שיעור זה עוסק בפתרון משוואה מעריכית בתחום המספרים המרוכבים באמצעות שיטות אלגבריות וטריגונומטריות, תוך שימוש בתכונות חזקות של מספרים מורכבים ויישום לוגאריתמים.
להבין כיצד לפתור משוואה מעריכית עם מספרים מרוכבים
ליישם פיצול חזקות לשני חלקים עיקריים (אלגברי וטריגונומטרי)
להשתמש בנוסחות דמוואר לפישוט ביטויים מורכבים
להבין את חשיבות בקרת הפתרונות והתאמתם מבחינה טריגונומטרית
ליישם לוגאריתם טבעי ובלוגים במצבי חזקות במרוכבים
הצגת המשוואה המעריכית: המשוואה המוצגת משלבת מספרים מרוכבים בחזקות, ויש לפתור תוך פירוק ולקיחת יחס בין איברים מורכבים.
שיטות פתרון: הפתרון נעשה בשתי דרכים: ראשית גישה אלגברית, ושנית גישה טריגונומטרית בעזרת נוסחאות דמוואר והבנה של זוויות במישור המרוכב.
בקרה ואימות הפתרונות: יש לוודא שהפתרונות מתאימים הן מבחינת החישובים האלגבריים והן מבחינת הערכים הטריגונומטריים לזוויות, תוך התייחסות לסיבובים של זוויות.

תרגול קצר

פישוט משוואה מעריכית בסיסית במורכבים

רמת קושי: קל

ממתין

פתור את המשוואה (1+i)^(n-1) = (65i - 260) / (4 - i) למציאת n

מספרים מרוכביםמשוואות מעריכיותפישוט ביטויים

רמז: ראשית בצע פישוט של היחס בעזרת הכפלה בשבר הופכי; לאחר מכן השתמש בחוקי חזקות ופישוטים

פתרון מלא

תשובה סופית: n=12

מכפילים את המונה במכנה ההפוך, מפשטים, מוצאים ש-(1+i)^n = -64, לאחר מכן מבקשים למצא n\nבקור בגישה אלגברית: לוקחים לוגריתם בסיס 1+i ומחשבים את n לאחר הפשטה

בדיקת פתרון אלגברי וטריגונומטרי

רמת קושי: בינוני

ממתין

בהינתן n=12 ממשוואה (1+i)^n = -64, אמת/אי אמת כי הפתרון מתאים גם לגישה הטריגונומטרית תוך בדיקת זוויות

פתרון גאומטריבדיקת זוויותמישור מרוכב

רמז: העבר את המספר למצב פולארי ובדוק אם הזווית של (1+i)^n חופפת לזווית של -64 תוך התחשבות בסיבובי זווית

פתרון מלא

תשובה סופית: הפתרון מתאים גם בגישה הטריגונומטרית

(1+i) במצב פולארי הוא sqrt(2) סיס 45°\n(1+i)^12 = (sqrt(2))^12 סיס(45*12) = 64 סיס(540°)\n540° = 180° + 360°, לכן הזווית שקולה ל-180°, שזה מתאים ל- -64 במישור המרוכב

פתרון משוואה מעריכית של מספרים מורכבים עם בדיקת בקרה

רמת קושי: בגרות

ממתין

פתור את המשוואה (1+i)^(n-1) = (65i - 260)/(4 - i) ומצא את כל הפתרונות המתאימים ל-n כולל בדיקת ההתאמה הטריגונומטרית לזוויות

משוואות מעריכיותמספרים מרוכביםבקרה טריגונומטרית

רמז: פשט את השבר להרכיב במראה, השתמש בנוסחת דמוואר לפירוק המעריך, הבחן בבקרה עם סיבובים של זווית

פתרון מלא

תשובה סופית: n=12

כפול את שני אגפי המשוואה ב-(4 - i)\n(1+i)^(n-1) = (65i - 260) / (4 - i)\nאחרי הפישוט יוצא: (1+i)^n = -64\nחישוב לוג של 64 בבסיס sqrt(2) נותן n=12\nבקרה: מבחינת זוויות, 45*n = 540 מעלות, שמקביל ל-180 + 360 (סיבוב מלא), ולכן מתקיים

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון משוואה מעריכית במספרים מרוכבים

פתרון n במשוואה: (1+i)^(n-1) = (65i - 260)/(4 - i)

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא המספר n השלם שמקיים את המשוואה
נתון 1
נתון 1
המשוואה (1+i)^(n-1) = (65i - 260)/(4 - i)
נתון 2
היכרות עם הפעלת חזקות על מספרים מרוכבים
נתון 3
ידיעה של צורת פולארית ונוסחת דמוואר
רעיון
הרעיון המרכזי
לפשט את המשוואה, להביא לביטוי של (1+i)^n בצורת מספר מרוכב, ואז למצוא את n באמצעות לוגריתם ו/או
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
נתונה המשוואה (1+i)^(n-1) = (65i - 260)/(4 - i)
נתונה המשוואה (1+i)^(n-1) = (65i - 260)/(4 - i)
פישוט
שמים שורש 2 בבסיס ונשתמש בנוסחאות לזוויות
שמים שורש 2 בבסיס ונשתמש בנוסחאות לזוויות

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

המשוואה המקורית

מה עושים

נתונה המשוואה (1+i)^(n-1) = (65i - 260)/(4 - i)

למה

כדי לדעת מהי המשוואה שיש לפתור

יש להתחיל מפישוט המונה והמכנה של הביטוי במכנה.

