MMATH
התחברות

וידאו · וקטורים גאומטריים ואלגבריים

ה8. זוויות במרחב בעזרת דוט

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
30 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ה4. מצב הדדי בין ישר פרמטרי למישור במרחב

וידאו

ה5. מצב הדדי בין ישר פרמטרי למישור במרחב

וידאו

ה6. מצב הדדי בין ישר פרמטרי למישור במרחב

וידאו

ה7. מרחק נקודה מישר במרחב בשתי שיטות

וידאו

ה8. זוויות במרחב בעזרת דוט

וידאו

ו1. מרחק בין ישרים מקבילים במרחב שתי שיטות

וידאו

ו2. מרחק בין נקודה למישור במרחב שתי שיטות

וידאו

ו3. מרחק ביו מישורים מקבילים במרחב שתי שיטות

וידאו

ו4. נקודות החיתוך של מישור עם הצירים

וידאו

ו5. מרחק ישר ממישור

וידאו

ו6. מרחק בין ישרים מצטלבים

וידאו

ו7. מרחק בין ישרים מצטלבים

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בחישוב זוויות במרחב באמצעות מכפלת סקלרית (דוט) בין וקטורים, בין ישרים ומישורים, ובין ישר למישור. מוסבר איך למצוא זווית חדה והקשר בין קוסינוס לסינוס בזוויות במרחב.
  • להבין הגדרת מכפלת סקלר בין וקטורים
  • לחשב זווית בין שני וקטורים בעזרת דוט
  • להבין צמצום וקטורים לצורך חישוב זוויות
  • לחשב זווית בין שני מישורים באמצעות וקטורי נורמל
  • להבין את הקשר בין זוויות חדות וכהות במרחב
  • לחשב זווית בין ישר למישור בעזרת וקטורים ונוסחאות מתמטיות
  • מכפלת סקלר לזוויות בין וקטורים: הגדרת המכפלה הסקלרית בין וקטורים והקשר שלה לזווית ביניהם דרך המכפלה והגדלים.
  • זווית בין שני ישרים: הזווית בין שני ישרים נקבעת לפי הווקטורים היוצאים מהם, תוך התייחסות לצמצום מספרים ואפשרות שהזווית זהה בין וקטורים שונים.
  • זווית בין מישורים: הזווית בין שני מישורים נמדדת על ידי הזווית בין וקטורי הנורמל שלהם, תוך טיפול בערך מוחלט וחשיבות מציאת הזווית החדה.

תרגול קצר

מצא את הזווית בין הוקטורים V1 ו-V2

רמת קושי: קל

ממתין

נתונים הוקטורים V1 = (2, 2, 1) ו-V2 = (1, 2, 2). חשב את הזווית ביניהם.

וקטוריםזוויתדוט

רמז: השתמש בהגדרה של דוט לזווית: A · B = |A| * |B| * cos(α). תחילה חשב את המכפלה הסקלרית ואחר כך את אורכי הווקטורים.

פתרון מלא

תשובה סופית: כ-27.27 מעלות

המכפלה הסקלרית V1 · V2 = 2*1 + 2*2 + 1*2 = 2 + 4 + 2 = 8. אורך V1 = שורש(2^2 + 2^2 +1^2) = שורש(4 + 4 +1) = שורש(9) =3. אורך V2 = שורש(1^2 + 2^2 + 2^2) = שורש(1 + 4 +4) = שורש(9) =3. cos(α) = 8 / (3*3) = 8/9 ≈ 0.8889. α = arccos(0.8889) ≈ 27.27 מעלות.

זווית בין שני מישורים עם וקטורי נורמל

רמת קושי: בינוני

ממתין

יש שני מישורים עם וקטורי נורמל n1 = (2, 2, 1) ו-n2 = (1, 2, 2). מצא את הזווית החדה ביניהם.

