), לכן N - 1 = 16, ומשמע N = 17.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב מספר האיברים בסדרה חשבונית מרוכבת

כאשר סכום הסדרה הוא ממשי

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא מספר האיברים n בסדרה

  2. נתון 1

    נתון 1

    a1 = 2 + 4i
  3. נתון 2

    נתון 2

    d = -1/2 i
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    למצוא את n כך שהחלק המדומה של סכום הסדרה יהפוך לאפס.

  5. נוסחה

    Sn = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)

    Sn= n divided by 2 times (2 times a1 plus (n minus 1) timesd)Sn = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)S_n = (n)/(2) (2a_1 + (n-1)d)
  6. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  7. פישוט

    נקבע שהחלק עם i שווה 0: 4 + (n-1)(-1/2) = 0

    נקבע שהחלק עם i שווה 0: 4 + (n-1)(-1/2) = 0

    4 + (n - 1) * (-1/2) = 0
  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    16 = n - 1, n = 17

    n minus 1 equals 16therefore n equals 17

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתוני הסדרה

מה עושים

a1 = 2 + 4i, d = -1/2 i

למה

אלה הפרמטרים להמשך הפתרון.

נתוני האיבר הראשון והפרש הסדרה מורכבים ממספרים מרוכבים.

2

בחירת שיטה

סכום הסדרה חייב להיות ממשי

מה עושים

החלק המדומה בסכום חייב להתאפס

למה

כדי שהסכום יהיה ממשי, החלק המדומה חייב להיות 0.

מבינים שיש להשוות לחלק המדומה 0 בפתרון המשוואה.

3

בניית משוואה

נוסחת סכום הסדרה החשבונית

מה עושים

Sn = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)

למה

הנוסחה מציגה את סכום נ איברים בסדרה חשבונית

סכום n איברים בנוסחה כללית של סדרה חשבונית.

נוסחה / הצבה

Sn= n divided by 2 times (2 times a1 plus (n minus 1) times d)Sn = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)S_n = (n)/(2) (2a_1 + (n-1)d)
4

פתרון

פישוט החלק המדומה

מה עושים

נקבע שהחלק עם i שווה 0: 4 + (n-1)(-1/2) = 0

למה

כדי להסיר את החלק המדומה בסכום הסדרה

השוואת החלק המדומה של הסכום לאפס לקבלת n

נוסחה / הצבה

4 plus (n minus 1) times minus one half equals zero4 + (n - 1) * (-1/2) = 04 + (n - 1) x (-(1)/(2)) = 0
5

תשובה

חישוב n

מה עושים

16 = n - 1, n = 17

למה

פתרון המשוואה נותן את מספר האיברים הדרוש

מספר האיברים לקבלת סכום ממשי הוא 17.

נוסחה / הצבה

n minus 1 equals 16therefore n equals 17n - 1 =16n=17n-1=16 => n=17

פתרונות כלליים

  • חישוב איברים בסדרה נסית של מספרים מרוכבים: נשתמש במשוואה z^2 = z_{n-1} z_{n+1} ונפרק אותה לממשי ומדומה. נקבל משוואות במונחים x ו-y. מציבים x = 8/y לפי הנתונים, ומחלצים את y על פי המשוואה המתקבלת במודול 35.
  • מספר האיברים בסדרה חשבונית מרוכבת עם סכום ממשי: כפול את הנוסחה של האיבר הכללי באיבר i, השווה ל-0 את החלק המדומה בסכום שמוגדר באמצעות N. לאחר הפישוט מתקבל 8 = (1/2)(N - 1), לכן N - 1 = 16, ומשמע N = 17.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.