כפול ושבר הופכי יסייעו בפישוט.

זיהוי נתונים

חזקות של 1+i ו-1-i

מה עושים

נזכור ש-1+i בריבוע = 2i

למה

כיוון שנוכל להשתמש בזה לפישוט החזקות

שימוש בחזקות מוכרות יסייע בהורדת המעריך

להביא את הביטוי לצורת חזקה של מספר ידוע.

בחירת שיטה

פישוט וחיבור מעריכי

מה עושים

לכפול ולפשט היחס כדי לקבל ביטוי של (1+i)^n = מספר מרוכב פשוט

למה

כדי להגיע לייצוג נוח לחישוב

מכפילים את אגף ימין ומקבלים ביטוי בודד של (1+i)^n

נוסחה / הצבה

(1+i)^n = -64(1 + i)^n = -64

ישן דגש על הפחתת n-1 ל-n.

בניית משוואה

ייצוג פולארי של -64 ו-1+i

מה עושים

מוצאים את משרעת וזווית המספרים

למה

כדי להשתמש בנוסחת דמוואר ולפתור בצורה טריגונומטרית

-64 = 64 סיס 180°, 1+i = sqrt(2) סיס 45°

להכיר את המיקום של מספרים מרוכבים במישור.

פתרון

יישום נוסחת דמוואר ופתרון n

מה עושים

שמים שורש 2 בבסיס ונשתמש בנוסחאות לזוויות

למה

כדי למצוא את n

חשבון לוג ופתרון המשוואה: n = לוג שורש 2 בסיס 64 = 12; ברור שגם הזוויות מתקיימות

לטפל בבקרה של זוויות עם סיבובי 360°.

תשובה

קבלת הפתרון הסופי

מה עושים

אשרו כי n=12 מקיים את המשוואה

למה

הפתרון משתלב הן בגישה האלגברית והן הטריגונומטרית

ערך זה עונה על כל דרישות המשוואה

תמיד יש לבצע בקרה על התוצאה האחרונה.

פתרונות כלליים

פישוט משוואה מעריכית בסיסית במורכבים: מכפילים את המונה במכנה ההפוך, מפשטים, מוצאים ש-(1+i)^n = -64, לאחר מכן מבקשים למצא n\nבקור בגישה אלגברית: לוקחים לוגריתם בסיס 1+i ומחשבים את n לאחר הפשטה
בדיקת פתרון אלגברי וטריגונומטרי: (1+i) במצב פולארי הוא sqrt(2) סיס 45°\n(1+i)^12 = (sqrt(2))^12 סיס(45*12) = 64 סיס(540°)\n540° = 180° + 360°, לכן הזווית שקולה ל-180°, שזה מתאים ל- -64 במישור המרוכב
פתרון משוואה מעריכית של מספרים מורכבים עם בדיקת בקרה: כפול את שני אגפי המשוואה ב-(4 - i)\n(1+i)^(n-1) = (65i - 260) / (4 - i)\nאחרי הפישוט יוצא: (1+i)^n = -64\nחישוב לוג של 64 בבסיס sqrt(2) נותן n=12\nבקרה: מבחינת זוויות, 45*n = 540 מעלות, שמקביל ל-180 + 360 (סיבוב מלא), ולכן מתקיים

הפריט הקודם הפריט הבא

ג7. פתרון משוואה מעריכית במרוכבים משוואה מיוחדת

ניווט לפי נושאים

מספרים מרוכבים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא המספר n השלם שמקיים את המשוואה

נתון 1

היכרות עם הפעלת חזקות על מספרים מרוכבים

ידיעה של צורת פולארית ונוסחת דמוואר

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

נתונה המשוואה (1+i)^(n-1) = (65i - 260)/(4 - i)

שמים שורש 2 בבסיס ונשתמש בנוסחאות לזוויות

פתרון מפורט

המשוואה המקורית

חזקות של 1+i ו-1-i

פישוט וחיבור מעריכי

ייצוג פולארי של -64 ו-1+i

יישום נוסחת דמוואר ופתרון n

קבלת הפתרון הסופי

פתרונות כלליים