מישוריםוקטוריםזוויתנורמל

רמז: חשב את המכפלה הסקלרית בין הנורמלים, ואת הגדלים שלהם. הזווית בין המישורים היא הזווית בין הנורמלים עם ערך מוחלט במכפלה.

פתרון מלא

תשובה סופית: כ-27.27 מעלות

מכפלה סקלרית n1 · n2 = 2*1 + 2*2 + 1*2 = 2 +4 +2 =8. אורך n1 = שורש(4 +4 +1) = 3. אורך n2 = שורש(1 +4 +4) = 3. cos(β) = |8/(3*3)| = 8/9 ≈ 0.8889. β = arccos(0.8889) ≈ 27.27 מעלות.

חישוב זווית בין ישר למישור

רמת קושי: מאתגר

ממתין

יש ישר עם וקטור וקטור v = (2, 2, 1) ומישור בעל נורמל n = (1, 2, 2). חשב את הזווית בין הישר למישור.

ישרמישורזוויתדוט

רמז: הזווית בין ישר למישור היא הוריד של הסינוס של הזווית בין וקטור הישר לנורמל המישור. חשב את המכפלה הסקלרית, הגדלים והשתמש בנוסחה של סינוס.

פתרון מלא

תשובה סופית: כ-62.73 מעלות

מכפלה סקלרית v · n = 2*1 + 2*2 + 1*2 = 2 + 4 + 2 = 8. אורך v = שורש(4 + 4 + 1) = 3. אורך n = שורש(1 + 4 + 4) = 3. sin(θ) = |8/(3*3)| = 8/9 ≈ 0.8889. θ = arcsin(0.8889) ≈ 62.73 מעלות.

זווית בין שני וקטורים מותאמים לבגרות

רמת קושי: בגרות

ממתין

הוקטורים V1=(4,8,8) ו-V2=(2,4,4). מצא את הזווית ביניהם בבגרות.

וקטוריםצמצוםבגרות

רמז: הצמצם קודם את הוקטורים, ואז השתמש בנוסחה של דוט לחישוב הזווית.

פתרון מלא

תשובה סופית: 0 מעלות

V1 מצומצם ל-(1, 2, 2), V2 מצומצם ל-(1, 2, 2). מכפלה סקלרית = 1*1 + 2*2 + 2*2 = 1 +4 +4 =9. אורך V1 = שורש(1 +4 +4) =3. אורך V2 = 3. cos(α) = 9 / (3*3) = 1. α = arccos(1) = 0 מעלות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חשיבת זווית בין שני וקטורים

חישוב זווית בין V1 ל-V2 בעזרת מכפלת סקלר

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא זווית α בין V1 ל-V2

  2. נתון 1

    נתון 1

    V1 = (2, 2, 1)
  3. נתון 2

    נתון 2

    V2 = (1, 2, 2)
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נחשב את מכפלת הסקלר, אורכי הווקטורים, ונשתמש בנוסחה cos(α) = (V1·V2) / (|V1|*|V2|).

  5. נוסחה

    חשב את סכום מכפלות הרכיבים

    2*1 + 2*2 + 1*2 = 8
  6. משוואה

    חשב שורש סכום הריבועים לכל וקטור

    חשב שורש סכום הריבועים לכל וקטור

    sqrt(2^2+2^2+1^2) = 3sqrt(1^2+2^2+2^2) = 3
  7. פישוט

    חשב את cos(α) וחישוב הזווית בעזרת ארקקוסינוס

    חשב את cos(α) וחישוב הזווית בעזרת ארקקוסינוס

    cos(α) = 8/9 ≈ 0.8889α = arccos(0.8889) ≈ 27.27
  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    נתון V1 ו-V2 עם רכיביהם

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הוקטורים הנתונים

מה עושים

נתון V1 ו-V2 עם רכיביהם

למה

נדרשים למצוא את הזווית בין שני וקטורים אלה

וקטור ראשון V1 = (2,2,1), וקטור שני V2 = (1,2,2)

