וידאו · מספרים מרוכבים
ו12. מרוכבים עם סדרות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור על שימוש במספרים מרוכבים המיוצגים בצורה טריגונומטרית ועל ניתוח סדרה הנדסית מתוכם, כולל חישוב סכומי סדרות וחזקות של האיברים.
- להבין את ייצוג המספר המרוכב בצורה טריגונומטרית
- לחשב שורשים n-יים של מספר מרוכב
- להוכיח שסדרה שהוגדרה באמצעות מספרים מרוכבים היא סידרה הנדסית
- לחזור על חישוב סכום של סדרה הנדסית
- לחשב חזקות של איברי הסדרה ולהבין את השפעתן על הסכום
- ייצוג טריגונומטרי ושורש שמיני: מייצגים את Z בשורש שמיני במונחים של מודול ופזה, עם קפיצות בזווית של 45 מעלות.
- הוכחת סדרה הנדסית: מחלקים איברים עוקבים של הסדרה ומוכיחים שהיחס בין האיברים הוא קבוע, כלומר הסדרה הנדסית.
- חישוב סכום סדרה הנדסית: הסכום של 8 איברים עם יחס סיס 45 מחושב באמצעות נוסחת סכום סדרה הנדסית והבנת התוצאה הסופית היא אפס.
- חזקות של איברי הסדרה והשפעתן: כאשר כל איבר מונמך בחזקת 2017, מחושבת סדרה חדשה ושוב מחשבים סכום תוך שימוש בחשבון זוויות ומודולים.
תרגול קצר
חישוב שורש שמיני של מספר מרוכב
רמת קושי: קל
חשב את השורש השמיני של המספר המרוכב Z=256 סיס 180 מעלות וכתוב את כל השורשים.
רמז: השתמש בנוסחת השורש ה-n של מספר מרוכב והחלף k מ-0 עד 7.
פתרון מלא
תשובה סופית: Z_k = 2 סיס (22.5 + 45k), k=0,...,7
מודול השורש יהיה 256 בחזקת 1/8 = 2. הזוויות יהיו (180 + 360k)/8 עבור k=0,...,7. כלומר הזוויות הן 22.5, 67.5, 112.5, ..., 337.5.
הוכחת סדרה הנדסית
רמת קושי: בינוני
הראה שהסדרה {Z_k} המוגדרת כ-Z_k=2 סיס (22.5 + 45k) היא סדרה הנדסית.
רמז: חשב את היחס Z_{k+1} / Z_k והראה שהוא קבוע על כל k.
פתרון מלא
תשובה סופית: Q = סיס 45 מעלות
Z_{k+1} / Z_k = סיס (22.5 + 45(k+1)) / סיס (22.5 + 45k) = סיס 45 מעלות (מכיוון שהמודול קבוע). לכן היחס קבוע והסדרה הנדסית.
חישוב סכום סדרת שמונה איברים
רמת קושי: מאתגר
חשב את סכום שמונת האיברים של הסדרה הנדסית Z_k=2 סיס (22.5 + 45k)
רמז: השתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית עם Q = סיס 45, A1 = Z_0, ו-n=8.
פתרון מלא
תשובה סופית: 0
S_8 = A_1 (Q^8 - 1) / (Q - 1) = 2 סיס 22.5 * (סיס 360 - 1) / (סיס 45 - 1) = 2 סיס 22.5 * (1 - 1)/ (סיס 45 - 1) = 0
חישוב סכום סדרה לאחר העלאת האיברים בחזקה
רמת קושי: בגרות
אם כל איבר בסדרה Z_k מונמך בחזקת 2017, חשב את סכום שמונה האיברים החדשים.
רמז: חשב את Q בחזקת 2017 וודא שהתוצאה מחזורית עם מחזור 360 מעלות בזווית.
פתרון מלא
תשובה סופית: 0
Q = סיס 45, ולכן Q^{2017} = סיס (45*2017). מפשטים 45*2017 mod 360 = 0, לכן Q^{2017} = סיס 0 = 1. הסכום דומה לחלק הקודם ונקבל שוב 0.
דרך הפתרון
פתרון חישוב שורש שמיני וסידרה הנדסית
איך לחשב שורש שמיני ולזהות סדרה הנדסית עם סכום
מפת פתרון
- מטרה
למצוא את כל שורשי השמינית של Z / להוכיח שהסדרה היא הנדסית / לחשב את סכום שמונת איברי הסדרה
- נתון 1
נתון 1
Z=256 סיס 180 מעלות - נתון 2
נתון 2
k=0,...,7 לשורשים השמיניים - נתון 3
נתון 3
סדרה Z_k = r סיס(θ_k) עם r=2, θ_k=22.5 + 45k - רעיון
הרעיון המרכזי
לחשב מודול וזווית של השורש השמיני, לכוון שכל הופעה משתנה בזווית ב-45 מעלות ולהוכיח שהיחס בין
- נוסחה
מייצגים Z_k בצורה טריגונומטרית לפי הזווית החדשה
2 c i s (22.5 + 45k)2 cis (22.5 + 45k)2 (22.5 + 45k) - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
חישוב היחס Z_{k+1}/Z_k והצגתו כסיס 45
חישוב היחס Z_{k+1}/Z_k והצגתו כסיס 45
Q = cis 45 מעמדותQ = cis 45 מעלות
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתון המספר המרוכב
זיהוי נתונים
נתון המספר המרוכב
מה עושים
המספר Z נתון במודול וזווית
למה
צריך להשתמש במודול ובזווית לחישוב שורש ושאר החישובים
Z=256 סיס 180 מעלות
2בחירת שיטה
חישוב שורש שמיני
בחירת שיטה
חישוב שורש שמיני
מה עושים
מקבלים את המודול והשורש ה-nי מכל רכיב ומחלקים את הזווית ב-8
למה
שימוש בנוסחת השורש של מספר מרוכב
r^(1/8), הזווית נשלפת לפי (180+360k)/8
נוסחה / הצבה
r^(1/8)cis ((t + 360k) / 8)r^(1/n) cis ((t + 360k)/n)r^(1/8) ( (t + 360k)/(8) )k=0,...,7 נותן את כל השורשים
3בניית משוואה
כתיבת איבר הסדרה
בניית משוואה
כתיבת איבר הסדרה
מה עושים
מייצגים Z_k בצורה טריגונומטרית לפי הזווית החדשה
למה
הייצוג מאפשר חישוב יחס וסכום
Z_k=2 סיס (22.5 + 45k)
נוסחה / הצבה
2 c i s (22.5 + 45k)2 cis (22.5 + 45k)2 (22.5 + 45k)מודול קבוע בזוויות משתנות ב-45
4פתרון
הוכחת שהסדרה הנדסית
פתרון
הוכחת שהסדרה הנדסית
מה עושים
חישוב היחס Z_{k+1}/Z_k והצגתו כסיס 45
למה
היחס הקבוע מגדיר סדרה הנדסית
Z_{k+1}/Z_k = סיס 45 מעלות
נוסחה / הצבה
Q = cis 45 מעמדותQ = cis 45 מעלותQ = 45^5פתרון
חישוב סכום הסדרה
פתרון
חישוב סכום הסדרה
מה עושים
השתמש בנוסחת סכום הסדרה ההנדסית
למה
לחשב סכום מספר האיברים
S_n = A_1 (Q^n - 1)/(Q - 1)
נוסחה / הצבה
S_n = A_1 (Q^n - 1) / (Q - 1)S_n = (A_1 (Q^n - 1))/(Q - 1)Q^8 = cis 360 מעלות = 1
6תשובה
סכום הסדרה הוא 0
תשובה
סכום הסדרה הוא 0
מה עושים
חשב את הביטוי עם Q^8 = 1
למה
כי המחנה מתאפס והשוויון נותן 0
S_8 = 0
פתרונות כלליים
- חישוב שורש שמיני של מספר מרוכב: מודול השורש יהיה 256 בחזקת 1/8 = 2. הזוויות יהיו (180 + 360k)/8 עבור k=0,...,7. כלומר הזוויות הן 22.5, 67.5, 112.5, ..., 337.5.
- הוכחת סדרה הנדסית: Z_{k+1} / Z_k = סיס (22.5 + 45(k+1)) / סיס (22.5 + 45k) = סיס 45 מעלות (מכיוון שהמודול קבוע). לכן היחס קבוע והסדרה הנדסית.
- חישוב סכום סדרת שמונה איברים: S_8 = A_1 (Q^8 - 1) / (Q - 1) = 2 סיס 22.5 * (סיס 360 - 1) / (סיס 45 - 1) = 2 סיס 22.5 * (1 - 1)/ (סיס 45 - 1) = 0
- חישוב סכום סדרה לאחר העלאת האיברים בחזקה: Q = סיס 45, ולכן Q^{2017} = סיס (45*2017). מפשטים 45*2017 mod 360 = 0, לכן Q^{2017} = סיס 0 = 1. הסכום דומה לחלק הקודם ונקבל שוב 0.