2

בחירת שיטה

השתמש במכפלת סקלר

מה עושים

השתמש בנוסחה שמקשרת בין מכפלת דוט לזווית

למה

מכפלת דוט נותנת קוסינוס הזווית בין הוקטורים

cos(α) = (V1·V2) / (|V1| * |V2|)

נוסחה / הצבה

V1 · V2 = |V1| * |V2| * cos(α)V_1 * V_2 = |V_1| |V_2| ()

היפוך הנוסחה מאפשר למצוא α

3

בניית משוואה

חשב את המכפלה הסקלרית

מה עושים

חשב את סכום מכפלות הרכיבים

למה

זו הפינה השמאלית של הנוסחה

(2*1) + (2*2) + (1*2) = 2 + 4 + 2 = 8

נוסחה / הצבה

2*1 + 2*2 + 1*2 = 8

חשוב להכפיל רכיב-רכיב ולא להחסיר

4

בניית משוואה

חשב אורכי הווקטורים

מה עושים

חשב שורש סכום הריבועים לכל וקטור

למה

אורך וקטור הוא המדרגת הכרחית בנוסחה

|V1| = שורש(4+4+1) = 3, |V2| = שורש(1+4+4) = 3

נוסחה / הצבה

sqrt(2^2+2^2+1^2) = 3sqrt(1^2+2^2+2^2) = 3

שורש סכום ריבועים נותן אורך וקטור

5

פתרון

חשב קוסינוס והמיר לזווית

מה עושים

חשב את cos(α) וחישוב הזווית בעזרת ארקקוסינוס

למה

כדי לקבל את הזווית במעלות

cos(α) = 8/(3*3) = 8/9 ≈ 0.8889, α = arccos(0.8889) ≈ 27.27 מעלות

נוסחה / הצבה

cos(α) = 8/9 ≈ 0.8889α = arccos(0.8889) ≈ 27.27

השתמש במחשבון לסריקה מדויקת

פתרונות כלליים

  • מצא את הזווית בין הוקטורים V1 ו-V2: המכפלה הסקלרית V1 · V2 = 2*1 + 2*2 + 1*2 = 2 + 4 + 2 = 8. אורך V1 = שורש(2^2 + 2^2 +1^2) = שורש(4 + 4 +1) = שורש(9) =3. אורך V2 = שורש(1^2 + 2^2 + 2^2) = שורש(1 + 4 +4) = שורש(9) =3. cos(α) = 8 / (3*3) = 8/9 ≈ 0.8889. α = arccos(0.8889) ≈ 27.27 מעלות.
  • זווית בין שני מישורים עם וקטורי נורמל: מכפלה סקלרית n1 · n2 = 2*1 + 2*2 + 1*2 = 2 +4 +2 =8. אורך n1 = שורש(4 +4 +1) = 3. אורך n2 = שורש(1 +4 +4) = 3. cos(β) = |8/(3*3)| = 8/9 ≈ 0.8889. β = arccos(0.8889) ≈ 27.27 מעלות.
  • חישוב זווית בין ישר למישור: מכפלה סקלרית v · n = 2*1 + 2*2 + 1*2 = 2 + 4 + 2 = 8. אורך v = שורש(4 + 4 + 1) = 3. אורך n = שורש(1 + 4 + 4) = 3. sin(θ) = |8/(3*3)| = 8/9 ≈ 0.8889. θ = arcsin(0.8889) ≈ 62.73 מעלות.
  • זווית בין שני וקטורים מותאמים לבגרות: V1 מצומצם ל-(1, 2, 2), V2 מצומצם ל-(1, 2, 2). מכפלה סקלרית = 1*1 + 2*2 + 2*2 = 1 +4 +4 =9. אורך V1 = שורש(1 +4 +4) =3. אורך V2 = 3. cos(α) = 9 / (3*3) = 1. α = arccos(1) = 0 מעלות.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.